Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Доказательство положительности остальных подслов ь слова с аналогично доказательству леммы 4.6. Здесь получаем Г,(т(ь«,77(ь 7))) + а((т(ь2, «7(ь >))) = = с (т(Ь, .~~(Ь))) — 6 (А(») + С7~(77) — 2И(»1)) < С(т(Ь. ц(Ь))), «Г = 2: с(т( '](ь з))) + а~(т( . ««('))) = =((т(ьсЧ( ))) с~ (Л(» )+~Л(» ) — 2''Ы) <((т(ь Ч(ь))); -.
=1. Следовательно, слово ь положительно и слово с полуэкстремально. Проверим равенство Тог(сс) = Тог(ь 7) + Тог(ь2) + ( — 1)~. Рассмотрим только случай, когда (а7, ст) = (1. 3). Пусть Тог(а) = р — Г«+с — я+1+3 — (7+«7), где р. с«, г. ь и 7, количество б~ кв д7. д2, Г«в, дл и дь в слове сс соответственно. Тогда Тог(ь 7 ) = р7 — Г«7+«'7— ь«+~1+3 — (7+1) и Тог(ь 2) = р2 — с««+т2 — ь«+Й2+3 — (1+1), где р:, д, т:, ь и Й количество ОУкв д1. Г«>с Г«в, 1«л и д; в слове ь;, 7 = 1, 2, соответственно, и (р7+р2) — (д7+цД+(71+«2) — (ь~+ь2)+(1~+12) = р — д+«' — ь+Š—.»с(»с — 1). Здесь мы использовали Равенства дс(д ) = «1, дс(д, ) = «'1 ДлЯ с = 1 и дс(д, ) = «1,.
дс(д,-) = «1 для к = 2. Получаем Тог(ь«) + Тог(ь~) = Тог(с7) + ( — 1) Лемма доказана. ° Замечание. Из доказательства леммы 4.7 следует, что любое слово вида ~:;д«,... д«,,д,„,д,д«,„7... д,,Д для с = 1, (; . ст) = (1.,3) и для Г = 2. (: . ст) = (4, 2) неполуэкстремально. 94 (4) Избавление от д„.,д, где (,, ет) = (1. 1), (1, 5), (3,3), (5,3) Лемма 4.8. Слово а = ~;д,...д: д,,д о „,...д!,.~~., где (!о,тт) = (1,11, (1,5), (3,3).
(5,3), .полуэкстт!ремально тогда и только тпогда, тогда полуэкстремальны его подслова: 1) ь1 — — ~;д,, ...д,;,,д„„д,(д ). ь2 = д!(д„)д ц„,...д,,~я длтя ~ = 1 и ь! = ~!д!,...д,;,д',(9.,), ь2 = д!(д! )д;,...Я~,~я, где тт1, ~ )2 минииальное числе), длтя когпорого от!ределен д!(д;,,), для .ч = 2, если (и ., тт) = (1,1), (1,5); 2) ь ~ = ~;;д,,... д..д,„д,(д ),. ь2 = д!(д )д д,„,, д,,Я,. для .ч = 1 и ь! = ~,;у,, ...д,, д,,(дя „), где т, > 1 льинииальное число, для которого определен, д„(д;,,), ь2 — — ду(д )д,... д, ~у„. для, ~ = 2, если (!о. тт) = (3., 3), (5. 3). Причем длтя ж = 1 справедливо равенство Тог(а) = Тог(ь1) + Тог(ьа), а для тт = 2 нсравснстпво Тог(а) > Тог(ь!) + Тог(ья). Доказательство.
Используя симметрию, достаточно рассмотреть только случаи. когда (,о) = т1 1' (1,5). Пусть слоВа ь! и ь2 полузкстремальны. Докажем. что слОВО а полу- экстремально. Положительность собственных подслов, которые не содержат д, д, выполнена, так как они собственные подслова слова ь ! пли ь2. ДоказательстВО положительности подслОВ., которые соде1мкат д„.,д,, аналогг!чно доказательству леымы 4.6 для т = 1 и леммы 4.7 для;~ = 2.
Проверим равенство Тог(а) = Тог(ь !)+Тог(ьа) для т = 1 и неравенство Тог(п) > Тог(Ь ~ ) + Тог(Ь2) для ~ = 2. Пусть Тог(л) = р — д+т — «+~+3 — (т'+Й), где р. д, и, я и Е количество бУкв дг, д2., дз, д! и дь в слове а соответственно. ТогДа ДЛЯ х = 1 име! м Тог(ь1) = р1 — д!+т! — я~+~!+3 — (я+2) и Тог(ьа) = р2 — д2+г2 — я2+~2+3— (1+к). а для т = 2 Тог(ь!) = р1 — д!+г! — я!+~!+3 — (г+1) и Тог(ья) = р2 — д2+ г2 — я2+ ~2+3 — (х+ Л:), х = 1„2. где р, д, г, в; и Е количество бУкв д!, д2.
дя, д! и дь в слове ь,. ! = 1, 2. соответственно. ПРичем (р!+р2) — (дг+ д2)+ (г!+ г2) — (я!+ я2) + (~!+ ~2) — р Я+ ! а+ ~ ( ~ 1) у; где у > 1. Здесь мы использовали равенства д„(д ) = !2, д!(д,„,) = !! для х = 1 и д,(д„,) = ~! для х = 2. Получаем Тог(ь!) + Тог(ья) = Тог(а) для .ч = 1 и Тог(ь!) + Тог(ь2) ( Тог(д) для т = 2. Лемма доказана. ° (5) Избавление от д„.,д дя, где (ь~.тт,О) = (и,и. !и), (2,5.
и;), (и.5,4), и=3или 5, н=1,3 или 5, ии;=1 или 5 Лемма 4.9. Слово а = ~д,,...д,, д, у ус|с|,,,...д,,Яв где (ьовсс,св) (и.и,и)в (2,5,|и)в (и,5,4), и Е 13,51в и Е 11в3в5)в |о Е (1в51в полдзкстРе,мильно тиогди и исолько тогди, когди поя)эксисремильны его подслови: 1) ь г = ~сд|,... д ад, д да(дл) . ь 2 = дс(д,,)д лсвдс~~а ~|,~ь для ва = 1: 2) ь| — — ~;у|,...
д,,д,(дя ), где т ) 2 мтнлсми,льное число, для которого определен д,.(д. ), ь2 = дс(д; )д,...ц,~~., где и ) минимильное число, для ко|порого определен, дс(д,,,)в для г = 2 и, (с ., ст. 0) = (и. и., ив); 3) ь~ = Дд,,,...д..да(д,„,)., ь2 = дс(д,, „,)д,„„,...д,,~ьв где п > 2 минимильнос числов для, которого определен д|(у, ), для г = 2 и (, ст, О) = (2в 5, и|): 4') ь| = ~сд,,...У,да(У„„,)в где т > 2 минимильное число, длЯ которого определен д„(д., ), ьа = дс(дсс)д|, „...д;~ь с|ля к = 2 и (со., ив св) = (и.5,4).
Причем для г = 1 сприеедлиео риеенстео Тог(а) = Тог(ь у) + Тог(ь2), и для 'г = 2 нериеенство Тог(а) ) Тог(ьс) + Тог(ья). Доказательство. Рассмотрим только случай, когда (со, сг, св') = (и, ссв |о). Докажем, что слово а полуэкстремально в предположении, что слова ь ~ |л ьв полуэкстремальны. Пусть г = 1. Положительность собственных подслов, которые не содержат д,„д до, выполнена, так как они собственные подслова слова ь с или ьа. Рассмотрим произвольное подслово слова а, содержащее д, д дсс.
Обо- значим это слово через ь и докажем его положительность. Рас:смотрим произвольнук| строго допустимую деформацин| у(ь) Е Л~(ь) для слова ь. Обозначим через ь.; максимальнос слово, являющееся собственным под- словом как слова ьв так и слова ь;, где с' = 1, 2. По условию слова ь, положи | ельны. Определиы д яя с яов а | с грого допустимые дефо)|маци|| следующим образом: У(ьс) с= Л~(ьс) и с1(ь~), = |1(ь), в т.е. дефоРмациЯ У(ь|) отличаьс|д.Ыв) а1~О Сяв)в ется от деформации с)(ь) лишь на букве д„(дсс) = |2, |1(ь2) б Л" (а2) и си/(ь2) ~и < ) = гс(ь) ь ~. < в т.е.
деформация ссу(ь2) отлиь2 ~ сся ) ь2 с~с ся ) '|ается от дефорыапхпх ц(ь) лишь на букве дс(д,„) = ~~. Здесь и нормиру- ющий коэффициент. 96 Имеем с ( т (ь 1 '. 9 (ь 1 ) ) ) + а с (т (ь а ° ц (ь я ) ) ) = с(г(ь.ту(ь))) + 6~(п(;а) + у(та(д„)) +о'а ~'-"~Я ~ ю(а2)) = с(г(ь.ц(ь))) ) О. Следовательно, слово ь положительно и слово а полузкстремально. Проверим равенство Тог(а) = Тог(ь1) + Тог(ь а). Пусть Тот(а) = р — д+и — «+1+3 — (~+А), где р, д, г, в ьт Е количество букв д1, д2.
дз, дя и д,;, в слове а соответственно. Тогда Тог(ь1) = р1 — д1+г1— в1+8~+3 — (г+2) и Тог(ь~) = р~ — да+та — аз+1~+3 — (2+1). где р, д, г:„в, и количество букв уг. д2, дя, д1 и д,.; в слове ь, д = 1, 2, соответственно. и (р1+ ра) (у1+ да) + (г1+ гя) — (вт + в2) + (~1+ Р2) = р — ц+ т — в+ ~+ 1. Здесь мы использовали равенства д, (ур) = ~а и д~(уа,) = /я. Получаем Тог(ь ~) + Тог(ьа) = Тог(а). Пусть т = 2. Справедливость утверждения следует из равенств и(за)+ Л (т) + 6и(з2) = О и и(за) + Х(я) + о 'и(за) = О.
Проверим неравенство Тог(а) ~ Тог(ь1) + Тог(ь~). Пусть Тог(а) = р — д+г — в+1+3 — (г+ь'), где р. д, г, в и 1 количество букв дг. угз дз, дя и дь в слове а соответственно. Тогда Тог(ь1) = р1 — о1+ с~ — «~+Е~+3 — (т+х),.г = 1, 2, и Тог(ьа) = ра — да+па — «а+Ее+3 — (д+Л). д = 1., 2. где р;.
оз г,. в~ и 1~ количество букв д1, да, дя, дя и дь в слове ь~, та = 1, 2. соответственно, и (р1+ра) — (д1+да)+(с1+г2) — (в1+вя)+(~~+~а) = р — д+г — в+1 — ~, где ) 1. Получаем Тог(ь1)+Тог(ьа) ( Тог(а). Лемма доказана. ° (6) Избавление от д.„,д„до, где ( . о, О) = (4,5,2), (2,5,4) Лемма 4.10. Слово а = ~;д,, д,, д д дад,,,...д,,~~., где (.1,о.,О) (4.,5,2), ((о.о,О) = (2,5,4)), полуэкстпремально тпогда а тполько тогда,, ьогда т~>лязьсттьремальнь~ его тьодслова ь ~ — — 1;д~,... дт ад,.(у..), ьа д~(до)д;,,,...д;,~ь для, ж = 1 (ч = 2) и ь1 = ~;д;,...дт, ад..~ д„(до),.
ьа = д~(д„,)у доу,,... д,,~ь для х = (т = 1). Причем справедливо равенства о Тот(а) = Гог(ь 1) + Тог(ь а) . Доказательство. Рассмотрим только случай, когла (о.. о, О) = (4,5,2) (для (ы, о. О) = (2, 5. 4) надо еще воспользоваться доказательством леммы 1З). Пусть слова ьг и ьа полузкстреьтальны. Докажем, что слово а полузкстремально. Положительность собственных подслов, которые не содержат букву д, или д,,(д,), или ду(д,) для х = 1 и д д до для т = 2, имеет место, так как они собственные подслова слова ь1 или ьа. а) Рассмотрим произвольное подслово слова о, содержашсс д,„,д до.
Обозначим это слово через о и докажем его поло китсльность. Рассмотрим произвольную строго допустимую деформацию у(о) Е Л+(о) для слова о. Обозначим через о; максимальное слово. являющееся собственным подсловом как слова о. так и слова ь;, где «,' = 1, 2. По условик> слова о, положительны. Определим для слов о; строго допустимые деформации следующим образом: «у(о«) Е Л~(о~) и «у(о~) ~, = ц(о) ~я,, т.е. деформация «у(о«) отличается от деформации ««(о) лишь на букве до(д.,) = ~~., для х = 1, «р(о«) = ~у(о), т.с. деформация «~(ол) отличается от деформао1'~дд««н) о~'~««, (д~) ' ции ц(о) лишь на букве д,,(др) = «'2. для х = 2; «р(о2) Е Л~(о~) и а«у(о~), ~,, = «1(о) ~ ~,, т.с.
деформация а«у(о2) отлллчастся от деформации «1(о) лишь на букве д«(д««) = «2. для х = 1, т«(о2) Е Л+(о2) и а««(о2) . = ««(о) ., т.с. деформация а««(о2) отличается от деформации «у(о) лишь на букве д«(д„,) = ~~, для « = 2. Здесь а нормируюлцллй коэффициент.
Для ж = 1 имеем ' (т(о1, 9(о1))) + с«с(т(о2, ««(о~))) = = ~((т(о,, «/(о))) + а 1'а(э2),\'(ч ) Б,'~(т2(д~)) — д +'"~'-'~«« ~~(Л'(к ) — Б 'г(з2))) = С(т(о, «у(о)))— — а"' ( ( ) + ~( - (д.)) + Ь ' "-И (, )) = С(т(о. д(о))) ) О. Для х = 2 имеем д(т(о1., «1(о ~))) + а~, (т(о~, «1(о~))) = ~ (т(о, ц(о))) + + "('Ы+, ('( -)) + '"""-"" (»)) = -( (', ( ))) > Следовательно, слово о положительно и слово о для х = 2 полуэкстрсмально. Ь) Рассмотрим произвольное подслово слова о, .содср кашсе д, д,(д ) или д«(д~)««». Здесь «.: = 1. Ооозначим это слово через о и докажем его поло'кительность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
