Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Доказательство. Докажем достаточность. Пусть вершина (Г: и — + й~~ инцидентна ребрам ",; = (Г: (1), и;~ — 1 К2), 1 = 1а 2. 3. Рассмотрим только случайа когда все ребра ",; являются точечными (остальные случаи рассматриваются аналогично) . Для граничной вершины степени 3 су1цсствует ровно четыре разрезания, из которых три являются 1-разрезаниями. Обозначим через Г,: С; — + К, 1' = 1.
2, 3. сети, полученные разрезанием вершины я на 2 трп вершины -,,' = (Г,: 1),'; — + К-)- степени один, и предположим, что:,,' 2 инцидентна ребру .у; о л;. где я;: С; — + С слабая проекция. Обозначим максимальные компоненты 1-разрезаний через Гя+;. Сз+.; -+ К-, г = 1, 2, 2 3. где Гз+.; максимальная компонента такого 1-разрезания, прп котором вершина: распадается на две граничные вершины =; = (Г;: т; — + К ) и 2У = (Гз+;. г) -+ Р ).
Заметим, что прп 1-разрезании сеть распадается на Гв+, и Г;. а при разрезании сети ГВ+1 по граничнои вершине ' степени 2 ПОЛуЧаЮтея дВЕ СЕТИ Г.;а Гу„., Гдс ), й ф 1. МЫ дОКажЕМ, ЧтО СстЬ Г ЭКС- тремальна в предположении, что каикдая максимальная компонента Гя+,; экстр емальна. Пусть максимальные компоненты Гя+, экстремальны. Из экстремальности ГВ+, вытекает экстремальность сетей Г;. ~' = 1, 2.
3. Экстремальность сете11 Г;, 1 = 1,...,ба равносильна условию, что каждыи базовыи тип расщепления Г.;: С; — + К сети Г; является слабо экстремальной сетью. последнее. по теореме 1.3, равносильно условию з (Г~. 1)~) ) О для каждой деформации 11~: 1'',, — + К2. Из теоремы 1.4 следует, что для доказательства экстремальности сети Г достаточно рассмотреть все ее базовые типы расщепления Г': С' -+ К и доказать их слабую экстремальность. т.е. проверить неравенство з (Г'. ц') > О для каи дой деформации ц': 1'с,'р -+ К2. Любой базовый тип расщепления Г» сети Г получается из оазовых типов расщеплений Г» сетей Г;, (' = 1«2, 3, путем отождествления трех граничных вершин (»; в одну граничнун) вершину в и затем расщепления этой вершины.
Эта вершина дает новую вырожденнук» компоненту. образ которой при отображении Г' совпадает с ' и которая представляет собой путь п(п2«пвпв«причем вершина нв граничная. Существуют три оазовых типа. 1»асплеплсния Г' сети Г п1пл фиксированных 1'; (т.е. трьл варианта выбора пути и) и2, изиз). Обозначим через Г»2+,. С»2+, — + К2 базовый тип расщепления сетлл Гв+,, который однозначно получается из Г»», и Г(«ГГ« ( ~ р,«путем соединения двух граничных вершин (»~~, и (/( в одну граничную вершину 2/," и затем расщепления этой вершины. Эта вершина дает новую вырожденную компоненту, образ которой при отображении Г»2+; совпадает с .," и которая представляет собой ребро и) вз. Для простоты изложения будем считать. дто вершина ил инцидентна ребрам «,:2 о»Г» и ~:; о»Г»«вершина н2 инцидентна ребру ») о я»«где я»: С» — + ( ' слабая проекция.
Обозначим ребра -),; о я» через ~:;«г', = 1«2, 3. Без ограничения обшности будем предполагать, что ребро;ч имеет точечное направление (сов ГГ«рйп а) «а ребро "/«2 имеет такое точечное направление«что направление ц2+ цв равно (сов (», вп1,(») «где О ( ср ~,,!3 ( 2»Г. (3 — Гл );Г (в противном случае надо произвести отражение относительно прямой, имеющей направление (сов сГ«вш ГГ)). Пусть Г» произвольный базовый тип расщепления сети Г. Используя равенства р,„,(у,ц»(а()«ц»(», )) = — рр„„,(у„,«ц»(/» )«ц»(п1))«т. = 2, 3, Рр/0(У1«Ц»(и2), Ц'(Г/л)) = — Рр,(,1«Ц»(л/л) «Ц»(и2)) «полУчаем Два Равенства: и (Г',0«) = Г и (Г««, «/«) Р ( — 0.
р, (;„, «/«(и„,),«0), 0 (и/)) Р ь=л т=2 '- Е(«и.(«л',0/('-): /( )) — р „.(;, /(' )/0); /(.,) — /( )) '- /«/=2 р (/и, («« / 0«( «, ), ~/«( ° «) ) — р „, ( 0 „/«( и, ), 0) «0«( и ) —,/«( и «) ) -/- / ( — р',(7/««//(«0),0),«//(и«))рр«(0«(и1) — «//(и«)) рр«(«//(«««)) (и/) 43 п(г', ~«) =п(г(,о') рп(г(, .~«),-<-ри,(о,,'(,),о).о'(,))-~ р <р„(О«««««(с«), «Г(ис)) — р„(л««р(с«), О)«««~(с«) — ««~(ис)) р + рл())»(п() — 1)'(и2))+ рл(у~(112)) — рл~)у'(11))). (2.2) Заметим, что неравенства ! ~ | ~ ! ~ 1 « ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! ! ~ ~ ~ ~ ~ ~ » ~ ~ ~ ~ | с Р,„(;,, Р(,), У(«гг)) -Р„,(7, У(,),О)«У(гп) — Р(«,)) > О, <ри (О„,«1«(о„,),«1«(и«)) — р, (О,д«(«С„),О),д«(о„) — «««(«««)) > О спрппод- ЛИВЫ ДЛЯ ЛЮОЫХ 1!~ (П1).
'1/~ (и«„) с 77» (и1) И Т)» (и2). Достаточно проверить неравенство (р) для ненулевых векторов ц'(и)) и ц'(и2). Пусть 1)'(и) ) = //ц'(п)) [[(сов (рс в1п р) И )1'(п2) [[)1'(и2) //(сов 1)», я)п 12) ненулевые вектора, где [[ // евклидова норма. (р) Если '- р —" и и'. — и и «в " — .— ', то < — р„, ( «« «~«(и) О) О(ис)) > О. Используя равенство (2.2) и неравенство рл(ц'(п) ) — ц»(и2)) + рл(Ч'(п2)) 3 РЛ()~»(и1)), ПОЛУЧаЕМ З (Г» с Ц») > З (Г») о ХУ») + З (Г,) с )У»).
АналОги«1но. если + ( (С«,«» (~ 2 2Л с тО < — ро,: (т,р'(и ),О),Ч«(и«)) > О. 1спотьлуя рппонстпо (2.р) и ~п=2 3 лсмму 2.2, полл«~1аем з (Г». 1/») ) ~- з (Г1, гу») А — ! Следовательно, неравенство (р) имеет место в предположениях пункта (1)с поскольку, по условин»с сети Г; экстремальны. (П) Осталось рассмотреть следующие возможности расположения;р и ~'.'': — -'. — —." < (р — о < — "' + —.' и — — '. — — "' < 1( — о < -', + —,'. Поскольку 2 '2Л 2 2Л 2 2Л 2 2Л. сеть Г локально минимальна, то )» — а = »г+ Б, где г = Ос..., 3. Заметим.
что для 2Л = 1 (ьпос1 3) возможно только 1 = Ос 1, для 2А = 2 (тос1 3) только г = О, 1, 2, и для г = О из-за симметрии достаточно рассмотреть случаи О < с — о < —, + —.. Для ка»кдого г — О.... «3 рассмотрим три возможности расположения угла (р: [Ц С1+ ~~ < „- < сг+ „+.—,. [2],::» — 2 —,,л < (р < +, [3] о + " + ал « ' 1» + + л где в = О для г = О' в = 1 для г = 1' и я=2дляг =2,3.
[1] Если о + «г < ср < сг+»г+ «~с го (р и )Р удовлетвс»ряк)т условиям лемм 2А и 2.5, Применяя равенство (2.2) и леммы 2.4 и 2.5. полу 1аем з (Г', 1)») ) з (Г») «1)») + з (Г(о)»»). Следовательно, неРавенство (э) в этом случае имеет место. [2]! [3] В остальных двух случаях представлл~л вектора ~'(и)) и ~'(и2) в следующсхл Виде.'. ц (и)) = «д (и)) + у/2(п1) и «7 (и2) = 7/) (п2) + уя(и2) ! Где «у)~(и)) = — а)(соко!я«па)! ач > О, для случая [2] при як>бом г и случая [3] при г = О; «у)) (и2) параллелен «у)~ (и1) = — а1(соя(а + ~ ) ! влп(о + — ) ) ! ач > О, для случая [3] при г = 1; ««) (и2) параллелен ''««) (и«) = а«(сов(Я + л' ) ! впл(о + А )) ! а ! > О, для слу 1ая [3] при« =2!3; «~2(и2) сонаправлен с «~2(««() = а2(я1«1(«л+,'~).
соя(о+, ~)) ! а2 > О, для случая [2] приз =О:, ««~2(2«2) параллелен «р~2(««)) = а2(в«п «л! сов «л)! а2 > О. для случая [2] при г ф: О: «У2(и2) параллелен «72(и)) а2(ялп(с~+ 2л )! соя(о+ 2л ))! а2 > О! Для случая [3]! причем при г = О вектор «у~~(««2) противоположно направлен ««2 ( ! «ч ) ! «) (и2) = 6) (сов о:! в1п о) ! 6) > О, для случаев [2]! [3] при г = О и а < Л.' < «)— — ", — Д (в обоих случаях), и случая [3] при г = О и,З вЂ” 2 — —,' < ю < —." + Д+а; Ц,(и.2) = — 6) (соя о!я«по)! 6) > О, для случая [2] при « — О ьл,З вЂ” —, —,л и!< — 2+2 +«л; «у)~ (и2) = 6) (сов о.'! в1п «з:)., Ь) Е К! для случая [2] при г ~ О.
Из леммы 2.3 вытекает! что рл(«~У(и1) — ««)(и2)) > рл(т~)~(и1) — «р)~(и2)). Определим отображение «)): 1'~; -+ К . где ф(дС~) = О, положив ф(«я) = ц)()«)) для любой вершины;л Е 1~, ~ ] и) ) и «)2(««() = ц)~(и(). а) Рассмотрим случаи: [3] при г = О; [2] прп г = О и О < «,' — о < —, —,'; [2]при«фОи — < я — «л< —,[3]при«ф:Ои,3 —, +, < я <, +. +о.
Эти случаи характеризуются тем условием, что вектора су1(и)) и цл(««2) ! ! . р !!(«(( !) — !(( л)) = !!(4( !)) -!- рл («))~ (и2) ) . Используя равенство (2.2) ! во всех этих случаях получаем з (Г' ! Я = з (Г', ! у') + з (Г', «)')+ !р!(ц'(и!)) !- ( — !., (!!, !!'(!!!), О), !)!(и!))~- ! (Р., (7!: 6'(е!),. !!'(иг)) — р„, (!л , .|!!(н!), % !«!(е,) — !)'(и,))!- !- Е(!.,(~-,"!!( ) !!('4-Г»„.(7- !!(-) ! ( !)) !!(о-)- ! ( )«!- т=2 рр~(ц'(и~) — 171(ип)) — ри(д7(и~)) ~-(7 ри,(7;и,р'(и~),~7'(и„,)),р,',(и~)).
юр7=2 Так как ~7Л(71 (И)) — '1/ ('(12)) ~ 3РЛ (9 (71()), ри(7'(ое)) Р ( — Р,,( ~, 7'(еи),0), 7'(ии)) > О (лемма 2.2) и < р„(-,ц'(и,),ц7(и )),ц((и|)) > 77, 7>7=2 то з (Г'77у7) > з (Г~17ф) + з (Г~л,ф). Следовательно, неравенство (э) в П17едпОлОжениях пункта я) имРРГ место. (7) Рассмотрим остальные случаи7 а именно: (2~ при 1' = О и — ', — .
< 1> а < 2 + 2л' (2~ при 7' ~ О и 7л — а е (27 2 + 2л) 0 ( 2' — 2л., '2 ); ~3~ при г ф О и а+ '.' — . < 772 < (7'+ —," +, . Так как рл(у~((п))) — рл(у~((п2)) > Рл(7)7 (171)) — 77л(Ч) (п2)) 7 то ю (Ги,ир~е) > ю (Ги,,д77 ~-ю(Г).ю~с) р(л. р,(7,ю~1(и1) 6 (~'»)) 27((ил)7 р рр7=2 р(р„(;и, д (Ли), ц~ (и )) — р„(~~, д~ (и1), О), ю1(и1) — д'(ие)) Р .Р( Е 7",и(7- '7'("-) 7'(" )) — 7и-(7- '7'('. ) '7'(" )) 7'('. ) — '7'(" )) .Р рри(6 (и1)) р( р,(/| '/ ("1) 77):Ц (ии)) ри(9((ие)). Для завершения доказательства пункта 6) достаточно проверить справедливость неравенства ри(ю (ае)) р ( — р,, (1, 7 (~а)0)17 (ис)) — ри(р (ие)) > 0 (2 3) ПОЛОЖИМ Л вЂ” 1> — а+ — . ПРИ 1 — О, Л вЂ” (и — а . ДЛЯ Д ПРИ 7 ф О и 1(7 — а е ( —, —, +. л);,1 = ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
