Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 23
Текст из файла (страница 23)
И Аналогично. доказывается следующая теорема. Теорема 4.11. Пусть ж = О. Слово гг = а;... (гг = ...с;) пклэу;экстремг1льно тогда и только тогда, когда 11олуэкстреаальны слова: 1) ь = а1... (... с1), .если г, = 3:, 2) ь = а2... (... сг)э если 1' = 4: 3) ь =ап... (...с11), если1=5, 7: 4) ь = агэ... (... с1в), если 1' = 6, 8: П1 5) ь = ак)... (... С1з) о если (' = 9: 6) ь = ам...
(... см) о если ~ = 10. 4.8.2. Определение ориентированной погрешности РассмотРим пРоизвольнУю паРУ 1";о; ) смс кных РсбРРо оРиснтиРованных от их общей всршины. Определим знак е(;оо у') этой пары следующим образом: ДлЯ линейно независимых РеоРР "; и -,' положим е(1оо -,') = 1о Рели базис (у, "у') положительно ориентирован на К~о и е(-,оо у') = — 1 в противном СЮо 1ао для линейно зависимых ребер у и ч,,' положим е(", о",') = 1.
Опрсдслим для пары (), о "«') ори ентированну)о погрешность Ы1о(",:, -у') о положив: Ха11о(";, "«') = е(", о у') Ы11 "у. -,.'). Лемма 4.21. Ориентпированнан погрешность кососимттричнао т.е. Ы1о(-у, ",') = — Ы1о1", .;) о является целым число,и и — Л < Ы1о1;о ", ) < Л. Рассмотрим произвольный ориентированный путь 'Р = 1"и,... о ъ„1 в сети Г. где ",.; последовательные ребра пути 'Р. При каждом 1 < с < п — 1 внутренней вершине ",; пути 'Роинцилентной рсбрам -); и -у;+). поставим в соответствие знак е1~;, у(+)).
Определение. Путь Р называется правильно повернутым, если все внут1)РНННР Вершины пути Ро граничные В сети Г. имек)т одинаковый знак. Ориентация правильно повернутого пути 'Р называется канонической. если знак каждой внутренней вершины пути 'Ро граничной в сети Г, положит ол( н. Определим для канонически ориентированного пути Р, все внутреннис РсбРа котоРого точечны, оРиентиРованнУю поеРешность Ха110(Р) о положив: 71 — а Ы1о(о) = ~~с"."'(оа1оо(7",.Оо),'- о оа1оо(ООо7ооо) -ОЕ~1~о(ОО о:о7.")), н „)в (=а гдР да('Уч) = 1",' .", уо Ч = 1 или и.
гРаница полмножестВО Я(Уч) ОКРУЖ- ности Е. П)'сть П множество каноничРски 01>ИРнти1>ованных пугРИ В Г, ВсР внутренние ребра которых точечны. Положим Га110(Г) = 1т1ахы10(р). 'о"-. ЕП П2 4.8.3. Геометрический критерий экстремальности бинарной существенной сети Определение. Сеть Г называется 6инирноа, если все ее граничные вершины имеют степень 1. а внутренние 3. Теорема 4.12. Пр()из()ольн(ггя бинирная сугцеспг()енн(ля сеть Г: С вЂ” + К2, ()се ребри которой п)оче гнь), экспгремильни на Л-нортгроеинной плоскосп)(гя где 2Л = х(шо(1 3), тогда, и только пгогд(г, когди Еа110(Г) < 3. Доказательство.
Заметим, что если сеть Г является звездой. т.е. содержит не более чем одной вершины степени больше 1, то., по теорегие 1.7, утв(ржд(.нгн) данной т(.О1»)мы им(.(т м(сто. Пусть с(.ть Г сод(.р)кит по крайней мере две вершины степени больше 1. Необходггиоспгь. Пусть сеть Г: С вЂ” + К~, все ребра которой точечны, экстремальна. Докажем, что для сети Г выполняется неравенство Еа11В(Г) < 3.
Предположим противное. т.е. Еа11О(Г) > 4. Тогда най- детсЯ такой оРиентиРованный пУть 'Р = 1-1) .....,",„). и > 3. в сети Г, что Ы1я(Р) < — 4 (иначе меняем ориентацию на пути). Без ограничения общности можно считать. что Ы1о( у1, ",.';, < 0 и Ы1о( у„1, ";„) < О, и при г = О еще имеет место неравенство Ы10(",; (,",;) < О, где г' = 2,..., и — 1, (иначе можно рассмотреть подпуть пути Р., удовлетворяюший этим условиям, для которого погрешность меньше илп равна Ы1о(Р) и, следоват(льно, меньше или равна — 4). Зададим на сети Г правильнун) ориентацию таким образом, чтобы ориентация реоер ";;, где г'.
= 2,...,и — 1. на Р совпадала с ориентацией их на Г, и рассмотрим а = И'(Г). Тогда, по теореме 4.9. при ( = 1, 2 для ка)кдых подслов ь Е А+ и с Е А слова а выполняются не1эавенства ( — 1) Тог+(ь) > О, ( — 1) Тог (с) > О. а при х = 0 каждое подслово ь слова а не принадлежит А ' '. Пусть Г подсеть сети Г, .полученная расширением пути 'Р в сети Г. Заметим.
что Г являет(я суще(твеннои сетью. П1)авильная ориент()ц11я на Г индуцирует правильную ориентацгпо на Г,поэтому слово ь = И'(Г) явля(тся подсловом слова а. Если:"( = О, то подслово ь слова а будет принадлежать А+, а это противоре~111т Гогиу, ~1тО слОВО а полуэкстремадьно справа. Для г = 1. 2 рассмотрим четыре случая: 1. Если Ы1()( у(,",;2) = — 2 и ХаПВ(";„1.",;„) = — 2, то ь = а,б,,... 6, сгэ где г = й = 9 — "(. у,я ~ 1, 2. 3., 4. Из определения погрешности вытекает. 113 что ( — 1) .Тог"(э) = = ( — 1)" ( — Р;(о) В-Рв(о) — Ро[о) В-Роо(о) В-2( — Рв(о) В Рв(о)) ( 1) ) = = Ы1о('Г) + 4 — 1 < — 11 а это противоречит тому, что ( — 1) Тог~(е) > О. Следовательно, Ы1о(1э) > — 4.
[ ли 1а11о ( 1) . (» ): и 1а11о ( увв — ) ов): 2 то вв: ив 6»' .. 6) . со" где 2' = 9 — »г или 9, а /[: = 9 — »., »„, ф 11 2, 31 4. Если г = 9 — ж, то, беря вместо пути '»э путь, полученный заменой ребра ")[ на смежное ему ребро сети Гв нс принадлежащее»-', мы получим, что погрсшность нового пути меньше на 1о чем 1а11о(» ).
Этот случай мы уже рассмотрели в 1. Пусть г' = 9. Из определения погрешности вытекает, что ( — 1) Тог~([2) = = ( — 1)"''( — Ро(о) -~-Рв(о) — Ро(о) -~-Ров(о ) -~-2 ( — Р;(о) -~-Рв(о))) = = Га11о(» ) + 3 < — 11 а это противоречит тому, что ( — 1)'' Тог+(о) > О. Следовательно. Ы1о('Р) > — 4. 3. Случай Ы1о(;в[в ")») = — 1 и Ы1о("1„[в зовв) = — 2 рассматривается аналогично случаю 2. 4.
Если 1а11о("Пв )») = — 1 и Ы1о()овв [в,рвв) = — 11 то [) = а;6», 5, с[.в где (гол) равно (9 — »го 9 — х), (9 — хо 9), (919 — х) илп (9,9)в у,„~ 11 2. 3, 4. Случай. когда г', = 9 — х пли 1 = 9 — »о можно свести к случаю 1, 2 или 3, рассуждая как в случае 2. Пусты = 9 и я: = 9. Из определения погрешности вытекает, что ( — 1) Тог (о) = = ( — 1)" ( — вов(о) В.воо(о) — воо(о) В.вооо(о) В.
2( — Рв(о) В.Ро(о)) В. ( — 1)") = = Ы1о(Р) + 2 + 1 < — 11 а это противоречит тому, что ( — 1) Тог~(о) > О. Следовательно, Ы1о(»-) > — 4. Необходим[»сть доказана. 114 Достпатпочвасть. Пусть для сети Г выполняется неравенство Га11о(Г) ( 3. Докажем, что сеть Г зкстремальна. Зададим на Г правильную ориентацию и рассмотрим а = И'(Г). Из определения бинарной сети следует., что а = а.;6,... 6,сь, где (.', л'„о й ф 1, 2, 3. 4.
Если х = О. то из определения строго допустимой деформации вытекает. что каждое подслово ь слова а не принадлежит А+~ (. Следовательно, сеть Г зкстрсмальна. Пусть х = 1. 2. По теореме 4.9. достаточно проверьлть, что для каждых подслов ь е А+ и с е А слова а выполняются неравенства ( — 1) Тог~(ь) > О, ( — 1) Тог (с) > О. Проверим неравенство лишь для подслов ь е А+, ь = а,6,,...6,;,с~.
(1лначе поменяем Ориентацию). По опреДеленллю, Тог (ь) = Рг(ь)+Р8(ь) — Ро(ь)+Рго(ь)+2( — Р;(ь)+Ро(ь))+ 3 — (г+ в), где г = 1, если ('. = 7+ х, и т = 2. если ~ = 11 — 2х, в = 1, если 6;. = 7+ г, и а = 2, если й" = 11 — 2 г. Пусть ь = И (Г) для некоторой подсети Г сети Г. Введем обозначения для ребер сети Г, как в определении букв и,.
6, с„. Рассмотрим три случая: 1. Пусть г = Й = 11 — 2м. Тогда Тог~(ь) = — р((ь) + рь(ь) — ро(ь) + Р(о(ь) +2( — рь(ь)+Ро(ь )) — 1. РассмотРим путь Р = 1-"л, я(> ° > лл,— о ° -ц~ — л1> о1плснтглрованнылл от 1лебра ~~ . Гол,да Ы~о(7 ) = — + ( — 1) .( — Р7(ь) +Рь(ь) — Ро(ь) +Во(ь) + 2( — рь(ь) +Ро(ь))) — - = = ( — 1) Тог+(ь) — 3.
2. Пусть л = 7+ ж, й = 11 — 2 г или ~ = 11 — 2ж, 1. = 7+ ж. Тогда Тог+(ь) = — р-,(ь) + ря(ь ) — ро(ь) + р(о(ь) + 2( — р;(ь) + рь(ь )). Рассмотрим пУть Р~ = ля( . лг~,..., я„о, ~„~1, о~~ленти1лованньлй от 1зсб1за в( . если 1 = + 7+ х, Л: = 11 — 2 "г, и пУть Р~ = 1~+,,Я(,....ля о.,в, (1, оРиентиРованный от ребра г+~, если г = 11 — 2г, 6.: = 7+ г. Тогда 1аПо(7 „,) = = ( — 1("( — В~О( -~рвь) — ~~аь) -'; ч~оь( + ~(-Хг(О -'-ХгОО) — 3 = = ( — 1) ' Тог~(ь) — 3.
т = 1, 2. 3. Пусть г' = 1 = 7+ ж. Тогда Тог~(ь) = — р-,(ь) + р8(ь) — Ро(ь) + р(о(ь)+2( — рь(ь)+р( (ь))+1. Рассмотрим путь Р = (=,, я(,.... я, ~„=-„(), 115 ориентированный от реб)ра г1. Тогда Ы1,(Р) = =1. — б-';( — 1)"à — Рь(~) ~Г~(~) — В(~) ~М~)-';2( — Н(~) ~ра(~))) = = ( — 1) Тог+(ь) — 3. Если во всех трех случаях мы рассмотрим пути, ориентации которых противоположны ориентациям путеи 'Р, Р„, гп = 1, 2, то их ориентированные погрешности равны — Ха11о(Р), — Ха11о(Р„,), т = 1, 2, и, по предположению, должны быть не больше 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
