Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ь ',с!„.11!~(а)) = (т!+(а!)1 !1+(Ьд,)... т~+(Ь,,)1т!+(с!,.)~)1 причем т~+(Ь!) = у, если деформация у+ (а) в вершине сети Г'1 соответствующей букве Ьд1 образует с выходящим реором из этой вершины угол, равныи — „+ ~ „А ~'., и т~+(Ь!) = я1 если деформация у+(а) в вершине сети Г', соответствующей букве Ь!, образует с выходящим ребром пз этой вершины угол, равньпя — '„+ ~':;-~ —. Анйлогнчно1 так как для слова а множество Л (а) непусто1 то1 со- гласно утверждению 4.21 а = а;Ь,...Ь,,с!,. где !'.,!; ~ 1.3,9 — х1 !„, 1,31т = 11...,7.
Построим отображения т! . 1п!., с!,. г1А. ~ 113,9 — ж) — + З1 т~: ~Ь,' ! ~ 113~ — + Ь и т:,р -+ З Х Ь Х З1 положив: 1) т! (а;) = 7! (с;) =;я1 если г = 2,416,10 — х1 и т! (а!) = 7! (с!1) = ~!1 если Л: = 5,5+2к:, 2) Т~(6») = «О, '/ = 4, 6, Т~(Ьз) = ««, Т~(1»7) = 7, Т2(1»8) = я т~ (Ья) = я, т2 (6ш) = « 3) т (а.
«1 (а)) = т (а;6» ... Ь»,е«„., «1 (а)) = (г«(а;). т» (Ь,)...7» (6,). т~ (с«„.)). причем т~ (Ь») = «, если деформация «1 (а) в вершине сети Г', соответствующей букве 62., образует с выходящим ребром пз этой вершины угол, равный — + ~ — „А-) — ', и тя (62) = я, если деформация «1 (а) в вершине сети Г', соответствующей букве Ья, образует д. (3 — 2х) т с выходящим реором из этой вершины угол, .равный — + Замечание.
Отображение т~ каждой паре (а. «1~(а)) ставит в соответ- ствие единственный элемент из 3 х б х 3. Пусть Г: С -+ К произвольная существенная сеть на Л-нормиро- 2 ванной плоскости с единственным базовым типом Г: С~ -+ К~ своего расщепления, который допускает хотя бы одну строго допустимую деформашпо «1: ~'д — + К~. Выделим у сети Г образующий путь и ориентируем его одним из двух возможных способов. Как и раньше, обозна ппм через =«...., „все последовательныс вершины образующего пути. Вершины сети Г. соответствующие вершинам ~; образующего пути, обозначим теми же буквами. Пусть =; = (Г: и; — + К 1 и пусть;.,' = (Г': и'; — + Й'~ это представитель вершины; в сети Г.
Вычислим з (Г'. «1). Утверждение 4.5. Пде«««в а = И'(Г). Если «1 ««ринадле»«еи«««множес«««ву А~(а), «««о ииее««в, яс«««о следу«ощее равенство: ю (Г', «1) «, ('г (а. '«1)) . Доказательство. По теореме 3.1, справедлива следующая формула 3 г. (хр«:(-:~, ~('а'г("~',))'и"3) ~- 'н1~„): и; '— «Й~, »=« енг'1-"а): »=«2 3 2 е Яез. Й, ч(яЗ ч(4Л и( З)+Р (й4))) н1 .): К,~~) — л-'. »=1 з (Г,«1) = 4 =1Г': 1м'„л~",, ] — «Ще енгд~л): »=«,2 (4.1) Здесь Лг (х) множество регулярных ребер сети Г', инцндентных вершине х сети Г', 'Н(Ц: Н(и;) -+ К~ приведенная компонента сети Г', где:; = (Г: и; — + К 1 вершина сети Г, ~.,' = (Г': и'; — + К ) представитель вершины,.; сети Г в сети Г', где г = 1,...., и.
Рассмот1зим только слУчаи, когДа хУ ПРинаДлеак11т множествУ А (а ) (другои слу"лаи рассматрглвается каналогично). Тогда. согласно утвер'кденпю 4.2, а = а.;Ь:,... Ь, осу„где г, .Уг ~ 2.4,6+ гх, У„, ~ 2,4, ххг = 1з.... п, — 2. Докажем формулу з) (Г'. ху) = < ~,),с(т+(р, ху)). Мм~)~( ИМЕзгзм , (т~ (р з ху) ) = б, (т~ ( а; Ь,,... Ь „и сг. з ху) ) = = ~(тг'(а;)б-'(Ьу,) . т+(Ьуи,)бт'( й) = = гг(т)+(оз)) + ~(т..+(6;,)... т:, (Ь,м,)) + Б'"' "'- ~~ "" "~ -р и(тг+(сг.)). Поскольку деформация ху строго допустимая, то она удовлетворяет СлсдуЮщЕМу УСЛОВИЮ: ЕСЛИ ", = (Г': $1()1, Х()2) — 'р )гб'. ) ПРОИЗВОЛЬНОЕ НЕ 1-граничное невырожденное ребро сети Г', то векторы ху(и)1) и ху(г()а) не параллельны, а вектор ху(и~)) — ху(гг.а) параллелен образу ребра "у~.
Поэтому в формуле (4.1) можно с'плтатьз что ковекторы Р„((хх',бху(и';),ху(и';+1)) и р„~, (х,'„ху(хг';+) ). )у(и';)) параллельны образу ребра хх,'. = (Г': $гг', и',. ) — + )гл~)з где г = 1,..., и — 1. Найдем значение каакдого слагаемогоб входящего в формулу (4.1). Пусть =;, где 1 < г' < и, вершина из Г степени 3.
Тогда этой вершине в формуле (4.1) соответствует слагаемое вида Поскольку вершина; имеет степень 3, то в слове а она может соответ- ствовать слеДУкхщим бУквам: аь. ав, ах+, ав, 6, гДе У' = 5.... б10, с;„с(ч сх+. б со. Таким обРазом, ( Е Р, (Зг, зР(и), б(зз' )), б(з)) Рааио д(1 — Ж 1) $$ху(хг',)$$и(г)) = — $$ху(и'.;)$$, если ~;, где г = 1 или и, соответ- 2(1+ д) ' ствует букве а(;, ах+., с(; или с;+ д(1 — Б) 2) $$ху(гг;)$$и(га) = $$ху(Ц)Ц, если =.;, где г' = 1 или и, соответ- 2(1 + д)' ствует букве а;„а~+<в а уб с;, или с8+<я а. у, 3) $$)у(и;)$$Х(г )) ) = $ху(и',)Ц(1 — д), если =;, где 2 < г < и — 1, соответ- ствует букве 6;; 4) $$ху(хг';)$$Х(~)г) = — $$ху(гх';)$$(1 — д)з если -;, где 2 < г' < и — 1. соответ- ствует оукве Ьв, д 5) $$ху(и';)$$~()) 1) = $$ху(и';)$$ (1 — д)з если -;, где 2 < г < хг — 1з соответ- 2 ствгст букве Ьх, 80 6) $$71(7(';) $$~ (1) = — $$7у(и'.;)$$ — (1 — б7)о если ~;о где 2 < г < ствует букве 178,' (7 7) д $$7((и',) Ц ~ (7 () = $$7у(и',) Ц вЂ” (1 — д) о если;.,;.
где 2 < 7 < 2 ствует букве 69, 8) д$$у(и,';)$$~((б) = — $$7у(и';)Ц (1 — д)о если:,, где 2 < г < 2 ствует букве 6пь Пусть -б, где 1 < Й < и, вершина из Г степени вершине в формуле (4.1) соответствует слагаемое вида п, — 1, соответ- и — 1. соответ- и, — 1. соответ- 2. Тогда этой 2 ( 7 7.
(7а: Ч(о(), йо(( И: П(оМ( б- Рк(бЮ 7:1 Поскольку вершина =б имеет степень 2, то в слове а она может соответ- СтВОВатЬ СЛЕдуЮщИМ буКВаМ: а7о 6, С;, Где 7 = 1.3. 'таким обоатои, ( е к„(7о, б( ~а), б(иа Д, о(ва)) б- ко (б(коД о~ио д(1 — д) 1) $$77((77б) $$17(1~) = $$7/(777,) $$, есЛИ я~. ГдР А: = 1 ИЛИ и. сООГВРг- 2(1+ 6) ' ствует букве а; или с;. г, '= 1,3: 2) $$77(иД$$1(1 '(7 () = $$77(и',)$$(1 — д)о сели бо гДе 2 < й < и — 1, соот- ветствует букве 6з., 3) $$7((и~) Ц7~(1) = — $$ц(и';) Ц вЂ” (1 — 6)о если;;бо где 2 < Й < и — 1, соот- 2 ветствует букве 6(, и ц(и~~) ооразует с выходящим ребром из вершины =7, ((-й . угол.
1эйвньп1 Т + 4) Ц$р~((7Д$$~к((,) = — $$7~(и'.;)$$ — (1 — д), если:б, гле 2 < 1' < п, — 1, соот- ветствует букве 6(, и 7~(77~1,) образует с выходящим ребром из вершины (З вЂ” '~Ы7б угол. равныи ~ ' + — ', Так как дефо1эмкап11я 77 строго допустимая, то векто1э 71(7(() — 71(п7~) параллелен образу ребра 77 = (Г': $7(7(о ((72$ — + К~)о когда векторы 71(и71) и ЯШ а1 ц(1и~) не параллельны образу ребра" . Поэтому $$ц(и:1)$$ = . $$ц(7в~)$$, ЯН1 О.2 где О, угол между 7~(7(7,) и образом ребра ", . Осталось заметить, что ЯН1 ( — „+ ~г (4х — (б)ог = 77. 7 '1'ВРР7КДРНИР ДОКаэаио. ° (, .„.) (П) Пусть 7.
= О, и ь некоммутативная свободная группа с шестью образующими до где ~ = 1..... 6, и единицей б, т.е. любои элемент группы имеет вид 7 '1„и... 7„" о где 7б Е К. Пусть нам дан произвольный элемент д = 7",'7,'...7,о' группы 77. Числа шс11(д) = — 11 +1б — 1,.; + або пн12(0) = — 13+!.,~+13 — 13, где 1,. суммарная стспс,нь элементах,, будем называть инде~:он~11 элел1ентв д.
Лемма 4.3. Снраеедлиеы еледуощие риоенетва: 1) 1пс1„„(е) = О, где т. = 1, 2: 2) шс1,„,(д Ц ) = шс1,„, (д) + 1пс1,„,(б ), где т = 1,. 2. Я11 —,' Определим отображснис Л' д1 — 1 Й, .положив 61 = . 3, д2 = Яп1( —,, — — ) (и ~г)' ' 'ь 3 2Л: ° ' 3 т ' т Ж( ) = 0; К(11) = (д1 1) 1К(3 2Л); Х(12) = (1 д1) 18(3 2л); М'з) = (1 о2 ) 18(Т + зл); Л'('1) = (о2 1) с8(з + зл). Л(13) 2 1-1~2 — 1ВП1 2Л ~ 9- -1 162 — 1ВШ 2Л 2д2д1 ... р~(13) = 2д1дд ., и продолжив на все — — Б2 — 61 остальные элементы д = 1„,''1"''-'...1 "', где Й, Е К ~ (0) при 2 ( 1' ( т — 1, 121, Й„, .Е К, по правилу ,:( ) = '( )+ ° ° ° +о о, (1 "').
Лемма 4.4. Ллеет место раеенстео Л(д~) = л(д) + д1""~~~д2""~~~Л(~). Доказательство аналогично доказательству леммы 4.2. ° Рассмотрим произвольное множество з, состоящее из одного элемента (3), и множество з х д1 х з, состоЯшее из элементов (з,д,з), где д е д1. Построим отображения о: З вЂ” 1 К и с: З х 1д х З вЂ” 1 К, поло кив со(з) = — 18 и с(з.д.з) ь(,) + Х(д) + д1 дд со(з). Рассмотрим множество 1Р ~ пар (а, ц~(а)), где а = И (Г) для некоторой сети Г с базовым типом Г' свосго расшепления, причем множество Л+(а) непусто, и 11 (а) Е Л (а).
Так как для слова а множество Л~(а) непусто, то, согласно утверждению 42. а = аб,... Ь;,сл, где 1', й = 2о+1, 1'„, = 211+1. 6, 16, 17, 18, О ( (д ( 7, 1а = 1,....1. Построим отображения т1+: (а;, сл, г'., А", = 2у+1,0 < у < 7) — + 3, т~ +. (б.; ~3 = 2о + 1,16,17,18,0 < д < 7) †б и т+: 7 + — 1 3 х б х 3. положив: 1) г1 (111) — г1 (е1) — 3; 2) тд (Ь,) = е., ~ = 3, 5, 6., 72+(Ь1) = 11, т2+(Ь11) = 12. т~+(Ь11) = 13; тз+(Ь13) =1,1, т2+(Ь13) =13. т~+(Ь13) =1.-,, т+(Ь1 ) =13.
т2+(Ь13) =1,; -1 + + -1. 3) г~(а, 11 (а)) = т~(сОЬ~,... Ь~,е1, 1/~(а)) = = (71~(а;), т~~(б,)... т~~(б,,), г1~(сд)), причем т~~(Ь1) = 11, если деформация 82 ц+(~) в вершине сети Г', соответствующей букве 61» образует с выходящим ребром из этой вершины угол» равный — — — ', и т~~(61) = к~» если деформация ку+(а) в вершине сети Г', соответствуюшей букве 61, образует с выходящим ребром из этой вершины угол, равный Аналогично. так как для слова а множество Л (а) непусто, то.
согласно утверждению 4.2, а — — а;6,,... 6,,ск, где к» ~ = 2д» 3» 2д» 5» 15» 17» 18, 1 < о < 8, пк = 1.....1. Построим отображения т,: 1а;,ск, к»А = 2о»1 < д < 8) — к 3» т„: ~6;; к = 2о»5,15,17,18»1 < 7<8~-+е! ит:~~ — +3 хе х3,положив: 1) т! (и;) = т, (с.;) = к! 2) т~~(6~) = е, у = 4» 5, 6» т~~(6!!) = к~» т~~(6!о) = кк, т~~(М = к4, т~ (614) — кя, т~ (615) = кв»» т~ (6!в) — кв, т~ (6!7) = кя», т~ (6!я) = к5,' — ! + + — ! 3) т (а, к1 (а)) = т (Йкб~„...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
