Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Из-за симметрии достаточно рассмотреть только случай, когда слово о содержит д, д,(д ). Рассмотрим произвольнун> строго допустилук«дефорллацик«««(о) Е Л+(о) для слова о. Обозначим через о« максимальное слово. являюшсеся собственным по ослоном как слова о, так и слова о«.
По условию слово ол положительно. Определим для слова ол строго допустимую деформацию следующим образом: «1(о~) Е Л+(о1) и «у(о1), = «у(о) ., т.с. деформация зу(о1) отличается от дсформашли у(о) лишь на букве д,.(д„) = «2. 98 Имеем ~ (т(ь эху(ь))) = ~~(т(а ~., ху(ь ~))) + У (|(я ) + ххп(ъа) — и(|я)) > > с(т(а~,ц(ь|))) > О. Следовательно, слово ь положительно. Из а) и 6) получаем полузкстремальность слова а для х = 1. Проверим равенство Тог(а) = Тог(ь|) + Тог(ь2). Пусть Тог(а) = р — у+х — ь+ ~+3 — (х+Л), где р.
а, х, в и К количество букв д|, дх. д|, дл и дь в слове а соответственно. Тогда Тог(ь х) = р| — у|+|'|— ах+~|+3 — (х+2) и Тог(ьг) = р2 — д2+х2 — «а+~а+3 — (2+Ус), где р|, д|, г~, ях и количество букв д|. дго д;|. д| и у;, в слове ь,, х = 1, 2, соответственно. и (Р|+ргх) (д|+Ча)+(я|+та) — (яг+вхх1+(||+~2) = р — у+г — я+1+1. Здесь мы использовали равенства д,(д„,) = д|(до) = х2 для г = 1 и да(у0) = д|(у )— ~а для х = 2. Получаем Тог(ь1) + Тог(ь2) = Тог(а). Лемма доказана. ° (7) Избавление от д,„,д„,, где = 2, 4 Лемма 4.11. Слово а = ~;у,... д,, у,„у„у,... у, ~~., где ьа = 2, 4, полу- экстремально тогда, и п|олько тогда, когда полуэкстремальны его поде,лова 1) ь ~ — — Д У|,...
дх',, д„, д, (У,„),. ь 2 — — дх (д,„) д„... дд, 1| длхл ч = 2; 2) ь| — — ~.;д,,... у...д„(у, ). ь2 = д|(д,, )у...,„, ... у,,Я., где т > 2 манимальное число, для, которого определен д|(д,), для, х = 1 и ах = 4; 3) ь| = );д,,...д;,д,.(д, ), где т > 1 минимальное число, для которого определен д,.(д, ), ь2 = д|(д,,)д,,...д,,)| для лх = 1 и = 2. Прххчем для х = 1 тунлеедлтео неравенство Тог(а) ( Тог(ь |) + Тог(ь2), а для 'х = 2 равенство Тог(а) = Тог(ь1) + Тог(ь2). Доказательство. Используя симметри|о, достаточно рассмотреть только случай. когда ао = 4.
Пусть слова ь ~ и ьа полузкст1|емальны. Докажем, |то слово а полузкстремально. Положительность собственных подслов, которые не содержат букву д,„, для ж = 1 и д,„д„для ч = 2, имеет место, так ка|г они собственные подслова слова ь ~ или ь 2. Доказательство для х = 1 положительности подслов. которые содержат у~у~, аналогично доказательству леммы 4.~', а которые содс1зжат у„дх (д„.,), аналогично доказательству леммы 4.6. Следов||тельно, слово а пол~ зкстремально для .х = 1. Пусть х = 2. Рассмотрим произвольное подслово слова а, содержащее д„,д„,.
Обозначим это слово через ь и докажем его положительность. Рассмотрим произвольную строго допустимую деформацию ху(я) Е Л~(ь) для слова ь. Обозначим через ь.; максимальное слово, являющееся собственным подсловом как слова ь, так и слова ь;, где г = 1, 2.
По условию слова э, положительны. Определим для слов э, строго допустимые деформации следующим образом: »у(ь1) Е А~(о ~) и ху(ь1), = ху(ь) ~, т.е. деформация су(ас) отлиьс~д,,С»„,) ь~ ~,д, (д„) ' чается от деформации кр(ь) лишь на сбукве с»,.(д,„,) = ~г.', »1(ь2) Е»1 (ь2) и си~(ь2) = д(ь), . т.е. деформация ссц(ь2) отличается от деформации ~)(ь) лишь на, букве дс(д,„) = ~2. Здесь й нормирующиг1 коэффициент. Имеем с(т(ъ, д(ь))) ~(т(ь,,ху(ь с))) + а~(т(ь;.п(ь»))) — д'(»»(з|) + г(д2)) = = ~(т(от, »1(ь1))) + а~ (т(о2., д(о2))) > О.
Следовательно, слово а положительно и слово сс полуэкстремально для — 2 Проверим неравенство Тог(а) ( Тог(ь1)+Тог(ь 2) для х = 1 и равенство Тог(~) = Тог(ь1) + Тог(ь») для». = 2. Пусть Тог(я) = р — д+т — в+Р+3 — (с+7.) „где р. д, т, в и й количество букв д1, дго дз, д,с и дь в слове а соответственно. Тогда для»с = 1 имеем Тог(ь ~) = рс — д1+тг — в~+1~+3 — (с+2), Тог(ь2) = р» — сс2+т2 — «2+~2+3 — (х+ 2). где х = 1 или 2.
а для»с = 2 Тог(ьг) = р1 — д1+т1 — вг+~1+3 — (г+1), Тог(ь2) = р2 — д2+т2 — в2+12+3 — (2+~), где р». д»'., т», ь'с и 1» количество букв д1, д». дя, дя и дь в слове ь, » = 1, 2, соответственно. Причем (Р1+ р2) — (»1+ д2) + (тс + т2) — (вг + в2) + (~~ + ~2) = р — Ч+ т — «+ ~+ у(2 М Где д ~ )1. Здесь мы использовали равенства д~ (д„;): ~~ для»г: 1 и сс„(д„,) = ~~., дс(д„,) = »2 для»г = 2. Получаем Тог(ь~) + Тот(ь») = Тог(сс) для»г = 2 и Тог(ь ~) + Тог(ь») ) Тот(а) для»г = 1.
Лемма доказана. ° 4.5.2. Редукция в начале и в конце слова для»с = 1 (1) Избавление от ~'„.д2 и д1~,„,, где: = 1, 2 Лемма 4.12. Слово а = ~, д»д,,...д,)ь (а = »,д»,...д,,д4~,„), еде = 1, 2, пояцэъхгпремссльпо »поедя и 7пс»льР".с» 7поеду, ес)едсс гсоляэкспц»емс»ль'нс» его подслово ь = дс(дг)д „...д:,~~, (ь = 1сд,,...д»,,дг(д~)). Причем справедливо ривенстпво Тог(а) = Тог(ь) + 1 — .. 100 Доказательство. Используя симметрию, рассмотрим только слово а = д2у«., д,Л., где а« = 1, 2. Пусть слово ь полу экст1«емально.
Докажем, «то слово а полуэкстрсмально. Положительность собственных подслов. которые нс содержат 1„,д2.имсст место,так как они собствснныс подслова слова ь. Рассмотрим произвольное подслово слова а, содсржащсс ~,„,д~. Обозначим это слово через а и докажем его положительность. Рассмотрим произвольную строго допустимую деформацию гу(ь) Е А~(а) для слова а.
Обозначим через ~' максимальное слово, являюгцссся собственным подсловом как слова 1, так и слова ь. По условию слово ~' положительно. Опрсделим для слова ~' строго допустимую дсформапию следующим образом: 9(ь ) Е Л (ь ) и аку(э') „~,«< ~ — — «1(«),, т.с. дсформашгя «у(о') отличает< и от дсфо1«мации ««(~) лишь на букве д«(д«) = 1а. Здесь а ноРмг«1«Ув«щигг коэффициент. Имеем Следовательно, слово ь положительно г«слово а п~«луэкст1«смально. Проверим равснство Тог(а) = Тог(ь) + 1 — а«. Пусть Тог(а) = р — д+ г — я+ 1+ 3 — (ьа+ Й), гдс р., д, «, я и 1 количество букв д«. д«, дя. д~ и дь в слове а соотвстствснно.
Тогда Тог(ь) = р' — д'+«л — я'+1'+3 — (2+1), где р'. д', г'. я' и г' количсство букв д«, д«, дз, д; и дь в слове ь соответственно, и р' — д'+г' — я'+г,' = р — д+г — я+1+1. Здесь мы использовали равенство д«(д2) = ~~. Получаем Тог(ь) = Тог(«). Лемма доказана. ° (2) Избавление от ~ад«и д2~« Лемма 4.13. Слоео а = ~2д«д«;,...д;,~~ (а = ~д«,...д«,,д~Я полуэксгп«1«емально тогда и п«олька тогда, когда полуэкстпремально его подслоео ь = д«(у:,)... д«, ««,, где «и > 2,мин«имя«льнов число, для, которого определен д«(д, ) (ь = «';у,,...
у...д,.(у;, ), где «и > 1 минимальное число, для, которого определен, д,(д;,, )). Причем, спраеедлл«ео не1«аеенспяо Тог(а) ( Тс«г(ь). Доказательство аналогично доказательству леммы 4.12. Проверим нсравснство Тог(«) ( Тог(ь ) только для слова « ~~д«д, д;, «р;;. 101 Потеть Тог(а) = р — у+г — в+~+3 — (2+1). где р, д, т. в и ~ количество бУкв Ут, дэ, дз, дл и д,.; в слове а соответственно. Тогда Тог(ь) = Р' — д'+т'— е'+т'+3 — (х+Й), х = 1 или 2. гдг р', д', г'. в' и т' колги ство букв у1, др, дз, д4 и дь в слове ь соответственно, и р' — д'+т' — в'+т' = р — д+т — «+1+у.
где у > О. Получаем Тог(ь) > Тог(а). Лемма доказана. ° (3) Избавление от ~~д,-,уа и укдД~ Лемма 4.14. Слово а = ~ВЛьд24;, д,,~ь (а = ~ту,,...д,, для~) полуэксттфемильно тпогди и тт~олько тпогди, когда т~олуатьстттремильно его подслово ь = ду(ур)д;,... д.;,~ь (ь = Я.;,... д;,,др(д1)). Причем справедливо р«венство Тог(а) = Тог(ь). Доказательство аналогично доказательств~ леммы 4.10. ° 4.5.3.
Редукция в начале и в конце слова для м = 2 (1) Избавление от ~~д,„,, аэ = 1, 3, 4, 5, д Д, о = 1, 2, 3, 5, ~ау„-дь и дьдДВ Лемма 4.15. Слов«а1 = Кд„дэ.... уэ,Б., иэ Е (1.5), аа = ~уьр-,дта... д,,~ь (а1 = ~,дэ,... дэ',,да~~, о Е (3, 57, а2 = ~,дэ5 ... Цэ', дЯ,-,Я ттолЦэесттфемильньт птогди и только тпогдо,, когди полуакстпремильно их в«делово ь = ду(д „,)д;...,...д, ~ь., где т > 2 миним«лтьное число, для которого определен д~(д ) (ь = ~,д,,...д,,др(у, ), где тп ) 1 минимальное число, для копторого определен др(д, )). Причем сприведливо неравенстпво Тог(а) > Тог(ь).
Доказательство аналогично доказательству леммы 4.9. Используя симметрито, проверим неравенство Тог(а) ) Тог(ь) только для слов а ~ = ~~у,дэ,... 71э, ~ь. иэ б (1, 5 т. аа = ~ауьдьтП„... дэ, ~~. Пусть Тог(а) = р — д+г — «+~+3 — (и+А:)., где р, д, г, в и количРстВО бУкВ д~, Уа, Уз, д4 и Уь В слОВР ар. и = 1, 2, сООтВРтстВРнно. Тогда Тог(ь) = р' — д' + г' — в' + 1'+ 3 — (х + lс), х = 1, 2, где р', д'.
т', 8' и 1' количестВО бУкв д1, Уго Уз. У4 гг дь В слОВС ь соотВетстВенно, и р' — д'+г' — в'+1' = р — д+г — в+1 — у„у ) п.— 1. Получаем Тог(ь) ~ Тог(а). Лемма доказана. ° Лемма 4.16. Слово а = ~тдздэр дэ,~ь (а = ~;дэ,...д;,,дтЯ полузкстпрем«льна тогда и только тогда, когда полуэкстпремально его подслово ь = д~(дз)дэ, дэ,~ь (ь = ~,,д,, ... д...д,(д1)).
Причем справедл74во равенстттво Тот(а) = Тог(ь) + 1. 102 Доказательство аналогично доказательству леммы 4.8. Используя симметрик), проверим равенство 'Тог(а) = Тог(ь) + 1 только для слова а = ~~уяу;, у),~ь. Пусть Тог(а) = р — у + à — я + ! + 3 — (1 + !Х)/ где р/ (!. Г., а и ! количество букв д) . дго дз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
