Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 27
Текст из файла (страница 27)
ело,лсенньи; бннирны~ Л-энстре~яилл>нл>~~ иерее~>ее> строго сходящимся и Г" ирн Л вЂ” + эс. Замечание. В теореме 5.8 число Л' зависит от дерева Г*. Доказательство. Пусть Г*: С* -+ К~, дГ" = д., произвольное вложенное бинарное экстремальное дерево евклидовой длины 1:,(Г*) = Г на стандартной евклидовой плоскости. Из алгоритма Хванга-Мелзака [14] вытекает единственность экстремаяьного де1лева.
данного типа н даннои границы на, стандартнои евклидовои плоскости., поэтому., поскольку евклидова норма строго выпукла, по утверждению 1.4. для любого дерева Г: С* — + К с границей д, отличного от Г*. справедливо неравенство Р,(Г) > ~,.(Г") = Г. Рассмотрим одно из деревьев Гл. С' -+ К~ с границей д, слабо экстремальное на (К~. рл). Отметим. что Гл может содержать выро кденные ребра. Из выпуклости рл вытекает, что .(л(Гл) < Рл(Г) для любого дерева Г: С'" — ~ К- с границей д. Для каждого дерева Гл, содержащего вырожденные ребра, .рассмотрим погруженное дерево Гл.
'Сл — + К такое, что Г>л о я = Г*, где т'. С* — ~ С>л слабая проекция. Пусть 1~ мно:кество всех Л таких. что сл(Г~л) < 1л(Г) для любого погруженного дерева Г: С* -+ Й' с границеи д. Докажем. что множество Ь конечно, т.е., начиная с некоторого Л. на каждой Л-нормированной плоскости существует погруженное слабо экстремальное дерево типа С* и с границей д. Предположим, что множество таких Л счетно. Поскольку, с 133 точностьк> до эквивалентности. существует конечное число деревьев СА, на которые можно слабо спроецировать дерево С*, то из последовательности 1Л1 можно выделить подпоследовательность (Л„1;, ~, для которой все сети Г~А имеют одинаковый тип С' и одинаковую границу д'.
где Л д' о л. = д. Рассмотрим последовательность длин (lл = Хл (Г~~ )~~ и Поскольку эта последовательность ограничена с обеих сторон.то из нее можно выделить сходящуюся к некоторому конечному / подпоследова- 1 тельность ~1л )~~',.
По лемме 5А. найдется дерево Г': С' — + К~ такое, что ~,(Г') = 7' и дГ' = д'. Рассмотрим дерево Г: С" — + К2, определяемое равенством Г = Г' о л. Заметим, что дерево Г содержит вырожденные ребра, имеет границу д = д~ о л и евклидову длину Г. Из леммы 5.3 вытекает. что 1А(Г') -+ 1,.(Г") = Г при Л вЂ” > ос. Поэтому. переходя к пределу при и — + эо в неравенстве 1'А (ГА ) < ~л (Г'), получаем 7' < Г, что противоречит неравенству- (~).
Таким образом, начиная с некоторого Л существуют на Л-нормированных плоскостях слабо экстремальные погруженные деревья ГА типа С* и с границей д. Поскольку С* является бинарным деревом, то базовый тип расщепления дерева Гл совпадает с самим деревом. поэтому дерево Гл экстремально. Из структуры экстремальных деревьев следует, что каждое дерево ГА планарно эквивалентно дереву Г" и последовательность (Г~) сходится к Г' при Л вЂ” ~ ж.. Теорема доказана. И 134 Литература М. А1гаго, М.
Соп8ег. К. Ног18ев, А. 1 е~'у, В. Кос1гаг. 1.. КпЫЬ1вЫ, Х. Ма1нпосн1 агн1 К. топ Нааш. ТЬе вггпсГпге о1 яп8п1апГ1ев ш Ф- 1 й Л 8 .1 1-, 1 К" // Рас16с Л. МаГ1. 149. 1991. Рр. 201-210. Е.,Л. Сос1гаупе. Оп гЬе Бгешег РгоЬ1еш // Сапа<1. МаТЬ. Вп11. 10. 1967. Рр. 431 450. [3] [4] Р. Х. Вп, Р. К. Ню~'аг18 апс1 Л. Г. Ъепо. Яешег ппп1ша1 огоев 1ог В,еоп1аг Ро1у8опв // Р1в1г. агн1 Сошр.
СеогпеФгу. Ъо1. 2. 1987. Рр. 65 84. Р. геггпаФ. АЬЬмн11пп8еп йЬег Махина пгн! М1шша // В книге: Ов- т~а1с1в. К1авя1гег с1ег Еха1ггеп АУ1ввепя:Ьайеп. 1934. ~ 238. [5] [61 В,. 1.. $гапс1в. А по1е оп 1Ье оргйп1пп 1осаг1оп отпев: шас1ппев ш ех1вгш р1аг1г 1ауопФв //,1. 1пс1пвг. Еп8г8. Ъ'о1. 14. 1963. Рр. 57 59. [7] М. В,. загсу апс1 О.8. ЛоЬпвогп Т1ге В.ес61шеаг 5гешег Рго1э1еш 1в ХР- Сошр1еге // 51АМ Л. Арр1.
МагЬ. Ъо1. 32. 1977. Рр. 826 — 834. М. Напап. Оп Юешег'в РгоЬ1еш Ы1Ь Вес61шеаг ВЫапсе // 81АМ Л. Арр1. Ма1Ь. Ъ'о1. 14. 1966. Рр. 255 265. [8] Е. К. Ни~ап8. Оп ЯГешег пшпша1 1геев МГЬ гесН1шеаг с1Ыапсе // 51АМ Л. оХ Арр1. МаФЬ. У''о1. 30. 1976. Рр. 104 — 114. [9] [10] А. О. Иванов. Геометрия плоских локально минимальных бинарных деревьев // Матем. сборник. 1995. Т. 186. Х 9. С.
45 76. А. О. Иванов. Геометрические свойства локально минимальньгх сетей // Дисс. доктора фин.-мат. наук, М.: МГУ. 1998. А. О. 1~~апоъ, А. А. ТпиЬ11ш. М1п1ша1 Хек ог1гв. Яге1пег РгоЫеш апс1 1гв Сепега11иаг1ог1я СВС Ргевв. 1994. 135 О. С1ев11с. ТЬе ~ег1ех-с1е8геев о1 Юешег ппшша1 Фгеев ш Мш1гожвЫ р1апев // Тор1св ш Сош1мпагог1св апс1 СгарЬ 'ТЬеогу (В.. Вос1спс11е1г апс1 В.. Нспп. ес1в.). РЬуяса-Т'сг1ад. НеЫе1Ьег8. 1990. Рр. 201 — 206.
[13] А. О. Иванов. А. А. Тужилин. Классификация минимальных скелетов с правильной границей // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51. К 4. С. 157 158. [14] А. О. Иванов, Л.А. Тужилин. Разветвленные геодезические. Геометрическая теория локально минимальных сетей. Т1)е ЕсЬ~ш Ме11еп Ргеяя. 1 еМягоп4)цеепягоп-1 апцн"1ег 1999. [15] [16] А. О.
Иванов. А.Л. Тужилин. Разветвленные геодезические в нор- мированных пространствах // Известия Российской академии наук. Серия матем. 2002. Т. 66. ~ 5. С. 33 82. [17] А. О. Иванов, А. А. Тужилин. Теория экстремальных сетей. Москва-Ижевск: Институт компьютерньгх исследований. 2003. [18] Д.П. Ильютко..Чокально минимальные сети в Х-нормированньгх пространствах // Матем. заметки. 2003. Т. 74. Вып. 5.
С. 656 668. Д. П. Ильютко. Лг-нормированные плоскости // В книге: А. О. Ива- нов, А.Л. Тужилин. Теория экстремальных сетей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. С. 319 341. [19] Д.П. Ильютко. Экстремальные сети на плоскостях Минковского // Материалы УП1 Международного семинара "Дискретная матема- тика и ее приложения". Тезисы.
Москва 2004. Издательство мех-мат МГУ. С. 392 395. [20] [21] Д. П. Ильютко. Локально минимальные и экстремальные сети на и- нормированных плоскостях // Труды Воронежской зимней матема- тической школы 2004. Воронеж: ВорГУ. 2004. С. 82 — 88. [22] Д.П. Илькэтко, Геометрический критерий экстремальности произвольного дерева на Л-нормированной плоскости. где 2Л = 1(гпос1 3) и Л ) 5 // Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-детин~ академика Ю.Г.
Решетняка. Тез. док. Новосибирск. 2004. С. 108 †1. [23] Д.П. Илыотко. Геометрический критерий экстремальности произвольного дерева на Л-нормированной плоскости, где 2Л = 2 (гпос1 3) и 136 А. О. 1~аггоъ. А.А. Тци1ц1ш. Вгагп:Ьш<д Ьо1ц11оця 'со Опе-Впцецяоца1 ЪЪг1ас1опа1 РгоЫешь. %ог1с1 Яс1ецс16с РцЫЬЬшя Со.
Рсе. 1'сс1. Яш 8ароге 912805. 2001. Л > 7 // Труды участников международной школы-семинара по ана- лизу геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Тез. лок. Ростов- на-Дону. 2004. С. 27 — 29. [24] [25] Л'.,1агпй апс1 М. Ковв1ег. О шпшпа1шсЬ 8талег!т оЬеаЬщ!!с!сЬ п с1апЦс1т !ннЬл // Сая. Рея!. Маг. а Еуя. Ъо1. 63. 1934. Рр. 223-235. [26] Г. А.
Карпунин. Аналог теории Морса для плоских линейных сетеи и обобщенная проблема Штейнера // Матем. сборник. 2000. Т. 191. Х 2. С. 64 90. Г.А. Карпунин. Теория Морса минимальных ссте1л // Дисс. кандгл- дата физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2001. [27] [28] С.К. Ьав1ог аш1 Г. Мог„ап. Ра!гес! са1Ъга1лопв арр1!е<! 1о воар 61шв. пшшвсеЬ1е НпЬ1в, апс! вшГасев ог пегз~ог1ся шшпшлпр; оФЬег погшв // Рас!Ьс Л.
МаГ!ь, 166. 1994. Рр. 55 83. [29] О. Т. Ьее аги! С. Е. Я~еп. ТЬе 51ешег Мппша! Тгее РгоЬ1еш ш 1Ье Л- еошеггу Р1апе // В книге: 1БААС'96, Еес1пге гоген ш Сошр. ~>с!енсе. 1178, Ярг!пу;ег-Ъ~;г1а . 1996. Рр. 247 255. М. Яаггайас1е!л апс! С. К. %оп '. Н!сгагсЬ!са! ЯЫпег Тгсе СопвггпсНоп пг Еш1оггп Ог!еп1аг!опв // 1ЕЕЕ Тгапь.
оп Согпрп1ег-А!с!ос! Вев!8п. Л'о1. 11. ~ 9. 1992. Рр. 1095 — 1103. 1Ъ'. В. Ятш11ь Нов 1о 6тн! Юе!пег шпшпа1 ггеея ш Епс1!с!еап д-врасе // А1р;ог!йшса. 1992. Х 7. Рр. 137 177. [31] Копгас1 1. Яжаперое1. ТЬе Еоса1 Яе!пег РгоЫсш ш Хоггпес! Р1апея // ХеЬ~"оган. Л'о1. 36. 2000. Рр. 104 113. [32] [33] А. А. Тужилин. Минимальные бинарные деревья с правильной границен: случай скелетов с четырьмя концами // Матем. соорник. 1996. Т.
187. Х 4. С. 117 †1. [34] А. А. Тужилин. Минимальные бинарные деревья с правильной грани- цей: случай скелетов с пятью концами // Матом. заметки. 1997. Т. 61. Вып. 6. 137 Д. П. Ильютко. Геометрия зкстремальных сетей на Л-нормированных плоскостях // Вестник МГУ. сер. 1. Матем. Мех. 2005. Х 4. С. 52 — 54 [35] А. А. Туькилин.
Полная классификация локально минимальных бинарных деревьев с правильной границей, двойственные триангуляции которых являются скелетами // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2. Х 2. С. 511 562. (36~ А. А. Ту килин. Классификация локально минимальных плоских сетей с выпуклыми границами // Дисс. доктора физ.-мат. наук, .Х1.: МГУ. 1997. 138 Список работ автора по теме диссертации [1] Д. П. Илыотко. Локально минимальныс сети в Х-нормированных пространствах // Матом. заметки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
