Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ь~!су„.. кУ (а)) = (т, (в;)» т~ (6~,)... т~ (6,,)»т, (с~)), пРичем т (6~) = к!. если дефо1тмациЯ кк (а) в вершине сети Г', соответствующей букве 6~» образует с выхоДЯщккм Ребром из этои ве1кшины угол, 1кавныи —, — — ', и т~ (6~) = к !, еслвк деформация кк (а) в вершине сети Г', соответствующей букве 6~» образует с выходяшим ребром из этой вершины угол, равный ф Замечание.
Отображение т каждой паре (а»кк~(а)) ставит в соответствие единственный элемент из у х !кк х З. Пусть Г: С вЂ” + К произвольная существенная сеть на Л-нормиро- 2 ванной плоскости с единственным базовым типом Г': С' — к К" своего расшепления» который допускает хотя бы одну строго допустимую деформацию кк: 1'с; -+ К~. Выделим у сети Г образующий путь и ориентируем его одним из двух возможных способов. Как и раньше, обозначим через,г!..... -:„все последовательные вершины образующего пути. Вершины сети Г. соответствующие вершинам ~; образующего пути, обозначим теми же буквами.
Пусть -; = (Г: и; — + К 1 и пусть;; = 1Г': и; — + К 1 это представитель вершины; в сот~ Г. Вычислим ю (Г . кк) как и в слу»»ае Утверждение 4.6. Пусть а = И'(Г). Если кк тк1кинадлежикп множеству А~(а), пко имеет, место следующее равенспкво: ю (Г',т~) = Йс(т~(а»у)), где с1 > О нормирующий множитнель.
88 4.3. Определения полуэкстремальных справа и слева слов Определение. Рассмотрим произвольное слово ь из множества А. Слово ь называется положнтелльнь1м справа (слева) для данной строго допустимой деформа'(авиа и (= Л~((ь) (ку (= Л ((ь))с если выполнено неравенство с(ь ~(ь, ьЬЦ > ЬЬ (с(т (ь, ЬД > О). Слово ь вььыввстся воловсььы.ьльным справа (слева), если для любой строго допустимой деформации из Л+(ь) (Л (ь)) слово ь положительно справа (слева) или множество Л+(ь) (Л (ь)) пусто. Элемент ь называется полояситвльнымс если он положителен справа и слевсь. Определение. Слово а называется полуэкстремильным справа (слева)ь если все его подслова положительны справа (слева). Используя теорему 3.3 и утверждения 4.1ь 4Аь 4.5, 4.6, получаем Теорема 4.1. Сеть Г экстрвмильни тогда и только тогда., когди слово а = Ит (Г) полуэкстремально справа н слева.
4.4. Избавление от букв 63, 64, 5„и 5б для ж = 1, 2 ПУсть а Е А пРоизвольное слово. РассмотРим слово ат4(-, в) ь котоРое получается из слова а заменами Ь,;, = ЬяЬ; и Ьв = Ь1вЬя. Определение. Будем говорить. что слово а„~,.; р получено из слова а ре- дукцией по буквам Ь;, и Ьв. Теорема 4.2. Слово а полуэкстрвмильно справа (слави) тпогди и только тпогдат когда, полуэкстремально справи (слсва) слово а,.бс в). Доказательство.
Используя симметрию н теорему 4.1с достаточно доказать, что слово а полуэкстремально справа тогда и только тогда. когда полуэкстремально справа слово а,(вь (ь) . Необходимость. Пусть слово ьь полуэкстремально справа. Докажем, что слово ь = а„(я (П полуэкстремально справа, т.е. надо доказать, что все подслова ь| слова ь положительны справа,что равносильно справедливости неравенств с(т+(ь(ь п(~)) > О для любых строго допустимых деформаций и( е Л+(ь().
ПосколькУ т)+(7);,) = 1 г ~) ', тф(7)д) = г и тг~(бт) = д 1, то ш|1(тг+(6„.-)) = шс1(тд+(Ьд)т~+(6;)). Аналогично, поскольку т1+(6) тг~(6гд) = д и т2+(7)д) = г. то пн1(т~д(7)д)) = пнс(т~д(7)гд)тджх(68)). СледоваТЕЛЬНО, ПОЛО)КИТЕЛЬНОСТЬ СПРава СЛОВа а = а,.7д д) И С10В аг,, ДЛЯ КОТОРЫХ сУществУет д(Р) такое, что имеет место Равенство др = ад7р~ 7, д, где ад~„~ НЕКОТОРОЕ ПОДСЛОВО СЛОВа а. ВЫПОЛНЕНа. Достаточно рассмотреть только редукцию одной буквы. 1) Пусть а = и.;Ь;,...
6;,... Ь,,сгс, тогда ь = а,<;, д> = и;Ь,,... ЬдЬ-,... Ь,,сгс. Осталось показать положительность справа слов: и) с| — — и.;6, ... дс(бд)с 6) сд = гг;гд,, 7)дда(761) = сс 6 . Ьс)г:.. с) ся = дг(Ьд) Ьг... Ь,„,сд = идбт... Ь,„,сгсс |7) с,1 = дг(бт)... 6)„,сг.. Поскольку д, (бд) = д,(б;,) и Одчг(7)г) = дг(6;,), то положительность сг и сг следует из предположения теоремы (они.являготся собственными подсло- ВаМИ СЛОВа а).
ОтМЕтИМ. ЧтО СЛОВО сг (,г) ЯВЛЯЕТСЯ СОбетВЕННЫМ ПОДСЛОВОМ СЛОВа сд (сд). Рассмотрим слова сд = и;Ь,,...Ь,: брср и сд = ад676,, Ь,,сг. и обозначим через 'Нса соответствующие им сети, а через 'Н'„, базовые типы их расщеплений. где хи = 1, 2. Обозначим через 'Н, сеть, получак)щунн;я из сети Н„разрезание|и по ребру, соединяющим вершины, которые соответствун)т буквам 6 . Ьд при пг = 1 и буквам Ь-,, 7), при пг = 2. Причем сеть 'Н.„не содержит вершины, соответствующие буквам бд, сд при пг. = 1 и буквам ид, Ьт при и| = 2.
Пусть Йа базовый тип расщепления сети 'Н„,. Если сеть 'Н'„не допускает строго допустимую деформацию. то соответствующее ей слово положительно справа. Иначе рассмотрим два слу чзя. 1.1) Пусть х = 1, и пусть сеть 'Н'„, допускает строго допустимук) деформацин) 17„,. Имеем д (т+ (сд., 171)) = з (Н ~ с )7), ) + с(т+(идсд. )7~ )); с (т (сд, 17д)) = ( (т (ггдсд~ )7д г )) + з (Н~~ 17д, ) . ИспользУЯ Равенства С(т~(идсд, |71 )) = О, ~(т~(адсв, |7д )) = 0 и полузкстремальность справа слова а, которое влечет неравенства ~ ('Н', )71,,) ~ )О и ~ ('Н~~, )7д,,) ) О, полу"гаем положительность справа а слов сд и сд.
35 1.2) Пусть с = 2, и пусть сеть 'Н' допускает строго допустимукл дефорхлапию ц„,. Имеем с,(т (с2, Ч~)) = п(т1 (и;)) + К(т2 (6 )... т2 (6. )) + би~сс1т,+766 )...т, 16Ь)) ~ +61 л + бп1сс7т~~76с)), +6 — ь(т1 (а4+К(т."А,) 4(6, ))+б "'-'" )-'-'7"))(К( )+б ( 4— — '( ( 4+, ( '(6„) "(6,.)) + '"" " ' ' " " (- ) = = ~(т (сл,.'~7 )) ) О, так как слово с1 положительно справа.
Здесь ц1~ строго допустимая ДсфОРМйПИЯ ДЛЯ с1. СОВПаДаЮШйи С Ц1 Нй ООШИХ О~КВссак, т.с. Нй ВСЕХ, КРОМЕ последнеи:, с,(т (ся>т/2)) = п(тл (ая)) +,'«'(т (62)) + б К(та (67,) т2 (61,)) + + бт47т~76т))+тй7тт66, )...ттс6 „)),7 +6 . — и (т1 (С6)) = = и(;л) + «(0 ') + б«(т,+(Ь,,)... т2(6,,)) + + дб'"'с'-' 1" )""-' ~" -'))п(т+(ся)) = М(т+(с4.67.',-)) > О.
так кйк слово с4 положительно справа. Здесь 272 строго допустимая / Лефо)гмйпия для ся, Совпадаклшйя С 671 нй общих буквйх, г.е. нй всех, кроме первоп. 2) Пусть сс = а;Ь,... 60... 67, „ся, тогда 6 = сст7,; 0) = а;6,... Ьд066... 6; „с6. Остйлось покссазйть положительнос'Гь спрйвй слов. а) с1 = а,;6,,... дт(610); 6) с2 = асЬя... 610дт(68) ас67, . " 610ся. с) ся = д6(Ьл0)Ьц...6:„.,С6 = а068...6 „.„С7о 61) сл = д~(68)... Ь,„,ся. ПосколькУ дт(Ьл0) = дт(60) лл ду(Ья) = д6(60)., то положительность с1 и сл следует из предположения теоремы.
Отметим, что слово с1 (с4) является СООСтВЕННЫМ ПОДСЛОВОМ СЛОВа с2 (сз). Рассмотрим слова с2 = а,;6,... 6,. Ьшся и ся = а06867,... Ь,ся и обозначим через 'Н,„. соответствуклщую им сети, а через 'Н',.„базовые типы их расщепления, где пс = 1.,2. Обозначим через 'Н„„сеть, получающуюся из сети 'Н„„разрезанием по ребру, соединяющим вершины, которые соответствуют буквам 67,, Ь10 прп ю = 1 и буквам Ьяс 6, при т = 2. Причем сеть 'Н, не содержит вершины, .соответствующие буквам 610, .ся при ьч = 1 и буквам ая, 68 при п6 = 2.
Пусть 'Н'„, базовый тип расщепления сети 'Н,„,. Если сеть 'Н', не допускает строго допустимук1 деформацию, то соответствующее ей слово положительно справа. Иначе рассмотрим два случая. 2.1) Пусть с = 1, и пусть сеть 'Н,'.„ допускает строго лопустимунэ деформацик1 1у„,. Совершая преобразования как в случае 1.2), полу гаем «(т~(с2, 111)) = «(т+(с1. 111~)) > О, поскольку слово с1 положительно справа. Здесь 711~ строго допустимая деформация для с1, совпадающая с т11 на общих буквах., т.е. на всех, кроме последнси; «(Т (с,'~, 7/~)) = О«(т (ся, Ц2)) > О., ПОСКОЛЬКУ СЛОВО с1 ПОЛОжнтЕЛЬНО спРава. Здссь 11! стРого ДопУстимаЯ ДефоРмациЯ ДлЯ ся, совпаДающаЯ с 111 на общих буквах, т.е.
на всех., кроме первой. 2.2) Пусть х = 2„и пусть сеть 'Н'„, допускает строго допустимую де ф ормацин1 11,. Имеем «(т (с2,'11~)) = т (Н< с 11~ 7,) + «(т+(и1ся. 11~ )): «(т (ся, 117)) = «(т (пяс7, 717 )) + Я (Ня, 717,—,). Используя равенства «(Т+(а7ся, п1 )) = О, «(т~(асс7,7у7! )) = О и полуэкстремальность справа слова сс, которое влечет неравенства з ('Н', 111.„,) > О, з ('Н~~., 11~,„,) > О, получаем положительность справа слов Н1 2 с2 и ся. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть слово ь полузкстремально справа.
Докажем, Что СЛОВО а ПОЛУЗКСТРЕМаЛЬНО СПраВа, т.с. НаДО ДЛЯ ВСЕХ ПОДСЛОВ ас СЛОВа а доказать справедливость неравенств «(т+( „,, 11+)) > О для любых строго допустимых деформаций д~ Е Л~(а„,). Поскольку т~ (Ьь) = с ь . тя (Ья) = 1 и тя (67) = я ° то П1с1(т~+(Ьь)) = П1с1(т~+(Ья)т~+(67)).
Аналогично, поскольку т~+(Ьь) т2 (61ь): я и т7 (Ьь): с, то П111(т2 (ЬВ)): П111(т~ (61ь)т~ (Ьь)). СледОВа ТЕЛЬНО, ПОЛОжИтЕЛЬНОСтЬ СПРаВа СЛОВа а И СЛОВ сс7, ДЛЯ КОТОРЫХ СУЩЕ- ствует р(д) такое, что имеет место равенство а7,1ь = ь„,1,1, где ьр1,1 некоторое подслово слова ь, выполнена. Достаточно рассмотреть редукцию одной буквы. 1) Пусть а = а;67,... 6;... Ь~,,С~, тогда ь = а,.<ь ~;1 = с7;Ь;,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
