Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Получили противоречие. Достаточность. Пусть для каждого подслова ь слова а выполняется неравенство: ( — 1) Тог(ь) ) О. Докажем, что слово я полуэкстремально. По теореме 4.4, для всех образующих слов с слова о выполнено ( — 1) ' Тог(с) ) О. Из теоремы 4.5 вытекает, что все образ~к)щие слова с полуэкстремальны. Следовательно. по теореме 4.3, слово а полуэкстремально. Теорема доказана.
° 4.6. Критерий полуэкстремальности слова для х= О Пусть Г: | — + ||4'.а произвольная существенная «еть на Л-нормированной плоскости (л);~,рл), и я = Ис(Г). По теореме 4.1, экстремальность сети 1' равносильнса полуэкст~>емсзльности сп1)ава и Слева слова а. ИсслеДУЕМ ПОЛУЭКСТРЕМаЛЬНОСТЬ СЛОВа я. Лемма 4.20. Слово а = и;Ь,... Ь,,Ь)Ь;,,... Ь:,сь,. где 1 = 1. 7, 9, 11., 13 (у = 2,.
8, 10, 12, 14), полуэкстремально справа (слева) тогда, и только тогда, когда полуэкстремильны справа (слева) его подслова ь1 = а;Ь,,... Ь,,д,.(Ь,)) ьа = О~(Ь))Ь),,,... Ь,,сь. 107 Доказательство. Докажем. что слово а = и;Ъ,,...6,,6,6,:,...Ь,,сь, у = 1, 7, 9, 11, 13, полуэкстремально справа, если подслова 6 ~ и;Ь,... Ь~~,д„(61), 62 = д1(6 )Ь,...
Ь,еь полуэкстремальны справа (полу- экстремальность слева рассматривается аналогично). Рассмотрим у ~ 1. Положительность собственных подслов, которые не содержат одновременно букву Ь, выполнена, так как они собственные подслова слова 61 или ьи. Рассмотрим произвольное полслово слова а. содержащее Ь . Обозна- чим это слово через ь и докажем его положительность. Рассмотрим про- извольную строго допустимую деформапию 11(ь) Е Л~(ь). Обозначим че- рез ь; максимальное слово, являющееся собственным подсловом как слова э., так и слова 6;., где г' = 1, 2.
По условию слова э, положительны. Опре- делим для слов ь; строго допустимые деформации следующим образом: 1у(61) Е Л+(ь1) и ц(ь~) = 1у(ь) ~в ~, т.е. деформация 1у(61) отлича61~д„А ) ь ~дд6,Р ется от деформац1пл т](ь) лишь на букве д,.(Ь,.) = С11, ц(6~) Е Л+(э2) и и11(ь~),, = 1у(ь), . т.е. деформапия иц(ь2) отличается от деформации 11(ь) лишь на букве д1(6.;). Здесь и нормируюший коэффициент.
Имеем ~(т(ь, 11(о))) — ~(т(ь1; 11(ь1))) + и;(т(~2 11(ь2))) + +д;б,'( — п(6) + к(т (Ьу)) — 61" ' д 'нд,'""~ "~ 'не (1)) = = ~(т(61, 1у(61))) + аС(т(62., 11(ьи))) > О. Следовательно, слово ь поло:кительно и слово а полуэкстремально. Случай 1 = 1 доказывается аналогично. только деформация в концевой вершине образующего пути может не совпадать с допустимой деформацией, когда мы вариацию раскладываем на две вариации. Лемма доказана. ° Теорема 4.7. Пуслпь а произвольное елово. Тоеди, если Л+(а) (Л (а)) непусто, то елово а неполуэьеетрелбильно с11риви (елеви).
Доказательство. Без ограничения общности рассмотрим только Л+(а). Пусть Л+(а) непусто. По лемме 4.20, полуэкстремальность справа слова а 1эавносильна полУэкстРема,1ьности спРВВа максима,1ьных ПОДслОВ ь,~л слова ~. которые не содержат буквы 6,. где 1' = 1. 7. 9. 11.
13. ОчеВидно, что множества Л (Ь,, ) тогке непусты. Поэтому можно с"1итать, что а не содержит буквы Ь, где у' = 1, 7, 9, 11. 13. Поскольку Л+(а) непусто, где а = а;Ь,,,... Ь,С1э то. по утверждению 4.2. имеем г' = 2д+ 1, 7',„, =2д+1,6, 16, 17, 18, у=0.....,7. 108 Рассмотрим все максимальные подслова сс слова а, не содержащие буквы 6, где 1' = 15, 17. Утверждается, что хотя бы одно из множеств Л+(с„) непусто.
Это следует из того факта, что ду(61,.-,) = и1я и дс(617) = с1я. Последовательно убирая буквы 6|;, и 617, мы всегда будем иметь слово, у которого существует строго допустимая деформация. Пусть Л+(с,.) непусто и слово с,. не содержит буквы 6,. где э' = 1., 7, 9. 11, 13, 15, 17, т.е. содержит только 6я, 6ь, 6ь, 1э1ь, 61а, которые дают неположительный вклад в фоРмУлУ ваРиации. Следовательно, с,(т(с,с с1(с,))) ( О, где з1(с,,) Е Л+(с,.)., так как бУквы и;, сь дают отРицательный вклад в фоР- мулу вариации. Получаем.
что слово с, неположительно и вместе с этим слово а неполуэкстремально. Теорема доказана. ° Теорема 4.8. Произвольное слово а ни Л-нориировинноб плоск;ост эи гдс 2Л = 0 (шос1 3) и Л > 9, полуэкстрвмильно сприви (слеви) тогди и только тогди, когди для киясдого его тьодслови ь мноэквство Л+(ь) (Л (ь)) тщст,о. 4.7. Критерий экстремальности существеннои сети Определение. Обозначим через А+ множество всех слов ь, для которых множество Л+(ь) непусто. Аналогично. обозначим через А множество всех слов ь, для которых множество Л (ь) непусто.
Рассмотрим произвольное слово а Е А и обозначим через р„,(а) количество букв 6са в слове а. Пусть а Е А+. Из утверждения 4.2 для а. = 1, 2 следует, что слово а имеет вид а = и,;6,,...6э,сь, .где г,к ~ 2,4,6+ эс, 1'„, ~ 2,4. Положим Т +(а) = Р1(а) — Р7(а) +1эь(а) — Ря(а) +Р~о(а) + 2( — Рз(а) Рь(а) +Рь(а)) + 3 — (г+ в), .где г = 1, если с' = 6, 7+ жс и н = 2, если ю' = 1, 3. 5, 11 — 2асс в = 1, если й = 6, 7+ а.с и в = 2, если 1с = 1, 3, 5, 11 — 2 с. Пусть а б А . Из утверждения 4.2 для эс = 1.
2 следует, что слово а имеет вид а = и;бэ,...6;,сс, где ~', 1с ~ 1, 3, 9 — эс, с ф 1, 3. Положим ТОГ (а) = Р2(а) +Р7(а) — Рь(а) +Ря(а) — Р1я(а) + 2( — Р1(а) +1эя(а) — Ря(а)) + 3 — (с+ в), где г = 1, если 1 = 5 .5+ 2э., и г = 2, если 1 = 2. 4, 6, 10 — э:, в = 1, если 1с = 5, 5+ 2~, и в = 2, если 1: = 2, 4, 6, 10 — эс. Теорема 4.9. Пусть Г произвольния, суиявстввнния сеть, и а И''(Г). Сеть Г зкстрвмальни то; да, и только то; да, когда, щт г = 1, 2 для каждых подслов ь е А+ и с е А слави а выполняются нвраввнстви ( — 1)' Тог+(ь) > О, ( — 1) Тог (с) > О, а при х = О для каждого гьодслова ь слова ~ выполн„явтая, ь ф А+, ь ф А Доказательство.
Случай х = 0 сразу следует из тсорсмы 4.8. Рассмотрим случаи х = 1, 2. Пвобходилосты Пусть сеть Г экстремальна. Тогда. по тсоремс 4.1, слово а полуэкстрсмально справа и слева. Пз теоремы 4.2 и следствия 4.1 вытекаст, что слово ь1, .полученное рсдукцисй по буквам 6я, 6; и 6в, полуэкстромально справа, и слово ь2, полученное рсдукпиой по буквам 6я. 6; и 6в, полуэкстрсмально слсва.
Слова ь,, удовлетворяют условию теоремы 4.6, и по этой теореме, для каждых их подслов ~; выполнены неравенства ( — 1) 'Тог~(11) ) О, .( — 1) Тог (Га) ) О. Ь.аждому подслову слова а соотвстствует подслово слова ь.;. Осталось заметить, что в выракении Тог+ буквы 6», 6ь и 66, а в выражении Тог буквы 66 6ь и 6» дают удвоенный вклад. Достаточность. Пусть для каждых подслов ь Е А+ и с Е А слова а выполняются неравенства ( — 1)' Тог+(ь) ) О, ( — 1) Тог (с) ) О.
Рассмотрим слова ь;, где слово ь1 получено рсдукцисй по буквам 6я, 6,;, и 6я, а слово ь2 получено рсдукпией по буквам 6я, 6ь и 6в. Тогда для какдого подслова ьг Е А+ слова ь1 выполняется нсравснство ( — 1) Тог~(ь|) ) О, а для каждого подслова сг Е А слова ь2 выполняется неравенство ( — 1) Тог (сг) > О. Из теорсмы 4.6 вытекаст, что слово ьг полуэкстремально справа, а слово ь2 полуэкстремально слева. Следовательно, по теореме 4.2 и по следствию 4.1, слово а полуэкстремально справа и слева. т.с. сеть Г экстрсмальна.
Теорема доказана. ° 4.8. Геометрический критерий экстремальности бинарной сети Пусть Г: С вЂ” + К~ сушествснная сеть, рсбра которой могут быть неточечными, и а = И: (Г). Теорема 4.10. Пусть г = 1, 2. Слово а = а.;... (а =... с;) полузкстрв- мально тогда и только тогда, когди полуэкстрсмальны слова: 1) ь = а~... (... с1),. если г = 3; 110 2) ь =аа... (...с2), еслиэ'=4; 3) Ь =ау. (...Сг) ис =ая... (...Ся), ЕСЛиг'=О; 4) ь =а8... (...сь) 1г,г =а9... (...с9), г:ели 1=6. Доказательство. Пункты 1) и 2) следукэт из пунктов 3) и 4). Используя симмст1эикэ., дОстаточнО рассмОт1)сть пункт з) и слОВО Виде! й = аь....
Достаточность. Пусть слова ь = а-,... и г = ав... полуэкстремальны справа (слева). Тогда полуэкстремальность справа слова гг следует из полуэкстремальности справа слова < (полуэкстремальность слева слова гг из полуэкстремальности слева слова ь). Неогэлод1глость. Пусть г:лово а полуэкстремально справа (слева).
Из теоремы 4.9 и вида деформации следует, что слово ь = сг1... полуэкстремально справа (слева), а слово с = ая... полуэкстремально справа для эг = 1 (слева для г = 2). Следовательно., остается доказать, что слово г полуэкстремально справа для к = 2 (слева для г = 1). Достаточно проверить положительность справа (слева) подслов слова с, которые содержат букву ая. Пусть ь = аьб;,... д,(6;,) произвольное подг:лово слова с. Тогда слово 1 = аьб,, ... д„(Ь:,) является подсловом слова а.
Берем произвольную деформацию ц~~ г(ь) Е Л~г г(ь) и строим деформацию гу~~ ~ ® Е Л ~ ~ (~) след~гк)щим Огэ1эазОм: ээ ~ ~ (~) = '17 ' ~ (ь ) . а на ОуЬ„...ддьн ) ь,, ...гэдь„) ' кве аь деформация гу+~ ~(~) определяется единственном образом. исходя из трегювания 1у~~ (!) Е Л+ ~(1). Имеем: ~(т~~ г(Ь,ЭУ~~ ~(Ь))) = ~(т~~ ~(~,ЭУ~~ ~(Г))) + ( — 1) (и(д1) — и(дя)) > О. так как слово 1 положительно справа (слева). Следовательно. слово ь положительно справа (слева). Теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
