Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 14
Текст из файла (страница 14)
и2] — + К27. где вершины и; внутренние. Пусть Г;: С,; -+ К сети, полученные пз сети Г в результате разрс- 2 зания Г по ребру ",; = [Г: гг([и», и2]) -+ К2). где я: С' — г С слабая проекция., г', = 1. 2. Обозна |им через Г';: С', — г К2 базовые типы расщепления сетей Г;: С» — + К2„» = 1. 2. Без Ограни~ешь общности будем считать. что Г'; содержит вершину ~; = 1Г': п; -+ К21, г = 1, 2. Количество внутренних вершин в каждой из них меньше п. поэтому, по предположению индукции, сети Г,'; слабо экстрсмальны. 1) Если р.„, »,ч,ту(и;), гу(гг,)) = р„,(", д(и;),О), у' ~ г., для любого г = 1.
2, то з (Г',ту) = ~ з (Г',,ту) > О. г» 1 2) Пусть одно из равенств р,, (-:, гу(гг,;),гу(и,)) = 7».,„(-». гу(гг.;),О), у ~ г, г' = 1, 2., неверно. Р~~г, С ' гУ(г»1;) ~ »У(г»»)) Ф Риг, ( г ~ гУ(М ~ 0) ' то Риг (,', »У(и»), »У(и»,)) = 7..„(-». гу(гггг), О). Определим отображение гу: 1'г-, -+ К2. положив гу(г») = гу(г») для любой рл (гу'(иг)) вершины и Е Ъ'с;~, и гу(гь) = гу(и») для любой вершины иг Е 1'~,, р» (гу(иг)) где ВсктоР гу (иг) сонап1»аВлен с гУ(иг), а ВсктоР 17(ггг.) — тУ ('и») па1эаалелсн ребру -,.
Используя равенство р,„(-», ту(гг;). »7(и:)) = р.„(",:, гу(гг;), »у(и )), получаем з (Г', ту) = з (Г'. гу) + з (Гг, »у — ту) > з (Г'. ту),. так как сеть Г» гслабо экстремальна. Мы свели деформацикг гу к деформации гу, для которой хотя бы одно ребро сети Г' удовлетворяет условию настояшего утверждения. Поступая аналогично с остальными ребрами, получим, что или Г слабо экстрсмальна по 1), или з (Г'. гу) > з (Г', гу), где Деформация гу полностью удОВчетВОряет услОВию тс013смы.
НО по предполОжснию для таких дс формаций выполнено неравенство з (Г', ту) > О. следовательно, сеть Г' слабо экстр смальна. Утверждение доказано. ° Определение. Деформация гу: 1''Ỡ— г К сети Г' называется догггустгг; гггой, если она допустима в каждой вершине сети Г' и удовлетворяет следующему условию: если у = 1Г'. [и»,и2] — + К 1 произвольное ребро Используя утверждения 3.1. 3.2.
3.3 и 3.4, получасги теорсгиу. Теорема 3.1. Пдсть Г: С вЂ” + К2 произвольная существенная, сеть но, Л-нормированной плоскости (Й2,рл), и Г': С' — + К единственный базовый тип, ее расщепления,. Пдсть Н1 (х) множество не вырожденных ребер сеп1и Г'«иниидентных вершине х сети Г'. Тогда сеп1ь Г экстрсмальна«если и только если, для, каждой допустимой деЦорма~ии 1]: 1';.. — '«К2 следд)ощал сдмма по всем приведенным компонентам 'Н(:): Н(и) — ~ К сети Г', где ~ = 1Г: и -+ К ) вери(ина сеп1и Г, неотрицательна: Е (Е««(о(:о( '), «( (И, «('))-« 'Ц[ ]. и' « 'о 1=1 "'='Г': [и',и';]«..-.."1Е ЕЛ~ о[ '], 1=1, 2, 3 2 К ((Кр,(о(, «(«') «( ';Ц, «( ')] о рь(«( 'Ц] > о.
'Н[~]: [и',о'] — « ~.-', 1=1 ~ (Г,р]) = -«)=11': [и',и',] — «.»,' 1Е Е11«и[: ), 1=1,2 Определение. Деформация ц: 1'~-, -+ К~ сети Г' называется строго допустимой, сели она допустнгиа, нс равна нулю в каждо11 внутренней вершине графа С' и удовлетворяет следующему условию: если; = 1Г': [п(«и2] — + ]]р.") произвольное не 1-граничное невырожденное ребро сети Г , .то векторы )1(и1) и д(и2) нс параллельны, а вектор 11(и1) — 17(и2) параллелен образу ребра "). Замечание. Не для каждой существенной сети существует хотя бы одна строго допустимая деформация. Используя понятие строго допустимой деформации, получас«и Теорема 3.2.
Пусть Г: С вЂ” + К2 прооозвольная, существенная сеть на Л-нормированной плоскости (Р2,рл), и Г': С( -+ Р2 единственный базовый тип ес расщепления. Тогда сеть Г экстремальна, если и только если каждая собственная, подсеть сети Г экстремально, и для, ка«ждой стРого допдстимой дефоРмаиии 11: Ъ'сл — > К выполнено неРавенство з (Г«п) ) О. се»ти Г , .и Векторы п(и1) и )1(и2) Одновременно нс равны нулю и не параллельны образу ребра "), то вектор )1(и1) — )1(и2) параллелен образу ребра -)» (условия 11(и.;) ~ О, 1 = 1, 2, и определение приведенной компоненты гарантируют, что ] невырокденное ребро). Замечание. Из равенства з (Г'. а11) = аз (Г', .у) для любого а > О вытекает, что неравенство з (Г', 11) > 0 из теоремы 3.2 достаточно проверить лишь для конечного числа строго допустимых деформаций.
В качестве деформаций мы выбираем деформации у с ()|1)! = 1, гле ))1у)) = и|ах ))11(х) )). ье1'ся Пусть Л(Г) = ~1у|,..., уя|~ все строго допустимые деформации для Г с сдиничнои н01эыои. Далее. каждая есть иысст консчнос число собственных подсетей, и для проверки их экстремальности можно воспользоваться теоремой 3.2. Таким образом. получаем следуюший результат. 'Хеорема 3.3. Пусть Г: С вЂ” + К~ произвольная существен|нам сеть на А-нормированной плоскости (Р2, ~л) с единс|пвенным оазовым типом Г': С' — ~ К своего расщепления., и Г,„,: С„, -+ К~., т. = 1......1, все ее существенные собственные подсети с базовыми типами Г'„„: С',.„— + Е своего расщепления.
Тогда сеть Г экстпремальна, если, и только если для всех с|прого допустимых деформаиий п 1= Л(Г) и и,„, б Л(Г',,) выполнены неравенс|пва з (Г,у) > О, з (Г|,у„,) > О. Таким образом, условие экстремальности существенной сети сводится к проверке справедливости конечного числа неравенств на компоненпгы векторов т~ и т~,„,. 70 Глава 4. Критерий экстремальности дерева на Л-нормированной плоскости В даннОи ГЛЗВс мы сформулируем ГООмстрическии критерии экст1)смзльности п1)оизВОльнОГО погружсннОГО д()рсВз на Л-нормированнои плоскости, где 2Л = ) (тос1 3).
Во всей главе считаем, что Л ~ 2, 3, 4, 6. 4.1. Представление сети словом Пусть Г: С вЂ” + К произвольная существенная сеть на Л-норми- 2 рованной плоскости. Из утверждения 2.9 следует, что сеть Г является объединением образу)ощсго пути Р: Р†) К2, все ребра которого точсчныс. и 1-граничных ребер, инцидснтных некоторым вершинам из 'Р. Зададим ориснтапп(о на сети Г, ориентировав путь 'Р одним из двух возможных способов. а оставшиеся ребра ориентировав от вершин пути Р. Сеть Г, наделенная такой ориентацией, называется правильно ориен)нирооанной. Обозначим через 1л),...,)г„ )), где и > 2.
последовательно ориентированные ребра пути Р (ребро г(( ориентировано от вершины;.(), а через;.(,..., -„все вершины этого пути, где вершина =; инцидентна реорам л; ( и ));, ( = 2,...,н — 1. а;( и =„реорам л) и )т„— ( соответственно. Пусть "1 Ор)(енти))ованное ()ебро п))авильно Ориенти))ованной сети Г, нс принадлежащее Р и инцидснтнос вершине ~ь Если базис (я( ).",() при 7 ф 1 или базис (тг(.",) при 7 = 1 полон(ительно ориентироВан на К2, то Ооозна п)м "; через ~~(. В противном случае Обозна)им 7 через =-( . Поставим в соответствие вершине =) букву а;.
вершине ч, где 2 < г < — 1. бу у Ь...,; ср ° .„бук у ',. таблицах 4.1, 4.2„4.3, 4.4. В результате каждой правильно Ориснти1)ованной сети, содержащей и > 2 вершин степени больше 1, мы поставили в соответствие слово вида а;6),... 6;,,с(,, где прп ). = 1, 2 выполняется 1 < ю'. Ь: < 9, 1 < )'„, < 10, а Буква а2/с2 аз/сз а~/сг а,.;/с,;, а~/с~ ар/св Таблица 4.1. Буква 6т 1)10 Таблица 4.2. 72 Степень вершины Степень вершины Вершина ~~/ „прн х = 1, 2 Условия на инцидснтныс:г/г,, ребра ~~/=„инцидснтна точечному ребру =-+/я+ ~/=„инцидснтна точечному ребру к, /=-,, =ч/=„инцидентна неточечному ребру ~~г/=+ ;.г/~„инцидснтна нсточсчному ребру гг~ /: —,, -г/=„инцидснтна неточсчному ребру я~ /=„ яг/я,„инцидснтна нсточсчному ребру ~~ /=-„, ;.~ /=„иншхдентна точечным ребрам и Ы1(т-~, =-+~) / Ы1(тг„~.
=-.+) = 4х — 6 =~ /;.„инцидентна точечным ребрам и Ъ11(тг~. =,)/ Ы1(л„, ~, -„) = 4% — 6 ~~/-„ инцидснтна точечным ребрам и Ы1(к+,. сг ) / Га11(г+, к, ) = 4х — 6 Вершина ~~ при ж = 1, 2 Ориентация базиса (тн г, л~) на Й и условия 2 на инцпдентныс:~ ребра положительная и Ы1(лг ~. л~) = 3 — 2х отрицательная и Ы1(лг ~, т~) = 3 — 2х положительная и Ы1(лг ~, тг~) = 4т — 6 отрицательная и Ха11(тгг ~, л~) = 4х — 6 положьгтсльная и Ы1(лг ~, лу) = 4~г — 6 отрицательная и Ы1(тгг г, л~) = 4х — 6 отрицательная и Ы1(кг+. л~) = 4т.
— 6 положительная и Ы1( ч . л~) = 4 г — 6 отрицательная и Ы1(лг ~,ы~+) = 4х — 6 положительная и Ы1(тгг ~,.=ч ) = 4х — 6 ав/с~ ат/ст Буква а1/с1 г12/с2 аз/сз а;,/с-, ав/св а;/с7 а~/с11 ав/св ало/сло а11/с11 а12/с12 а 12/с12 ам/см аль/с1,.; ало/слб Таблица 4.3. Степень вершины Вершина '1/«л прлл ~г = О Условия на инпидснтные::1/",„ребра ~1/=„инцидентна точечному ребру с1 /«„ =:1/-, ллнцидентна точечному ребру сл /.:,, 21/='.„инцидснтна нсточсчному ребру с+1/=-+ , 1/я„инцидентна нсточечному ребру с1 /=-„, ,.1/ „ инцидентна нсточечным ребрам с1,/с,+,, с, /~„и Ы1(л1. «1,)/Ы1(л„л,.=+) = 3 ~1/-„ инцидснтна нсточечным ребрам ==.+1/с+., с«1/к,, и Ы1(гг1,.+1)/Ы1(л.„1, --+) = 0 ;.1/,„, инцидентна одному нсточсчному рс- б1лу С1 /С~ и Ы1(л1.
С1 )/ Ы1(л „1, «„) = 3 21/=„инцидентна одному неточечному ре- бру =, /=-,, и Ы1(л1. =-, ) / Ы1(л.„л. =-, ) = 3 1/ д иннллдентна одному нето лсчном~~ ров бра =1/«,, и Ы1(л1. =1)/1'а11(л„1„«,,) = 0 1/ „ ллнпидснтна одному неточсчному рсору =-1/=,+,: Ха11(уг1. =-1)/Ы1(л„1, =,+,) = О ;:1/: „инпидентна только точечным ребрам и пара (1а11(л1,~+1),1а11(гг1,с, )) / (1а11(л„1,.~).,Ы1(л„1. -,,)) равна (3,0) ~1 /=,, инпидснтна только точечным ребрам и пара (Ы1(лл, =-+1), Га11(лг1., сл ) ) / (Ы1(лг.„, 1.,я+).,Ы1(л„л., =-„)) равна (0.,3) ='1/:., инцидентна только точечным ребрам и пара (Ха11(лгл, «1~), Ы1(лг, сл )) / Ы1(лг„1., с+)., Ы1(т7„1, =„) равна (О., — 3) 21/=.„ллнцллдснтна только точечным ребрам и пара (Ы1(л1,«+1),Ы1(лг1,с~ )) / Ы1(т„1,;+),Ы1(л, 1.=-,,) равна ( — 3,0) я1 /=.„инцидентна только точечным ребрам и пара (Ы1(лл, с+1), Ы1( тг, .«1 )) / (Ы1(лг,„1,«+),.Ы1(л„л, =-,,) равна (3., — 3) :1/=„инцидентна только точечным ребрам и пара (Ха11(лгл, «1~),Ы1(лг1., «1)) / Ы1(л„1,":+),Ы1(т, 1.=,,) равна ( — 3,3) 73 Вершина ~ при х = 0 Буква пара положительная отрицательная пара и пара отрицательная и 3 пара отрицательная Таблица 4А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
