Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Множество Р),.Р)1 всех внешних нормале)л к поверхностлл М в точке х называется нормальным конде ом. Наконец, .нонормой р", .Соотвстствуюлцсй норме р, называется слсдуюшая функци.я на ковекторах: р ® = 11)ахи(р) /ь' е е~., где Х = 1;. 7= К")р(. ) = 11 единичная сфера. При стандартном отождествлении пространств Т,*, Р." и Т,.Я", едбдид)- ференц))ал Яр(х) еыпдл:,лой фРХННРРРРРР, Г е точке х, т.е.
множество всех суб)град1лентов функции Г в точке х, .является непустым выпуклым ограниченным подмножеством нормального конуса в точке х к поверхности уровня этой функции, проходящей через х. При этом функция Г диф- СР)с1)СНЦЩ)усма В х., ОСЛИ И ТОЛЬКО ССЛИ Ълножсство Як(х) СОСТОИТ Из ОдНОИ точки, совпадающей в этом случае с градиентом функции Г. Если Г = р некоторая норма, то имеет место следующий результат [1)]. Предложение 1.1. Сдбди(Х)ференц71ал Яе(х) е то лне х ~ О соападае)п с мноэ)еестеом 6 Сох анеРР)н7)х нормйяе7Ъ едРРНР)чноРР Рьсонормы и поберхнР)СРПРР дроеня нормы р. проходящей через х. Пусть Г: 7'.' -+ ((Р,"" произвольная линейная сеть.
Для каждой приведенной компоненты ОР С Г обозначим через ЕРР,. и А:РР,, множество ребер и вершин сети ХХг. '1срсз дХХг обозначим множество вершин из ХХг, инцпдснтных невырождснным ребрам сети Г. Далее, для каждой вершины х Е дХХг обозначим через Хис(х) множество нсвырождснных ребер сети Г> инпидснтных х. Если "; произвольное ребро сети, то обозначим через д, пару его концевых вершин. Положим рЯА> В)) = р(«> — 4). Пусть х Е К" произвольная точка, и т> Е ТР.' = К"' любой вектор.
Через р(«)) будем обозначать субградиент функции р в то"1ке х, причем. Сели «1 и х ~ О коллннеарны, то р(Л) лтобой ТакоЙ ковсктор, а. г)ели Л и х ~ О линейно независимы, то р(ту) удовлетворяет следующему дополнительному условию: вектор р® ортогоналсн, в смысле евклидова скалярного произведения, радиальной проекции луча х + Ь)> ~ > О., на сферу Е. Для произвольного невырождснного ребра "; = [х> у] и произвольных векторов т«1, '««а Е К" положим р,,(,, ««1, '««а), равным р-импульсу р, ('««1, т>а)> котоРый опРеДеллетсЯ Равенством Р„,, (Ц) > т>а) = Р1 (зУ) — т>а) = — Ра(уа — Л) ), гДе р.;® субградиснт р(««)> вьгп1слснный в точке и; = ( — 1)'(у — х)>«Цу — х[$.
Здесь [[ ~~ евклидова норма. Справедлива следующая теорема, доказанная А. О. Ивановым и А. А. Тужилиным [15]. Теорема 1.3. Пуетпь (К", р) нг>рлирован>нг>е тч>«>стпргинетг>г>.,Линейнг>я сеть Г: С вЂ” + К" с граниией, дГ слибг> экетрелальна> если и только если для каждого от«ображения т>: 1'"г> — + К", где «)(дб) = О, следующая сулла по ввел приведенныл колпонентил Нг се«пи Г неотрицатпельна,: В (р; р) = К( Е ( К р,(>, р(н), р(р)), р(«с)) -'; >>> тед««>- або««> (р),;=(р,у) р(р, )) > О.
° ЕЕ»7 Замечание. Из теоремы 1.3 и из линейности сети вытекает, что для проверки слабоЙ экстремальности ссти достаточно знать поле деформации только в вершинах сети и рассматривать только линейные деформации, т.е. деформации, при которых каждая точка сети движется прямолинейно и равномерно. Поскольку между полями вдоль сети Г, равнымп нулю на границе. и линейными деформациями сети Г имеется взаимно однозначное соответствие„то в дальнейшем будем отождествлять поля деформации с самими деформациями и называть их просто дед>орлаци- я,ли еетпи. Хотя.
формально. для проверки экстремальности сети нужно проверить (с помошыо теоремы 1.3) слабую экстремальность бесконечного числа сетей различных типов расщеплений исходной сети., в действи- тельности, эту проверку достаточно провести лишь для конечного числа типов расшепления. Построим набор представителей, из слабой экстремальности которых вытекает экстремальность сети. Пусть Г линейная сеть, Нг некоторая ее приведенная компонента, и Г = Г/Нг сеть, полученная из Г факторизаииеи по Нг. Обозначим через и: à — + Г каноническую проекцию, и пусть х = к(Нг). Прообраз произвольной локальной сети Гм,[х) С Г для Г с центром в х при отооражении к назовем сильно, локальной сетью приверженной ко.ипонснты Чг. Пусть Г произвольная погруженная сеть.
Определение. Тип расщепления Г' сети Г назовем базовым, если сильно локальная сеть Т каждой его приведенной компоненты Н~ является бинарным деревом, т.е. со,держит вершины степени 1 илн 3. При этом если Нг соответствует внутренней вершине сети Г, то все вершины степени 1,дерева Т не принадлежат Нгс Если же Нг~ соответствует граничнои вершине пз Г, то Нг содержит ровно одну вершину х дерева Т степени 1. причем в этом случае дГ' П Н1 = 1х1.
Отметим. что у каждой погруженной сети Г имеется лишь конечное (не нулевос) число базовых типов расщепления. Сп1>аведлива следующая теорема, доказанная А. О. Ивановым и А.А. Тужилиным [15]. Теорема 1.4. Погруясенная сеть Г зкстреиальна ь нормированном простринстве (К". р), еслн н только сслн каждый базовый тнп расщеплення Г' сети Г яиляется слибо экстремальной сетью. 1.4. Критерий локальной минимальности сети на Л-нормированной плоскости Определение.
Нормированная плоскость (К, р~) называется Л-норлн- 2 рооанной плоскостью, если единичная окружность Е = 1х Е К )р~(х) = 11 для нормы р1 совпадает с правильным 2Л-угольником, вершины которого это точки р.; = [сов — "г',ящ — 'г), О < г < 2Л вЂ” 1. Пусть Г: С вЂ” > Е произвольная погруженная линейная сеть. и; г некоторое ребро сети Г, ориентированное одним из двух возможных способов.
Если направление этого ребра приходит во внутреннюю точку стороны [и;,р;+1] 2Л-угольника Е, то замыканием наприеленин ребра ",: назовем отрезок [р.;, р,;+1]., а если направление этого ребра приходит в вершину р; 2Л-угольника У, то замыканием направления ребра; назовем точку р,;. В первом случае ребро ",: называется неп>очечныи> а во втором точечныы,. Замыкание направления реора; обозначим через Я( ). Для любых подмножеств А и В из 2Л-угольника Е обозначим через с~(А> В) точную нижнюю грань, а через Э~А. В) точную верхнюю грань углов между радиус-векторами точек х Е А и у Е В. Если ',ч и ",> два смежных ребра, то в выражениях о(Я(->1) > Я(",~)) и,З(Я(>~)., Я(;::2)) под замыканиями Я(",:;) будем понимать замыкания для ребер ",:;.
>' = 1, 2, ориентированных от их общей вершины. Приведем полное описание локальной структуры локально минимальных сетей ~18). Теорема 1.5. Погруженная линейная сеть Г: С -+ К2 с некоторой гра; ницей, ни Л-нориировинной плоскости (К-,р~) являеп>ся локально >иинииильной> если и только если одновреыенно выполняются следуюи>ие услови,я: 1) кпждия вершина степени 1 гриничная; 2) для любых двух смежныс ребер ">,; и >, вьтолняется неривенсп>во 3) если ',1 и, ",> ребра, инцпдентные внутренней, вершине. степени 2, 7Г то О'(Я(71)., Я( ~2)) 3 7Г ф для любых двух соседних ребер ";; и ";, инцидентных внутренней вершине степен», Л:, Л: > 3, выполняепня неривенство Замечание.
Пз теоремы 1.5 вытекает, что степень граничной вершины не превосходит 6. а степень внутренней вершины не больше 4. Действительно, при Л ~~ 3 из условия 2) теоремы 1.5 вытекает, что угол между ребрами ";; и "> не меньше —.'. поэтому при таких Л как степень внутренней„так и граничной вершины не превосходит 4. При Л = 3 условие 2) теоремы гарантирует, что степень вершины не может быть больше 6, однако условие 4) теоремы ограничивает степень внутренней вершины четверкой. Замечание.
Из условия 2) теоремы 1.5 видно, что вершины степени 4 могут возникнуть только для Л = 2, 3. 4, 6. При этом, в случаях Л = 2, 4, 6 направления ребер обязаны приходить в вершины 2Л-угольника К и Р!!с. 1.1. Не локально минимальные сети. с1е~(я) = 4,5.6.
углы между соседними выходящими из этой вершины реорами должны равняться — ', . Тем самым, условие 4) не накладывает дополнительных 2' ограничений на локальнук> структуру таких вершин. Если же Л = 3. то ситуация существенно сложнее. Оказывается., можно построить погруженные сети, состоящие из четырех. пяти или шести ребер, инцидентных внутренней вершине, такие„что условия 1), 2) и 3) теоремы выполняются.
но сеть не локально минимальна, см. рис. 1.1 (замыкание направления каждого ребра;:.; равно вершине из Е, и все углы, за исключением одного для случаев с1ее:(~) = 4, 5, между соседними ребрамп равны — ',). Тем самым, для внутренних вершин степени 4, 5. 6 условие 4) накладывает сушественные ограничения только для Л = 3. Иньп|и словами, при Л ~ 3 условие 4) для вершин степени 4 .является избыточным. Далее., для внутренних вершин степ!ни 3 условие 4) избыточно тогда и только тогда, когда 2Л = 1(шоЯ 3).
Если же 2Л ф 1(гаоЯ 3), то при каждом таком Л существуют погруженные сети, состоящие из трех ребер. инцидснтных внутренней вершине, такие, что условия 1), 2) и 3) теоремы выполняк)тся, но сеть не локально минимальна. см. рис. 1.2 (замыкание направления каждого ребра ";,; равно вершине из Е, а а(Я(у!),Я(-~~)) = 2т 2~г 2т л 3 Л' ' ' ' ' ' " 3 Л +; о(Я( ~); Я("~з)) = а(Я(",'~ ); Я(",'з)) = — для 2Л вЂ” = 0 (тос1 3): и о'ф("~ч).ЯЬг)) = + . с!'(Я(М:Я("!з)) = с!'(Я( !!);Я('ув)) = 2Л = 2 (и!о!1 3)).
Таким образом, при Л ~ 3 условие 4) теоремы 1.5 можно заменить условием 4'): 4') для любых двух соседних ребер -!:; и ~:,, инцидентных внутренней вершине степени не меньше 3. выполняется неравенство 3(Я("~,), Я("! )) < Рис. 1.2. Нс локально минимальная сеть, г1с~(-) = 3. Аналогичные результаты для минимальных деревьев Штсйнера были независимо получены в ~32~. Для формулировки зтих результатов нам понадобятся некоторые понятия. Пусть Г: С вЂ” + К произвольная вложенная сеть-звезда, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
