Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Четвертая глава завершает опи«ание структуры экстремальных сетей на Л-нормированных плоскостях. Первые три параграфа посвяшены переходу от сетей к словам. Для удобства изложения сушсственные сети кодируются словами., при этом нескольким сетям может соответствовать одно и то жс слово. Вво- дится понятие подслова, которое соответствует понятик) сушественной подсети. Во втором параграфе формула первой вариации сети переписывается в терминах слов.
На основании этой формулы в третьем параграфе определяются положи)пельные (справа, слева) слова и Волуэкстремальные (справа, слева) слова. Теорема 4.1 утверждает, что сеть экстрРмяльна Тогда и тОяько тогда, когда «лоно, сООтВРтствук)щРР Рй, полуэкстремально справа и слева. В следующих трех параграфах исследуется полуэкстремально«ть слов. Сначала ка)кдому слову при 2Л = 1. 2 (шо«1 3) ставится в «оответс твие некоторый набор так называемых простейших слов. Для этого используется операция редукции, подобная той„которая была определена для деревьев.
Оказывается, что полуэкстремальность слова равносильна полу- экстремальности простейших слов. которые строятся по исходному слову, теорема 4.3. Для случая 2Л = 0 (ппн1 3) полуэк«тремальность слова связана с существованием строго допустимых деформаций существенных «Ртей, представленных подсловом исходного слова, теорема 4.8. На основании этого формулируется критерий полуэкстремальности слова. А именно.
для ка'кдого слова вводится понятие кручения, которсн и ответственно за полуэкстремальность слова для случаев 2Л = 1,2 (пн)с1 3). Основные результаты этих параграфов теорема 4.6 и теорема 4.8. ПерВая утверждает, что Слово а полуэкст1)Рмально Тогда и только Тогда, когда кручение каждого подслова слова а не оольше нуля при 2Л = 1 (тпос1 3) и не меньше нуля при 2Л = 2 (п)ос1 3).
Вторая теорема относится к 2Л = 0 (п)ой 3) и показывает, .что слово а полуэкстремально тогда и только тогда, когда для каждой существенной сети, представленной подсловом слова а, не сушествуст строго допустимой деформации. Используя теоремы 4.1, 4.6 и 4.8, в седьмом параграфе мы приводим критерий экстремальности существенной сети в терминах соответствующего Рй «лова, Теорема 4.9. Главный результат четвертой главы заклн)чен в следун)щих двух параграфах. Сначала вводится понятие ориентированной погре)иности между ДВумя смежныыи рсорами., которая ха1)актеризует ОриентироВанный угол между ними. Слсдуюший шаг это определение орнентч)овин; но(1 погрешнос)))и сети, которая является аналогом числа врашснпя с(тп в евклидовом случае. Далее устанавливается связь между ориентированной погрешностью сети и кручением слова для случаев 2Л = 1,2 (шо(1 3). а также между ориснтированнои погрешностью сети и существованием строго допустимой деформации сети для случая 2Л = О (шо(1 3).
Переходя от слов к сушсственным сетям и пользуясь теоремой 4З. доказывается теорема 4.15 критерий экстремальности существенной сети: сушсствсн- ная с(ть экстрсмальна тогда и только тогда. когда ес ориентированная пОГрРшнОсть нР ОольшР 3. Используя тРОрРму 4.15 и рРзультаты преды- душих двух глав. мы доказываем основную теорему Г(омстри ьесклли критерии экстремальности произвольного дерева в терминах ориентированной погрешности. Основная теорема утверждает, что произвольное ДРрРВО экстремзяьно тОГда и тОлько ГОГда. коГда РГО Ориенти~)ованная погрешность не больше 3. В заключительном параграфе этой главы мы применяем крллтерий экстремальности к деревьям, все вершины которых суть гран)лчные вершины степени 1 или 2. Каждому дереву став1лтся в соответствие некоторая последовательность целых чисел.
Теорема 4.17 показывает, что если последовательность содержит подпослсдоватсльность некоторого специального вида, то дерево не является экстремальным. Из этой теоремы ВиднО, ~1ТО пути В экст~)емй,льных ДРрРВьях нР могут сильно "закру~1иваться в одну сторону с минимально возможным углом.
В пятой главе работы рассматривак)тся свойства экстремальных сетей и вопросы, касаюшпеся топологической и планарной Л-минимальных (эк(тремальных) реализаций деревьев, т.с. реализаций этих деревьев в виде локально минимальных (экстремальных) деревьев на Л-нормированных плоскостях, а также поведения экстремальных ест(и на Л-нормированных плоскостях при Л вЂ” ) ()(). Первый параграф содержит теоремы. касак)шиеся поведения ориентированной погрешност1л при редукциях и антирсдукциях дерева. Теоремы 5.1, 5.2, 5.3 дают оценку на ориентированную погрешность дерева, полученного из данного дерева с помошьк) нскоторои операции, и в некоторых случаях позволяют сказать, когда новос дерево экстремально.
см. следствие 5.1. Основной результат второго параг1)афа это кр)лтерллй Л-экстремальной реализаци)л дерева, теорема 5.5. Эта теорема утверждает, что дерево Л-экстремально реализуется тогда и только тогда, когда оно является деревом Штсйнсра. Третий. он жс заключительный параграф главы, содержит теоремы о поведении экстремальных сетей на Л-нормированных плоскостях при Л вЂ” +;с. Теорема оЛ утверждает, что для любого вложенного экстремального дерева Г на стандартной евклидовой плоскости существует последовательность вложенных планарно эквивалентных Г экстремальных деревьев на Л-нормированных плоскостях, сходящаяся к Г при Л -+ оо.
В то жс время, это утверждение нс имеет места, если дополнительно потребовать, чтобы границы всех приближающих Г сетей совпадали. Теорема 5.8 показывает, что если дерево Г является бинарным, то утверждение теоремы 5.7 верно и с дополнительным требованием совпадений границ. Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность своим научным руководителям д.ф.-м.н. проф.
А.А. Тужилину и д.ф.-м.н. проф. А. О. Иванову за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе. Также автор благодарен Н. П. Долбилину, Н. С. Гусеву, Г. А. Еарпунину. И.М. Никонову. С. В. Матвееву, И.Х. Сабитову, А.Т. Фоменко за полезные обсуждения результатов настоящей диссертации. Автор благодарен всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений за творческий климат и поддержку. Оглавление 49 50 51 61 61 12 1. Предварительные сведения 1.1. Общее определение сети 1.2. Операции над сетями 1.2.1.
Разрезание сетей по вершинам и ребрам .. 1.2.2. Редукция вложенного дерева . 1.2.3. Антиредукция вложенного дерева . 1.3. Определения экстремальнои и локально мпнимальнои с(.ти 1.4. Критерий локальной минимальности сети на Л-нормированной плоскости 2. Существенные сети 2.1. Линеаризация сети 2.2. Разрезания сети, сохраняк>щие экстремальность 2.2.1. Разрезания по граничным вершинам 2.2.2.
Разрезания по ребрам . 2.2.3. Вершины, инцидентные неточечному 1-граничному ребру 2.2.4. Вершины, инцидентные точечным ребрам . 2.3. Существенные представители локально минимального дерева 3. Допустимые деформации 3.1. Сведение любой деформации к допустимой 4.Критерий экстремальности дерева на Л-нормированной плоскости 4.1. Представление сети словом . 4.2. Формула первой вариации существенной сети . 4.3.
Определения полуэкстремальных справа и слева слов . 4.4. Избавление от букв 5в( 54( 6; и 6/( для х = 1. 2 4.5. Критерий полуэкстремальности слова для х = 1, 2 4.5.1. Редукция внутри слова 4.5.2. Редукция в начале и в конце слова для / = 1 14 14 18 18 19 20 о1 32 32 34 34 47 71 /1 l ( 84 84 88 89 100 4.5.3. Редукция в начале и в конце слова для х = 2 .... 102 4.5А. Простейшие слова и полуэкстремальность слов... 105 4.6. Критерий полуэкстремальности слова для м = 0 ......
107 4.7. Критерий экстремальности существенной сети....... 109 4.8. Гсомстричсский критсрий экстремальности бинарной сети 110 4.8.1. Избавлсние от нсточсчных ребер ........... 110 4.8.2. Опрсдсленис ориентированной погрешности..... 112 4.8.3. Геомстричсский критерий экстрсмальности бинарной существенной сети................. 113 4.8.4. Геометрический критерий экстремальности бинарного дсрсва ........................ 116 4.9. Гсомстричсский критерий экстремальности произвольного дерева ............................... 116 4.10.
Некоторые слсдствия из основной теоремы ......... 118 Список литература Список работ автора по теме диссертации 134 138 13 5. Свойства Л-экстремальных сетей и их асимптотика при Л вЂ” + оо 120 5.1. Поведение погрешности при редукциях и антирсдукциях . 120 5.2. Топологическая и планарная Л-минимальные (экстрсмальныс) реализации соти...................... 124 5.3. Стандартная евклидова плоскость как продел Л-нормированных плоскостсй при Л вЂ” ~ оо .
5.3.1. Сходимость сотой 5.3.2. Строгая сходпмость сотой Глава 1. Предварительные сведения В данной главе соораны основные определения и прсдваритсльныс результаты, необходимые для дальнейшего изложения. 1.1. Общее определение сети Определение. Топологичвским графом С называется топологическое пространство, полученное из конечной совокупности отрезков 11 1, некоторой склейкой по их концам. Пусть л: Ы„1, — + С каноническая проекция. Образы внутренностей отрезков Т при отображении к называются ребрами графа С. а;т-образы концевых точек отрезков 1, вершинами. Граф С связвн,, если он связен как топологичсскос простран- ство.
Замечание. В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что все рассматриваемые топологичсскис графы являются простыми, т.с. нс содержат петель и кратных рсбср. Предположим, что в графе С выделено некоторое подмножество Л мнОжсства сго Вершин. Такои Г1заф С Оудсм назыВать графом с границе у, дС = В. Вершины из дС будем называть граничными или нсподвижнымт. а все остальные вершины внутренними или подвижными. Ребра Графа., инцидснтныс Граничным Всршинахц такакс назОВсм граничными.
а ребро, нс инцидснтнос никакой граничной вершине, назовем внутренним. Определение. Граничное ребро графа С называется 1-граничным, если Оно инцидентно граничной вершине «Гепени 1. Совокупность Всех смежных 1-Граничных рсоер, из обш~й вершины которых Выходит чс более одного нс 1-граничного ребра, назовем дсами. Вершину графа С. Инцидснтную усам, назовем ввритной дсов. Усы назовем изолированными, если вершина усов инпидснтна только 1-граничным ребрам. Если усы состоят из 7. ребер, то назовем их 7.-усами.
14 ПУСТЬ Ст П120ИЗВОЛЬНЫИ ГРаф С Г12аНИЦСИ дст (ВОЗМОЛКНО ПУСТОИ). П Р Е С некоторая его точка. Допустпимой окресп1носп1ью сл С С точки Р ЕРафа С Нс1ЗЫВс1СТСЯ Зс1МЫКННИС СВЯЗНОИ ОК12ССТНОСТИ ЭТОИ ТО'1КИ, НЕ содсркашее вершин графа С, отличных от Р. если Р вершина. Наделим окрестность Г структурой графа, объявив вершинами все точки из д12 0 1Р), а ребрами внутренности отрезков в Г, сосдллняющих эти точки. Полученную звезду обозначим через С;,; и будем называть локаяьныи грифом с центром о точке Р.
Опрсделллм каноническую ераницу дС» локального графа С», включив в нес вес вершины из дс2. а так ке вершину Р. если Р граничная вершина графа С, т.е. ОС» = (ОС П Г) и (С П ОГ). Определение. Пусть С произвольный связный топологический граф, и дС его граница.,Линейной соп1ьк2 п1ипа С или, более коротко, со1пью типа С называется непрерывное отображение Г из С в Й", аффллнное на каждом ребре графа С. Граф С в этом случае называется пара.иетризу'Юилси,и с212ЯутОЛЛ Сетзл Г ИЛИ ОО ПИ!ПОЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
