Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 21
Текст из файла (страница 21)
д) и д; в слове а соответственно. Тогда Тог(ь) = р' — у'+ Г' — я'+ г'+ 3 — (1+ !;) / где р'. у'. Г', з' и !' количество букв д), дя, дз, дя и дь в слове ь соответственно, и р — у + à — я +! = р — у+à — я+! — 1. / / / / / Получаем Тог(ь) = Тот(а) — 1. Лемма доказана. ° Лемма 4.17. (,'лоео а = ~/р!4у„... (!),~ь (а = ~д), ...д!,,!!/~/) гхол/!экстреххально тогда и только тогда,, когда пол!!экстпреиально его подслооо ь — (// (У4) (!!., У/ ~ь ( ь = ! / (!! ... У! д/. ( У2) ) .
))Х//х //«/м с//!)(х«/едл/х() о !)аьенстоо Тог(а) = Тог(ь). Доказательство. Используя симметрик), мы рассмотрим только слово а = ~гд.)д!,... д!/ !~,. Пу/сть слОВО ь п(эл1/экстремально. ДокйэкРм, что слОВО а полуэкст))Р- мально. Положительность собственных подслов. которые не содержат букв !)дя/ выполнена,так как они собственные подслова слова ь. РассмотРим пРопзвольное поДслово слова а, .соДСРжашее ~)дх.
Обозначим это слово через д и докажем его положительность. Рассмотрим произвольную строго допустимую деформацию г!(д) Е А+(д) для слова д. Обозна шм через д' максимальное слово., являюшееся собственным подслоВом как слова д, так и слова ь . ПО услОВию слОВО 'д положительно.
Ощ)еделим для слова д' строго допустимую деформацию следуюшим образом: /!(д ) ~ Л (д ) и ау(д ) д,(О ! — — /!(д) д~~г ° т.е. ЛРФО1)мапиЯ /!(д ) отлхх )ад''(д/Ь4! д'~О/(а,) ' ется от деформации г!(д) лишь на букве с//(д4) = ~х. Здесь а нормирун)щии коэффициент. Имеем с(г(д.)!(д))) = = дС(г(д .,/!(д ))) + п(х)) + Э;(а ) — Й/(дя) = ду(г(д',)у(д'))) > О. СЛЕДОВатЕЛЬНО„ СЛОВО д ПОЛОжИтЕЛЬНО И СЛОВО а ПОЛУЭКСтРЕМНЛЬНО. Проверим равенство Тог(а) = Тог(ь).
ПуетЬ ТОГ(а) = р — у + / — я + 1+ 3 — (1+ !'). Гдс р/ у/ Г/ я И ! коли«хество бУкв У(, Уа/ Уз. !!4 и дь В слове а соответственно. Тогда Тог(ь) р' — у'+Г' — ьх+!'+3 — (2+!"), где р'. д', Г'. Ьх и !' количество букв у), дг. Уз, У4 и (!ь В слОВР ь сООтВРтстВРнно, и !) — (! + à — Я +! = Р— /!+ à — Я+!+1.
Получаем Тог(ь) = Тог(а). Лемма доказана. ° 103 (2) Избавление от дядя и д« ~я Лемма 4.18. Слово а = ~ядвд, ...д,,Д (а — — ~,о, ...д...д1~.) полуэк~- трьиильно 7погди и только тогда, когда полуэкс771ремильно его поделоео ь = О~(дз)д,,... д,,~ь (ь = ~д,,... д...д,.(д1)). Прнче.и еприведлиео риеенетоо Тог(а) = Тог(ь). Доказательство. Используя симметрин«, мы рассмотрим только слово а = ~вдзд~а...
У, '1~... Пусть слово ь полуэкстремально. Докажем, что слово а полуэкстремально. Положительность собственных подслов„которые не содержат дядя., выполнена.так как они собственные подслова слова ь. Рассмотрим произвольное подслово слова а., содержащее ~2дз. Обозна"плм это слово лерез ь и докажем его положительное:1"ь. Рассмот1эим произвольную строго допустимую деформацию у(ь) Е А~(ь) для слова ь. Обозначим черсз ь' максимальное слово., являющееся собственным подсловом как слова ь, так и слова ь.
По услов«лю с:лово ь' положительно. Определим для слова ь' строго лопустимук«деформацию следующим образом: ч(ь ) е л~(ь') и и7У(ь') ~,, = У(ь) ~, э, т.с. дефоРмациЯ ц(ь') отличается от деформаци«л 1у(ь) лишь на букве д1(дя) = ~~. Здесь и норхл«лруюший коэффициент. Имеем с-(т( .,0(ь))) = = С« 'С(т(Ь'., у(Ь'))) + Г(«я) + «;(я) — О 'Со(1«) = О 'С(Г(Ь'.,71(Ь'))) > О. Следовательно, слово ь положительно и слово а полуэкстремально. Проверим равенство Тог(а) = Тог(ь).
Пусть Тог(а) = р — у+ г — я+ 1+ 3 — (2+ Й). где р, у., г, в и 1 количество бУ~св дл. д2. дя. дл и дя в слове а соотвс;тственно. Тогда Тог(Ь) р' — у'+7' — ь'+1'+3 — (1+ Х:), где р'. у'. г', ь' и 1' количество букв д«, дго дв, дл и дь в слове ь соответственно, и Р— У +г — Я +Е. = Р— У+1 — Я+Š— 1.
Получаем Тог(ь) = Тог(а). Лемма доказана. ° (3) Избавление от ~яУ,;У4 и У~УДя Лемма 4.19. Слово а = ~2длдлу;... д,~ь (а = ~д,... д,,д~д-,Я полуэкстремильно 7погди и 7полько тогда,. когда полуэкстре«лильно его подслоео Ь = д~(сул)у.;а у~,~~,. (Ь = ~;сл~, ... у.;, ад,.(уя)). П1«нчеи еприеедлнео роеене77«во Тог(а) = Тог(ь ).
Доказательство аналогично доказательству леммы 4.1О. Используя симметрик), проверим равенство Тог(а) = Тог(ь) только для слова а = ~2д5у~ц~;, Пусть Тог(а) = р — д+х — я+1+3 — (2+И. где р., д., х., а и 1 количество оукв д1, дго дз. д~ и дя В слов» а соответственно. 1огда Тог(ь) р' — д'+г' — я'+1'+3 — (2+1), где р'.
д'. г', е' и г' количество букв д1, дго дз, д1 и д; в слове ь соответственно, и р — д +х — я +1 = р — д+х — «+1. / / ./ / / Получаем Тог(ь) = Тог(а). Лемма доказана. ° Следствие 4.2. В условиях лем,ьт 4.5, если ( — 1)' Тог(а) < О, то ( — 1) Тог(ьз) < О.
Следствие 4,3. В услоеи,ях лемм 4.6 4.11, если ( — 1) Тог(а) < О, то ( — 1)' Тог(ь~) < О или ( — 1) Тог(~х) < О. Доказательство. Пусть ( — 1) Тог(а) > О, тогда ( — 1) Тог(ь!) + ( — 1) Тог(ь2) < О. Следовательно, ( — 1)' Тог(ь1) < О или ( — 1) Тог(ьх) < О. Следствие доказано. ° Следствие 4А. В условиях лемм 4.12, 4.13 и 4.14, если Тог(а) > О.
то Тог(~) > О. Следствие 4.5. В условиях лемм 4.15 4.19., если Тог(а) < О, то Тог(~) < О. 4.5.4. Простейшие слова и полуэкстремальность слов Определение. Рассмотрим произвольное слово а = ~;д~,... д~,~г.. Слово а называется простейшим, если оно не содср кит следующие последоватсльности букв: дядя д1дя; дядя д~дг дяу2 д1дз дяд2; дгд: д дз; д«д д'. дхд;,д„..., дад;д~, и; Е (1,5~., и б (3.,5), и Е (1,3,5); д1дядх дяд.-дл; д4дь дядя и ~1 ц~2 д4~1 ~яду у4 ~я.,~хд4 дя ~2 ~хд5дх, Ч4 да~я для ~ = 1; Лд .
и Е (1.3.4,5), да~~, и Е (1,2.3.5г, ~ядз. ф ~я. ~ядзд4, дядья. ~ядздз, дядь~'2 для г = 2. Из опрсдсления вытекает Утверждение 4.8. Слово а = ~'.;д,,... д,; ~~,является простсйитм, тогдя и только тогда, когди оно имеет один из следук>щих сидов: 1,) а = «;Д,. «1д,«~, где д Е 11,3,5),. или «;дау, «1э где и Е 11,5), и ~= 13, 5), для )г = 1, = «1«я или «2уь«2 для к = 2! 2) а = ту~. где х = ~1дяд,.-д2, «1 или «;д.;, = = у4у,-,у1 «1, «1 или дь«ь, у = (у)дь))" (уьд))"... (д1у;,)"'(д-,д2)',. где р,, 41 Е И, р1, д„Е И010),. г> О,. для)%=1., а = хд:., где х = «у2 или «2; = д4«1 или «2, у = (д4дь)~'(дьд2)~~ .. (д4д.;)~'(д,;д2)'", .где р,„ц 1= И,. р1, д, 1= И 1э 10),.
г>0, для%=2. Из лемм 4.О 4.19 слсдуст, что ~.а)кдом~ слову мо.1~но поставить В соответствие некоторый наоор простейших слов. Эти простсйшис слова будем называть образдю1циА4и слова,ии. Из зтих кс лсмм и следствий 4.2 4.5 сразу вытекает тсорсма. Теорема 4.3. Слово а полуэкстпремально тогда и, только пи)гда... когда полуэкстрстальны все его обриздюицие.
Если для, слова, а выполняется неравенство ( — 1) Тог(а) ( О, то найдется, образуюьцее слово ь слова, а, для которого ( — 1) Тог(ь) ( О. Теорема 4.4. Если для всех подолов ь слова а выполнено ( — 1)~Тог(ь) > О, то и длЯ, всех обРиздюьц)1х слов с слова а выполнено ( — 1)' Тог(с) > О. ДОКаватЕЛЬСтВО. ЕСЛИ ОбраЗу)ощсС СЛОВО яВЛяЕтея ПОдсЛОВОМ СЛОВа а) то для нсго тсорсма справсдлива. Если )кс Образ~ 1ощсс слОВО нс являстся поДсловом слова а., то зто значит, что Оно полУ 1сно из нското1)ого поДСЛОВа. СЛОВа а уО11ранис)и па1) д)д2, д2д), дяд4. у4дя. НО п1)11 убИранИИ па1) кручснис сохраняется.
Тсорсма до14азана. ° Теорема 4.5. Простейтее слово а полуэкстре)лально тогда и то.аько тогдаа когда, ( — 1)' Тог(а) > О. г)г (3 — 2а.) я, Доказательство. Напомним, что д = 2сов( — „+ ). Слсдова- 3 3Л тельно, ( — 1) д > ( — 1)".
Справедливость теоремы для слов «1«я, ~;д ~у,, где «Е 11. 3,5), «1дад„«Я, где и Е 11,5), и Е 13,5), пРи % = 1 и длЯ слов «1«,, «2дз«2 при х = 2 очевидна. РаССМОтРИМ ПРОСтсйШИЕ СЛОВа ВИДа а = Хд..:., ГДС Х = «;дяд,.-,д2, «1 ИЛИ «1дв: Я У4дЬд1«й «1 ИЯИ дв«1 У = (улда) (двд2) ° (д4дв) (дьд2)); ГДС Ра ° а1 е И, р)) д„е И 0 (О), г > О, при х = 1; х = «1д2 или «2, я = д4«я или «2, д = (д4дь)я'(дьд2)я'...
(дядь)л' (д,.-,д2)'~', где 106 1).„у| Е «), р|. 1~, Е «) 0 (01. 1 > О, прп ) = 2. Для этих слов мы имеем ( — 1) Тог(а) < ( — 1). ДОКажоь|. '1ТО ЭТИ СЛОВс| НЕПОЛУЭКСТРЕЪ|с)ЛЬНЫ. Рсас«МОТ1)ИЪ| СтрОГО ДО- пУсгимУю Деф01)мап11ю ))(а) Е Л(а) тс|кУю. '1то та(Уз) = 1, если ф~ стоит 1)ЯДОМ С уа ~ И Т~ ( Чя ) — я .
ЕСЛИ ЧЗ СТОИТ ряДОМ С у4. ВО ВСЕХ Слус|аЯХ ПОЛ )' чаем С(т(сс, )~(а))) < О. СлсдонаГСЛЬНО, слово ) НЕП1)луЭК«трЕМаЛЬН1). 1сорЕМа дОКаэс|иа. И Теорема 4.6. Произвол|оное слово а = ~д;, ... д, ~|, на Л-нормированной плоскости, где 2Л = и (шос1 3), Л ~ 2, 4, |. = 1, 2, полуэкстремильно тогда и только тогда. когда для каждого его подслови | выполняется неравенство: ( — 1)' Тог(ь) > О. Доказательство. Необходимость. Пусть слово я полуэкстремально. ПРЕДПОЛОсКИМ, '1ТО СУЩЕСТВУЕТ ПОДСЛОВО с Словс| а. ДЛЯ КОТОРОГО ( — 1) Тог(с) < О. Тогда, по теореме 4.3, найдет«я образующее слово э слова с. Для которого ( — 1)нТог(а) < О. Из теоремы 4.5 вытекает, что слово о неполуэкстремально. Следовательно, по теореме 4.3, слово с неполуэкстремально.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
