Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 26
Текст из файла (страница 26)
и будем писать Ä— + Г, если для каждой вершины и параметризующего графа ) последовательность 1Г„(и)1~ сходится к Г(и). Под сходимостьк) здесь понимаем стандартную сходимость последовательности на стандартной евклидовой плоскости. т.е. последовательность 1х„1:„, ) сходится к т„если для любого наперед заданного г > О существует такое У„что для любого т > Т справедливо неравенство //х„„, — х// < г. 12) Определение. Будем говорить, что сеть Г допускаеп~ Л-минимальную (экстремальную) реализацию, если существует собственное движение стандартной евклидовой плоскости, переводящее сеть Г в локально минимальную (экстремальную) сеть на Л-нормированной плоскости.
'Хеорема 5.6. Локально минимальное на стандартной евклидовой плоскости дерево, содержащее верьаины степени 3. Л-минимально (экстремально) реализуется, если и только если 2Л = О (шос1 3). Доказательство. Необходимостпь. Из структуры локально минимальных сетей на стандартной евклидовой плоскости и локально минимальных сетей на Л-нормированных плоскостях сразу следует. что 2Л = О (шое1 3). Достат,очность. Покажем, что любое локально минимальное на стандартной евклидовой плоскости дерево Г является Л-экстремальным, где 2Л = О (шос1 3). 2п ~'гол между смежными ребрами в дереве Г не меньше, поэтому 3' погрешность между смежными реорами. одно из которых .является точечным.
равна нулю для внутренней вершины и не больше нуля для граничнои. Получаем, что Еа11в(Г) ~ (3. Следовательно, по основнои теореме. дерево Г является Л-экстремальным. Теорема доказана. ° Из доказательства теоремы 5.6 сразу вытекает Следствие 5.4. Произвольное локально минимальное на стандартпной евклидовой плоскости дерево лвлнепкн Л-экстремальнььм, где 2Л О (шой 3). Следствие 5.5. Дан любого вложенного экстремального на стандартной евклидовой плоскости дерева Г сущесптуетп последовапкльноспв 1ГА)А .; вложенных Л-экстремальньи деревьев, иодноследовательноспьь которой сходипьсн к Г при Л вЂ” + х . Доказательство.
Пусть дано произвольное вложенное экстремальное на стандартной евклиловой плоскости дерево Г. Из структуры экстремальных деревьев на стандартной евклидовой плоскости и из следствия 5.4 следует. что Г является деревом Штейнера и Л-экстремальным, где 2Л = О ~шос1 3). Используя теорему 5.5, мы можем построить последовательность (ГА)~'.; вложенных Л-экстремальных деревьев, у которой каждое дерево ГА, .где 2Л = О (шос1 3), совпадает с деревом Г. Подпоследовательность„состоящая из Г~, где 2Л = О (шос1 3), будет сходится к Г при Л вЂ” + ос. Следствие доказано. ° 128 Определение.
Пусть вершина; степени») погруженного дерева Г: С вЂ” + )»с, инцидентна последовательным при обходе вершины я против часовой стрелки ребрам "»12... 2",..»,2 орнснтированныъл от их обшей вершины. Для каждой пары соседних ребер ("», "»я+»)2 где»' = 12... 2»» и,:'»+» = ",) 2 обозначим через ~( у;,;.,+)) Е ~022»») ориентированный угол, свеже)) ре»»рали ";; и -»;+»2 который проходится от ребра ",; до ребра ";.;+) против часовой стрелки.
Таким образом, каждой вершине дерева Г. с точностью до циклического порядка, ставится в соответствие последовательность ориентированных углов., которую мы будем обозначать через с О2 2»2) ОС 2»2)2... 2 О2 ЬСС»2)). ПОСЬСДОВВТССЬНОСТЬ (д2 2 Оь 2 ° ° ° 222 ЬС2) ° где,:3,;;+» Е ~022»г)2 называется допусти»ной последовательность»о сп»епени ЙТ если ~ »3;;+) — — 2л. »=1 Л емма 5.1. Рассмотриси произвольное вложенное дерево Г: С )»с~. Тогда существует п»н»кое г ) О. что длн каждой вершины я степени к: дерева Г и л»ооой е)опустпимой п»»следоволпельности ,122» ) 2зь22»Т), 42С2»-)) ' ~ 22222НОО «)а +2» ) — СС2.+2»~)) < существует, плинарно эквивалентное дереву Г вложенное с)ерево Г': С -+ К~О полученное заненой в каждой вер»ипне я углов а;.;+»(-) на 3.; »+) ~-) и и,не»о»»»ее ребра п»л)»», же длины, что и д дерева Г.
Определение. Дерево Г' из леммы 5.1 назовем г-пучблпжение»н дерево Г. Лемма 5.2. Пусть Г: С вЂ” + КЯ произвольное вло»женное дерево с 1- граничным ребром ",: = ~Г: е — > Ки). Рассмотрии произвольну»о последови»тельность положтпель2ных чисел =-„, г„— + 0 при п — + ос2 причем каждоту е,„поставлено в соответствие =-„-приближение Г,„: С вЂ” + К 2 <)ереви Г такое, что Ä— + ") при и — + ж.
Тогди Г, — + Г при п — + ж>. Доказательство. Пусть Г: С вЂ” + К~ произвольное вложенное дерево с 1-граничным ребром ", = ~т,. д~, где ес граничная вершина степени 1, и Г„,: С вЂ” ~ К г„-приближение дерева Г. где Г„, — > ",: и =-„— ~ 0 при "' С и — + ~. Берем произвольнунз вершину и )= С. Рассмотрим п~ ти Р и Р„в Г и Г„ соответственно. где путь 'Р сосдиняст вершины ег и Г(с ) 2 а 'Р„вершины »с и Г„(»»). Пусть Р = 1"»,-,»)2...,",»»,. )). Поскольку дерево Г„является е„-приближением Г„дерева Г, то Р„, = 1"»", "»)'...., -,,~" .)). где ребро;"' имеет ту оке длину 7;2 что и 1';2 а направление»р" ребра " ' сходится к направлению р, ребра э, при и -+ ос, так как пути содержат конечное число ребер.
Имеем я — 1 я — 1 Г(и) = Уе" + 2 У, е'"', Г„(и) = Уе" + 2 э.;е'" . э=1 э'=1 где 1 длина ребра;., а д направление. Таким образом. ))Г(и) — Г.„(и))) < 7)(с'" — е'" )~ + 2, 7. ))е'"' — е'~э )). Следовательно, Г„(я) — + Г(ээ) при п — + сс (так как р" — + д и э," — + э,: при и -+ ж). Лемма доказана. ° Теорема 5.7. Для любого в,ложенного экст1эеаального на стандартной евктдовой, плоскости дерева Г сээществует последовательность ~ГЛ~~~; вло:женныл: Л-знстреиальньэх деревьев, сходящаяся к Г при Л вЂ” + Доказательство. Построим сходящуюся к Г последовательность (Гл~~~ в вложенных Л-зкстремальных деревьев.
Для 2Л = О (пнн! 3) возьмем деревья Гл, совпадающие с Г. Для других Л, 2Л = х (пюс1 3), где х = 1. 2. построим Л-зкстремальные 37Г деревья ГА, являющиеся приближением дерева Г и имеющие ребра той Л же евклидовой длины, .что и Г. Строим деревья Гл., как в доказательстве теоремы 5.5, только для граничных вершин степени 2 возьмем углы, рав- (6 — э.) я ные о + + еэ, где о зто угол в дереве Г, соответствующий 3 я данной граничной вершине степени 2 а О < "-1 < — выбирается из усло- Л 27Г вия, что все ребра из Г~ точечны.
Поскольку о: >, то, по основной 3' теореме, все деревья Гл зкстремальны. Сети Гэ могут не быть вложенными. Выберем такое Л', что все сети ГА, где Л > Л", являются вложенными. Пусть "~: — — [х, у], где вершина х имеет степень 1, произвольное 1- г1эаничное 1эебэ~э~э де1эева Г.
Используя движения Л-но1эмированных плос— костей, мы совместим граничную вершину, соответствующую х, с самой вершиной х так, чтобы направление ребра, соответствующего у. отличая лось от направления ребра ",: не больше чем на . Используя леммы 5.1 и 2Л 5.2. мы получаем, что построенная последовательность ~Гл~~л ~. сходится кГприЛ вЂ” +х.
130 Строим последовательность (Гл~~,„дополняя последовательность (Гл)л л. вложенными Л-экстремальными планарно эквивалентными Г сетями Гл, которые мы можем построить согласно теореме 5.5. Теорема доказана. ° 5.3.2. Строгая сходимость сетей Рассмотрим на плоскости произвольную вложенную сеть Г и последовательность вложенных сетей (Г„1~ 1, планарно эквивалентных Г. Определение. Будем говорить, что последовательность сетей (Г„: С вЂ” > К'),'„'1 строго сходится к сети Г: С вЂ” ~ К'.
и будем писать Г, -Ъ Г, если для ка:кдой граничной вершины и Е дС параметризующего графа С справедливо равенство Г„(и) = Г(о) и для каждой внутренней вершины и из С последовательность (Г„(о)~;,, сходится к Г(и). Из доказательства следствия 5.5 сразу вытекает Утверждение 5.4. Для ллобого вложенного экстремального на стан; дартной евклидовой плоскости дерева Г существует, последовательность (Гл1';."в вложенньп Л-экстремальньт деревьев, подпоследовательность которой строго сходится к Г при Л вЂ” + гс. Замечание. Не для каждого вложенного экстремального на стандартной евклидовой плоскости дерева существует последовательность (ГА)~ л.
(для некоторого Л*) вложенных Л-экстремальных сетей, сходящаяся к данному дереву при Л вЂ” ~ ос. Проблемы могут возникнуть в случае, когда сеть содержит граничные вершины степени 2 и 3. Рассмотрим сеть Г, состоящую пз трех ребер и четырех граничных вершин, см. 27Г рис. 5.3. Пусть угол между ребрами равен . Сеть Г экстремальна на 3 стандартной евклидовой плоскости, но последовательности экстремальных сетей, строго сходящейся к ней, не существует. Действительно, из определения строгов сходимости следует, что все сети последовательности должны совпадать с Г, но на Л-нормированной, где 2Л = ж(п1ос1 3), х = 1, 2, сеть Г даже не является локально минимальной. Аналогично, не существует последовательности экстремальных сетей, строго сходящейся 2л. к сети., изображенной на рис.
5.4 (углы везде равны ~. поскольку эта 3 сеть не является локально минимальной на Л-нормированной плоскости. где 2Л = 2 (шос1 3). 131 Рис. 5.3. Не существует сходящейся экстремальной подпоследовательности. Рис. 5А. Не существует сходящейся экстремальной подпоследовательности. Длину произвольной сети Г: С вЂ” + К на Л-нормированной плоскости (Й2, рл) обозначим через ьл(Г), а на стандартной евклидовой плоскости (Й ., // Ц) через е',(Г). Лемма 5.3.
Рглсслтирим, ни плоскоспил К2 произвольный вектор у и произвольнун сеть Г: С вЂ” + К . Тогда, рд(у) — + !!лу)) прт Л вЂ” + сс и л'л(Г) — + ь"„.(Г) при Л вЂ” + ос. Пусть С произвольный топологический граф с границей дС, и пусть задано граничное отображение д: дС -+ К2. Рассмотрим на плоскости К~ пропзвольнук>последовательность (Гя1„ ~ вложенных деревьев Г„: С вЂ” ~ К типа С с границей д и последовательность Л.„-нормированных 2 плоскостей (К2, рл ) такую. что Л,, — + ж при и — + ос. Лемма 5.4.
Пусть суилествует конечный предел 1пц ьл (Г,„), равный1. Тогда существует дерево (возможно. содержащее выроясдентяе ребрел) Г: С вЂ” + К~ паина, С с евклидовой длиной ~,.(Г) = У, и с гралницейл д. Доказательство. Положим а = 1п1 ()7 — Р,(Г))). Если и = О, то (Г: с — «:,~(дг=а1 утверждение настоящей леммы справедливо. Допустим, что а, > О. По определению предела 11ш ~л, (Гн) = 7, существует Х1 такое, что для любого и > Л~ справедливо неравенство )7 — 1л (Г„)) ( а/3.
По лемме 5.3, 132 евклидова длина дерева Г'„равна Х,,(Г„) = 1пп сл(Г„). Следовательно. л-~~ существует ЛХ > О такое, что для любого Л > ЛХ справедливо неравенство !>>,(Г,,) — ~л(Г„) ! < а/3. Поскольку ˄— + =с при и — + эо, то существует Л~ такое,что для любого и > Л2 справедливо неравенство Л.„ > ЛХ. Пусть Х = п1ах(Х1., Л~). При и > Х имеем три неравенства: !1 — Сл (Г„)! < а/3, !с,,(Г„) — сл (Г„)! < а/3, !1 — 1,,(Г„)! > а.
Получили противоречие,так как а < !У, — 1',(Г„)! = !7 — Хл„(Г„) + 1л„(Г„) — 1,,(Г„)! < < !7 — 1>л„(Г ) ! + !1>л„(Г .) — Р, (Г„) ! < 2и/3. Лемма доказана. ° Теорема 5.8. Для любого сложенного бинирного экстремильного ни сгииндиртнст еенлдоеой плоскости дерееи Г" сун~естеует последоеителлнос~иь 1Гл)л л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
