Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Степень вершины Ориентация базиса ( ц ~, л~) на К и условия на инцидентные ~~ ребра положительная и Ха11(ггг ~, Уг~) = 3 отрицательная и Ха11(я~ ~, я~) = 3 положительная и Ы1(л~ ~. л~) = 0 отрицательная и Ха11(лц ~, я~) = 0 положительная и пара Ха11(тгу ~, -и ), Ха11(яб.л ) равна (О, 0) отрицательная и пара Ха11(лу ~,=г),Ха11(игр,кХ) равна (0,0) (Ха11(л~ ~,я~ ),Ха11(лб="~ ) равна (О, — 3) (Ха11(за ~, я~+), Ха11(л'р, я~+) ) равна ( — 3, 0) положительная и пара Ха11(~ту ~,ы~ ),Ы1(лбы~ ) равна ( — 3,0) отрицательная и пара ХХа11(-г ~, е+), Ха!1( б =с+) 1 . вна (О.
— 3) отрицательная и пара Ха11(;г~ ~, -.~+), Ха11(л~, "-~+) равна (О., 3) положительная и пара Ха11(л~ ~, я~ ) „Ха11(лб =-,~ ) равна (3. 0) отрицательная и пара Ха11(~ у 1, =~ ), Ы1(лб =~ ) равна (3, 0) положительная и пара Ха11(лу ~, ср ), Ха11(ГО ср )) равна (О., 3) положительная и пара Ха11(л~ ~,=-~ ),Ы1(яб=-~ ) равна (3. — 3) (Ы1(лу ~,к~+),Ы1(тг~,к~+)) равна ( — 3,3) положительная и пара Ха11(л~ ~,=-~ ),Ы1(лб=-~ ) равна ( — 3.,3) при ж = О имеем 1 < г', У, < 16, 1 < у < 18. В обоих случаях 1 < т < и — 2. множество всех слов вида и;5у,... б ас~, обозначим через А. Слово а, соответствующее правильно ориентированной сети Г, будем записывать в виде а = И' (Г).
Замечание. Отметим. что одно и то жс слово может соответствовать нескольким сетям. В дальнейшем мы покажем. что сети, которым соот- встствуст одно и то же слово, экстрсмальны или нс экстрсмальны одновременно. Поэтому для исследования экстремальности сети такая -факторизация" оправдана. Пусть Г'. С' -+ К2 единственный базовый тип расщепления сети Г, и, ~ — — 1Г': и~~ — + К2) представители вершин =ч = 1Г: п~ — + К2), У = 1,..., п — 1, сети Г в сети Г'. Отметим. что вершины ч могут быть как внутренними, так и граничными.
а вершины;Л только внутренними. / Определение. Строго допустимая деформация у: 1'д -+ К~ сети Г' называется положительно ориентироьипной для слова а = И'(Г). сели базисы (Яб тУ(п~)), гДе У, = 1,..., и — 1. и (л„1. хУ(иа)) положительно оРиентированы на К, и отрицательно ориентированной для слова а. если базисы (гп, ц(иУ~)), где У = 1..... и — 1, и (л „, ~, ку(иа)) отрицательно ориентированы на К. Замечание. Не для каждого слова а = И'(Г) сушсствуст как положительно, так и отрицательно ориентированная строго допустимая деформация сети Г .
Например, если слово а содержит оукву 62 (Ь~). то для слова а не существует положительно (отрицательно) ориентированной строго допустимой деформации. Обозначим через Л (а) множество положительно Ориентированных для слова а = И'(Г) строго допустимых деформаций сети Г' с единичной нОрмои, и через Л (а) мнОжество Отрицательно ориентированных для слова а строго допустимых деформаций сети Г' с единичной нормой. Напомним, что под нормой !!хуЦ деформации ху: 1~я — + К~ мы понимаем выражение шах ()гу(х) )).
хЕ1',р Из определения допустимой деформации вытекает Утверждение 4.1. Пусть а = И'(Г). Тоеди имеет, место следуующее равенство: Л(Г ) = Л+(а) 0 Л (а). 75 Опищсм вес словн а из 4, для которых множества Л+(а) и Л (а) нспусты. Из определения строго допустимой деформации получаем 'Утверждение 4.2. Множество Л+(а) нспусьпо тогда и только тогда, когда а = а;Ь,... Ь,,с~ удоелетпво1кяелтп одному из следующих условий: 1) при х = 1, 2 аыполннстться г', .й ~ 2, 4, 6+.т, 1,„, ~ 2, 4, т = 1,, и — 2: 2) при т = 0 аьп~ояняетпсн г', й = 2д + 1, 1',а = 2е1 + 1,.6.
16. 17, 18, 0 < д< 7, тп =1,....п.— 2. Множество Л (а) нет~устно тпогда и только тогди, когда а и,Ь,... Ь .,сь удоаяетпворяетп одному из слсдутощих условий: 1) при т = 1, 2 аьтолняетткя т', 1; ф 1. 3, 9 — х, 1„ф 1,3, т = 1,..., и — 2: 2) пРи т = 0 «ыполнЯстсЯ, г', Л: = 2а. 1ел = 2а,5. 15. 17. 18, 1 < д < 8, т =1,...,п — 2. Утверждение 4.3. Пусть й; количество бука а; и с, в слове а, а 1; количество бука Ь.;.
Тогда, если мноясестттво Л+(а) непустпо, тпо его мощность риони 2~' для, ж = 1, 2 и, 26+"ча для ж = О. Ани,логично, если множество Л (а) непустпо, то его мощность риони 2~' для т = 1., 2 и 2'-'+""" дяя .т = 0 Для х = 1. 2 положим: 1) д~(6,+~1 0) — а, к — 1,2. д~(Ь') — д~(67) = ат, д~(Ья) — д~(68) = а8, Й(69) = Й(610) = ав 2) д„(6;„.,1. 0) = с;. 1 = 1., д,(6;) = д„(Ья) = ст. д.(Ья) = д.(Ь~о) = с8, д„(67) = д,.(Ья) = ся. Аналогично. для ~ = 0 положим: 1) д~® = а;. г = 1,2., д~(Ь-;) = ду(6~ ~) = ад, д~(Ья) = д~(Ь~т) = а~~, Й(Ья) = Й(Ь~в) = ап..
Й(Ьщ) = Й(Ьм) = а~я; Й(6~~) = Й(6~8) = аи; Й(Ь~я) = дг(Ьы) = а~я:, ) К (~~) — с~,; ~ — 1; 2; Ж (Ьт) — Ж (61~) — с~~; да(Ьв) — Ж(6~') да(Ья) = д (61я) = сиз: д (Ь~с) = д (61в) = с12; да(Ьи) = д (Ь~т) д (Ьгя1 = д.(Ьы) = см. Определение. Слово ь называется собственнтлм подсяоаом слова а ааЬ;,...
Ь с~, если оно может быть представлено в одном из следующих видов: иЬ,,... Ь,,да(6 ). д~(61 )Ь,., Ь, сь, д~(6)6 ~,... Ь,,д(Ь ), где 1 < р.е1 < т. Слово ь называется подслооом слова а, сели оно либо совпадает с а, либо является собственным подсловом слова а. Определение. Рассмотрим произвольное слово а и произвольное его подслово ь, удовлетворяющее некоторому условия~ С. Будем говорить, что подслово ь максимально относительно доловил С, если нс существует подслова с слова а, удовлетворяющего условию С., для которого слово ь является собственным подсловом. Будем говорить, что подслово ь мини„нально относитпельно деловия С.
если нс существует подслова с слова я, удовлетворяющего условию С и являющегося собс:твенным подсловом слова ь. Пусть Г существенная подсеть правильно ориентированной существенной сети Г. Ориентация образующего пути сети Г естественным оорззоы порождает ориентацию на об1эазующеы пути сети Г. Следовательно, на сети Г единственным образом определяется ориентация, для которой сеть Г правильно ориентирована. Из определений подслова про- извольного слова и подсети произвольной сети получаем ;Утверждение 4А. Слово И'(Г) является подсловои слова и'(Г).
Верно и обратно, для, каждого подслово ь слова И'(Г) еди1ествдет сдияественная, подсеть Г сети Г такая,. ито ь = И'(Г). 4.2. Ф>ормула первой вариации существенной сети Пусть Г произвольная правильно ориентированная существенная сеть на А-нормированной плоскости. Исследуем формулу вариации для сети Г. Рассмотрим два случая. (1) Пусть ж = 1, 2. и ь некоммутативная свободная группа с двумя образук>щими 1, и и единицей е, т.е.
любой элемент группы имеет вид у 'я '...у""я "', где Й;,1 б К. Пусть нам дан произвольный элемент О й~ 11 К„1„, уя1пд ...хя""я~'"' группы ь. ~1исло пн1(9) = Й~ — 11+ + Й вЂ” 1 оудем называть индекеол элемента д. Лемма 4.1. Справедяивы следдощие равенства: 1) 1пс1(е) = О; 2) пяс1(, 0 ) = Ы( ) + Ы(0 ) . Определим отоора;кение у: б — + К, положив ~ = 2 сов( —;, + ',о ), у( ) = О, у(~") = ~~(У вЂ” 1).,1(я') = —.(1 — 6 ~) и продолжив на все остальные 77 элементы д = !~'я~'...
!~"'я~""1 где Й!11, Е К '«10) при 2 < г < т, 1 < !' < т, — 1., 1:!, !„е К1 по правилу «(я) — Х(.!11 ) + Ф! «(П!1) +... + д!11 !1+"'+йт — ' !т — ' «(1~т ) + Ь!Э !1+"'+!т — 1 !т — 1+Ьт,.1 !т ) «(я Лемма 4.2. Имеет,често равенство «(д !! ) = «(д) + Р 1~!«(ц). Доказательство. Достаточно показать, что «(!"'+"=') = «(!""')+6"" «(!"') и,~(я '+'1) = «(я ') + о '«(я '-'). Действительно1 «(! '+") = ~(б '+ '-' — 1) и «(! ') + д~'«(! -) — —,(6 ' — 1) + д '~(б~1 — 1) = ф(6~'~~- '— 1). Аналогично доказывается равенство «(я" +") =,~(я") + о "«(я"). Лемма доказана.
° Рассмотрим произвольное множество З1 состоящее иэ двух элементов и множество д х 1а Х 31 СоСтОящЕЕ ИЗ элементов (З!1Я,З ), гДе о 1= ь. Построим отображения и: З вЂ” + К и ~: 3 х 1а х 3 — + К, положив !1(~!) = ( — 1)' и ~(д.;1д11 ) = !!(~.;) + «(д) + !!'"' Я !!(з,.). , д(1 — д) 2(1 + о) Рассмотрим множество .р пар (а, !!~(а))1 где а = 11 (Г) для некоторой сети Г с базовым типом Г своего расщепления, причем множество Л~(а) непусто., и ту+(а) Е Л+(а). Гак как для слова а множество Л (а) непусто, го, согласно утвержд(- нию 4.21 а = и!Ь!,... Ь;с!э где г1Ь: ~ 21416 + х.,у„, ~ 2141пг = 1.....,/.
Построим отображения т!+: (а1э с!., г. А. ~ 2.4,6+ х) -+,.11 гф: ~Ь,' 2,4~ — э ь и т+: ~+ — э з х а х з, положив: 1) т!+(и;) = т!+(с!) =;я, если г' = 1, 315111 — 2ж1 и т!+(пя) = т1~(с!„.) = 1!., если Й' = 6,7+ х; 2) т~+(Ь1) = ! я . ! = 31 5, гф(Ь6) = я!1 т~ (Ьт) = я ., т2 ® т~~(Ь1я) = ! ', г~~(Ь!я) = я', 3) г~ (~1 !!+(а)) = т (а;Ь ',...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
