Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 18
Текст из файла (страница 18)
ЬВ67... 61 „С1, и зто слово полуэкстремально справа. Достаточно показать положительность справа слов ь ~ — — а;Ь;,... д,.(6;,) и ь~ = д1(ЬЬ)... Ь,„,,,с~. Поскольку дс(ЬВ) = дс(ЬВ) и д1(ЬВ) = д1(67), то положительность ь1 и ьь сразу следует из предположения теоремы (они являются собственными подсловами слова ь). 2) ПУсть а = цб,...
6В... Ь;,сьс тогДа ь = сс„1ь ь1 = а;67,... 6п16ь... 6,сь. и это слово полуэкстремально справа. Достаточно показать положительность справа слов ь) — — а;6,... д,.(65) и а2 = д)(65)... 6 „,С),. Поскольку д,.(65) = д,(6)о) и д)(65) = д)(63). то положительность ь ~ и ~2 сразу следует из предположения теоремы (они являются собственными подсловамп слова 5), Достаточность доказана и вместе с этим и вся теорема. ° Пусть а п1)оизВОльное СЛОВО. РассмОГрих1 слОВО а,дц () 44~), кОГОрое полу-1ает«я из слоВа а замен()Й 63 = 6967 (64 = 61068).
Определение. Будем говорить, что слово а,р~ ()„<4>) получено из слова редукц1),е)), по букве 63 (64). Из доказательства теоремы 4.2 вытекает Следствие 4.1. Слово а полуэкстремильно справа тогда н только тогда, когда, полуэкстремально сприоа, слово а,43р Слово а полуэкстремильно слеоа тогда, и только тогда, когда пол)рэкстремально слева, слово а,)4р 4.5.
Критерий полуэкстремальности слова для ж=1, 2 Пусть Г: С вЂ” ) К произвольная сушественная сеть на Л-нормиро- 2 ваннои плоскости. и а = И'(Г). По теореме 4.1, экстремальность сети Г равносильна полуэкстремальностп справа и слева слова ). Исследуем полуэкстремальность произвольного слова ) = а.;6,,,...
6),с1. Рассмотрим только случай полуэкстремальности справа (в противном слу гае поменяем ориентацию образующего пути). Без ограничения общности будем считать, что множестВО Л (а) непросто, иначе полуэкст1)емальность справа слова а равносильна полузкстремальности справа его подслов, для которых существует строго допустимая деформация. Используя теорему 4.2, можно считать, что 71, ~ 3, 4. 5 и 6, где р = 1....
)1. В результате мы имеем слово ), для которого), Й = 1. 3, О, 6, .9 — )., 9 и 7'„= 1, 7, 8, 9. 10. Учитывая равенства т1+(аь) = т+(а7+. ) = т+(с„") = Г+1«7+. ) = 31, Г1+(а1) = Т1 (а3) = 71 (а5) = 71 (а)1 2д~) = Г, (С1) = Т1 (С3) = 71 (С5) = 71 (С11 — 2м) 32; переобозначим буквы а1, а3, .ив, ав. ая ., ая., с1, С3, св, .св, ся ... Ся, поло)кив 115 = 1)7+,, = Св = С7+д,. = ) ) И а1 = ))3 = ))5 = а)1 2,. = «1 = С3 = С5 С11 2,, = )'2. Имеем Г1 (Я = 3;, 1 = 1, 2.
Переооозна.)им 61, 67, 63, 63 И 613. ПОЛОЖИВ 61 = сй. 67 = сй, 11Ь = Ф. 119 = д2 И 1110 = дв. Переопределим д,, и дб положив: д1(д1) = д (дв) = Л, д1(д2) = д1(дв) = д1(Ы = д (д1) = д (д1) = д (дь) = У2 при х= 1; д1(д2) = д1(дв) = да(д1) = да(д1) = 11, д1(д1) = д,.(д2) = ~2 при х = 2., см. рис. 4.1 и 4.2. Из определения строго допустимой деформации и определения полу- экстремальности справа получаем Утверждение 4.7. Слово а т1олдэкстремильно (справи1 тогда и только п1огди, когда слово а и киждое его собспяенное нодслово относип1ельно новьи: операций д, и д1 положип1ельно (справа).
Поскольку мы рассматриваем только полуэксгремальносгь сп1>ава, го будем писать т Вместо 7+. Определение. Рассмотрим произвольное слово а = ~;д1,... д;,11.. Крученнсм слова а будем называть число Тог(а) = р — д+ т — «+ 1+ 3 — (1+ Л:), где р, .д.
г. в и 1 количество букв д1., д2, дв. д1 и д; соответственно в слове а. 4.5.1. Редукция внутри слова (1) Избавление от д„.,д, где (, и) = (1.2), (2,1), (3,4), (4,3) Лемма 4.5. Слово а = ~;д;,...д,;,,д,„,д д,, д,,~ь, где (а~,ст) = (1.2), (2,1), (3,4), (4,.3), нолуэкстрсмильно тогди и только тогди, когда но- ЛУЭЕСП1РЕМиЛ1~НЫ СЛОВа Ьв = ~~д1,... 111а,ф .... д1,~1д 'а 1) ь р = ~д,,... да(д. ),.
ь 2 — — д1 (д. )... д,, ~1,, если (а'., и) = (1., ):, 2) ь1 = 1с%, д.(д..+2) ь2 = д1(д-+21 дядь: -''л: ( '.и) = (4.3):, 3) Ь~ — — ~;д7,...д;а,д„,да(ф,-). Ь2 = д1(д,„)д,д7,„„...д;,~1, еслн (~лг) (2,1), (З.,4). Нрнчем сприведлнво равенство Тог(а) = Тог(ьв) = Тог(ь1) + Тог(ьв) + ( 1)х — 1 Доказательство. Докажем только случай, когда (,о) = (1,2) (остальные доказываются ан 1логично). Необходимость. Пусть слово а полуэкстремально. Полуэкстремальность слов ь.;, где 1 = 1. 2, имеет место. так как они являются собствен- НЫМИ ПОДСЛОВВМИ СЛОВа а.
Докажсь»1» что Слово ья полуэкст1эемально» т.е. Каждое его подслово положительно. Положительность собственных подслов» которые не соде1эжат букв«д.;, или д1(д»,)» выполнена, так как они соб< твенныс. подслова слова а. А положительность остальных подслов слова ьз следует ИЗ Положнтсльности ПОДСЛОВ СЛОВа а» КОТОРЫЕ СОДЕржаТ д, да. И раВЕНСТВ -(. )= -(.-)= -':,(1)+,(-1)= Достаточность. Пусть слова ьг, ьв и ь з полуэкстрсмальны.
Докажем, ЧТО СЛОВО а ПОЛ«ЭКСТРЕМаЛЬНО. ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ СООСТВЕННЫХ ПОЛСЛОВ, КОТОРЫЕ НЕ СОДЕРжат д да» име»е»т х1есто, так как Они собственные подслОВН слоВа ь1 или ь2. А по- ЛОжитЕЛЬНОСТЬ остальных ПОДСЛОВ слова а СЛЕДУЕТ ИЗ ПОЛОжИТСЛЬНОСТИ подслов слова ьз и равенств г(д.„,) =1» г(д ) = т ' и «'(т) + д;«'(т ) = О. Проверим равенство. Равенство 'Тог(а) = Тог(ьв) выполнено, так как д1 дает плк1с» а д2 м11нус. Пусть Тог(а) = р — д+г — «+~+3 — (1+а), где р. д, г, в и Е коли»1ество букв д1» д2» д„, дл 1л д; в слове а соответственно. Тогда Тог(ь1) = р1 — д~+тч— в1+г1+3 — (е+2) и Тог(ь в) = Р~ — дв+㻠— 8~+Ее+3 — (1+к), гДС Р1» о ч 7~, 8~ и Еэ» количество букв д1» д~„дз, дл и д„.- в слове ь, ) = 1» 2, соответственно, и (р1+рв) — (д1+ дв) + (т'1+ та) — (в1+ в2) + (~1+ ~2) = р — д+ г — в+ ~+ ( — 1) Здесь мы использовали равенства дг(д.
) = ~~ и д1(д. ) = Д. Получаем Тог(ьт) + Тог(ьа) = Тог(а) + ( — 1) . Лс;мь1а доказана. И (2) Избавление от д, д, где (с, о) = (1»4), (4,1), (2,3), (3,2) Лемма 4.6. Слово а = ~д;, ...д~а,д,„,д д а...д,~1,, где (,о) = (1»4)» (4, 1)» (2» 3), (3» 2).
по,лдэкстремвльно тогда и, тполько тпогдп» когда полУэкстпРемпльнгл его подслова ь1 = ~';дэ,...д,т,д,„.д„.(д ). д1(д„.)д,-д,а„...д,,~г д,ля .т = 1 (х = 2) и ь1 = ~'.,;д,,,...д;а,д».(д, ), ь2 = 01(д )д., д,~1. длл т = 2 (х = 1), сели (' ',ст) = (1»4), (2»3) ((о.»о') = (4» 1), (3» 2)). ПРичем спРиведлл1во Равенство Тог(а) = Тог(Ь1) + Тог(Ьа). Доказательство. Рассмотрим только случай.
когда (сэ» о) = (1» 4). ПУсть слова ь1 и ьа полУэкстРемальны. Докажем, что слово а полУэкстремально. Положительность собственных полслов, которые не содержат д„,д для т = 1 и букву д . для т = 2. выполнена, так как они собственные ПОДСЛОВа СЛОВа Ь1 ИЛИ Ьа. РаССМотрПМ ПРОИЗВОЛЬНОЕ ПОДСЛОВО СЛОВа а» СОДС»»р1кащсо» д~да. ООО- значим это слово через ь и докажем его положительность. Рассмотрим произвольную строго допустимую деформацию 11(ь) Е А+(ь) для слова ь.
Обозначим через ь; максимальное слово, .являющееся собственным подсловом как слова ь» так и слова ь;, где т' = 1, 2. По условию слова ь.; положительны. Определллм для слов ь; строго допустимые деформации следующим образом: гу(эл) Е Л+(ях) и ху(ях) . ~ — — ху(ч) ~. ~ р т.е. деформация ху(~л) отличает«я от деформации «у(о) лишь на букве д,.(д ) = у'., для д« = 1, «у(я«) ~, = «у(э) ., т.е.
деформация «у(я1) отличается от дефорд1~«х,(д.у 01~д, д р мации ху(а) лишь на букве д,.(д,„,) = у1. для х = 2; «у(яа) Е Л~(оя) и а.ху(э2) . = ху(а) ., т.е. деформаци.я аху(оя) от- ~М(д) ~ '~«хю(д у' личается от деформаци1л ху(а),плшь на букве ду(д, ) = У~, для д« = 1, аху(ч2) ~, < — — ху(ч) ~, . т.е. деформация аху(эя) отличается от дефор- 02~6 (д.у дз'~«хсЬ )' мации ху(э) лишь на букве д«(д,) = ~~, для д« = 2. Здесь а нормирующий коэффициент.
Имеем ~(т(о1, ху(ах))) + а«у(т(д~, ху(яя))) = ф(ч., ху(ч))) + +(1 — д«)У (К(.) + БЛ(ч )) + Б~(д'~ гси(хя) + х:(хл)) = ~(т(ч, «у(э))) > О. Следовательно, слово д положительно и слово ч для д« = 1 полузкстре- мально. Для случая д. = 2 осталось проверить положительность подслов, содержащих д. д,.(д ). Берем произвольное такое подслово и обозначим его через о. Обозначим через я1 максимальное слово, являюще~ ся собственным подсловом как слова о, так и ь ~.
Пусть д(я) Е Л~(а) произвольная строго допустхлмая деформация о. По ней единственным образом определяем строго допустимую деформацию ху(д1) Е Л+(о1) слова э1. По условию слово а1 положительно. Имеем «~т(э, «у(э))) = ~(т(ах,ху(о «))) + У(~(х) + Й:(хх) — «х(;1)) > > с(т(ч~, ху(~~))) > О. Следовательно, слово а положительно и слово а для д« = 2 полуэкстремально. Проверим равенство Тот(ч) = Тог(ь ~) + Тот(ь а). Пусть Тот(а) = Р— д+х — в+У+3 — (г+Ух), где Р. д, т., я и У количество оукв д1.
«у2. «уя, дл и «ув в слове х соответственно. Тогда Тот(б ~ ) = Р1 — «у1+х ~— 8!+У~+3 — (л+3 — «) и Тол (ь2) Уха — «У2+«а — ва+«а+3 — (1+к), где Ру; ф. «х, чу и Уу количество 6Укв д«., дхь дя. дл и д;, в слове ьу, У = 1, 2, соответственно. хл (Рл + Р2) — (й + Яг) + (тл + х'2) — (Ях + вг) + (Уп + Ь) = Р— Ч + х' — Я + У. Здесь мы использовали равенства д,.(д ) = ~я, д«(д,„,) = ул для д« = 1 и д,.(д„,,) = Д. ду(д,) = ~я для х« = 2. Получаем Тот(~1) + Тот(~ч) = Тот(ч).
Лемма доказана. ° (3) Избавление от д,„,д, где (7,7т) = (1.3), (4,2) Лемма 4.7. Слоьо с7 = ~;д«,...д,,д.д д«~~7...д;Л.> где (а7,7т) = (1.3) ((; ~, а) = (4. 2)) > «7ол7«экст«ъремалс>но тогда и тполько пьогда> когс«с«пГ)л7~э7»сп»ремал1>н7>7 егГ) 770дслоьа ь 1 = «;ф ... ф 1Г«д„(с«с-), ь > дс(д„..)д„д„,...д,,11 д,л„я, с = 1 (х = 2) и ь7 = ~';,д,,... д...д,,(д,,')> ь~ = дс(д )д,,... д, ~ь для, ~ = 2 (~с = 1). Пр7»ссеп сщ«с«ьедл7»ьо рс«ьенстьс« Тог(~) = Тог(ь«) + Тог(ь ~) + ( — 1) ' . Доказательство. Для Г = 1 и (.. Гт) = (1,3) рассмотрим слово с = «'1«1., а для .С = 2 И (',О) = (4,2) 1«аССЬ1ОтрИМ слово с = ~~~2.
Для слова с В обонх СЛУЧаЯХ ПОЛУЧаЕМ ((т(с,«7(с) 7) = 27О(1,,', < О, ГД'> ««(с) 7=. «1+(с). СЛОДОВа.теЛЬНО, СЛОВО с и Все СЛОВа а, ь7 п ь2 Неполуэкстремальны. Для с = 2, (и,, о) = (1.3) и для ж = 1, (с,, о) = (4.2) докажем, что СЛОВО с ПОЛУЭКСтРЕМаЛЬНО В ПРЕДПОЛОжеНИИ, ЧтО СЛОВа Ь1 И Ь2 ПОЛУЭКСтРЕ- мальны. Положительность собственных подслов слова д, которые не содержат д д, имеет место, так как они собственные подслова слова ь 7 или ь7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
