Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Обозначим через Г„,: С„, — + К" сети. полученные в результате разрезания. и будем говорить, что сети Г,„,,: С...,, — + К" с границами дГ„,: дС„, — + К" получены из сети Г разрезанием по ребру "|. Поскольку нас будут интересовать те свойс:тва, которые справедливы для всех сетей из класса параллельности, то в дальнейшем мы всегда будем предполагать, что сети, полученные в результате разрезания по ребру некоторой сети. являются подсетями исходной с ети.
1.2.2. Редукция вложенного дерева Пусть заданы два непересекающихся вложенных дерева Г| . С| -+ й" и Г2. 'Са — ~ К" в нормированном пространстве (Б'."', р), и пусть у.; = (Г;: е; = [и;, а;] -+ КЯ) = [х;.у;] является 1-граничньп| ребром из Г;. Без ограничения общности будем считать, что вершины х; = ~Г,: н; — + К") имеют степень один. Отождествпм точки и| и и~ в одну точку и и будем считать. что точка |в не является вершиной. В результате мы получим новое топологическое дерсво С, вершины которого суть все вершины деревьев С| и Са.
за исключснием и| и н~. Определим границу дС дерева С, положив дС = дс | 0 дСа | 1н~.н2). Пост|и|анно| топологн |еское яерс.во С обозначим через (С|, е1)~(С2. еа) и будем называть склейкой деревьев С| и С2 по ребра,и е| а е~. Ребро дерева (С|.е|)~(С2.с2). являющееся объединением ребер е| и е2, назовем ребром склейки. Определение.
Будем говорить. что деревья Г|. С| — + К"' и Га. Са — + К" допускают, склейку по 1-граначным ребрам ",:| и ",2, если существует вложенное дерево Г: С -+ К", где С = (С|, е|)ф(Са, еа), такое, что при разрезании его по некоторому ребру полученные деревья с точностью до р-изометрии параллельны исходным деревьям Г| и Г2. Если деревья Г~. С~ -+ К" и Г2. С; — ~ К" допускают склейку по ребрам ",:~ и -:~, то само вложенное дерево Г обозначим через (Г|.,",,ч)ф(Га, ~а) и будем называть склейкой Г| н Г2 по 1-еранннныи ребрам "~| и 12. Ребро дерева (Гл.",ч)ф(Г2,",я), являющееся объсдхлнснисм ребер "~1 и ",:2.
назовем ребром склейки. Замечание. Если мьл рассматр~лвасхл сети в стандартном свклидовом пространстве, то. согласно утверждению 1.1, любыс два дерева допускают склейку по 1-граничным ребрам. В случае общсго нормированного пространства это неверно, так как нс каждый поворот является изомстрисй. Пусть Г: С вЂ” л К" вложенное дерево. и Г;: С; — л К", г = 1, 2, результат разрезания дерева Г по некоторому его ребру ", = (Г: еа — л Определение.
Деревья Г,; будем называть деревьями., 1-редуцироеанныли из Г, а операцию перехода от Г к Г; редукцией 1-га паина. Пусть, как и выше. Г: С -+ К" вложенное дерево. и ";ч и ",:2 пара сго различных ребер. Разрежем Г по ребрам "у1 и;я. и пусть Го. Со — + К' та компонента связности полученного плоского графа, которая содержит два ребра разреза. а Г;: С, — + К" компонента, содержащая лишь ребро разреза, полученное из у;. которое мы также обозначим через у;, к = 1. 2, причем деревья Г1 и Г2 допускают склейку по ребрам у1 и зя. Определение. Влокснное дерево (Гл,-,ч)~(Г2.-,:2) назовем П-реддцироааннь~,.и из Г по ребраи",1 и ";2, а операцию перехода от Г к (Г1„1з)~(Г2,",.я) редукцией 11-га типа,. Ребра ",л н зя будем называть ребрами разреза,. 1.2.3. Антиредукция вложенного дерева Пусть заданы два непересекающихся вложенных дерева Г~.
С1 — + 5Г и Гя . 'Ся — + й". Выберем в каждом из них по одному 1-граничному рс'бру -у~ и ";~, причем Г1 и Гя допускают склеику по ребрам у~ и "~~. Определение. Полученное в результате склейки по ребрам -,:; деревьев Г; вложенное дерево Г = (Г1, у1)ф(Г~.",,2) назовем 1-антиредуцироеанныа из Гл и Г2 па ребрам склейки ";т и ",:я, а операцию перехода от деревьев Г; к Г антиредукцией 1-го типа. Пусть, как и выше, заданы два нспс1>ссекающ|лхся влолкснных дерева Г: С -+ К" и Го. Сс -+ К", и пусть в дереве Г фиксировано произвольное ребро ",:, а в дсрсвс Гс пара различных 1-граничных ребер ", и Разрежем дерево Г по ребру зз и пусть ",ч и ",:я ребра разреза., п1тинадлежашис) де1эевьям Г) и Г~, полученным в результате разрезания, соответственно.
Склеим деревья Гв и Г) по ребрам ~' и ",(. К полученному вложенному дереву (Г1,-,,1)~(г().", ) приклеим дерево Г2 по ребрам ' и ")'э. В результате мы построим вложенное дерево 1 = (%,ъ)Ф(э'о:1') ~")сэ(э'ьъ) (гны считали, что склейка везде возможна). Определение. Полученное вложенное дерево Г назовем 11-антирсдэсци; рованным иэ Г с помощью оклеивания вложенного дерева Г() в ребро "( по ребрам -)э и ~:", а операцию перехода от Г и Г() к Г антпрсддкцией ХХ-го тина,. 1.3.
Определения экстремальной и локально минимальной сети Пусть Г: С -+ К" произвольная линейная сеть в нормированном пространстве (К", р). Тогда длиной с'(Г) сети Г назовем сумму длин ее ребер, т.е. следуюшее выра кение: К(Г) = с. р(Г(и) — Г(и4, ис:ее(сэ) где Е(С) множество ребер графа С. Определение. Сеть Г называется критииесксэй или экстремальной, если для любой деформации Г'„. Х (= ~О.1~, где Г', в = Г' произвольный тпп расщепления сети Г., выполнено соотношение: — Х(Г',) > О.
И Сеть Г называется локально эксспремальной, если любая локальная сеть в Г является экс:тремальной относительно своей канонической границы. Из критерия экстремальности (15~. см. также теорегиу 1.3. вытекает Утверждение 1.2. Парсэ„л,ле.,льные септ, экспсремсл,льнсл или не экспсре- мальны осэнооременно. Определение. Сеть Г называется слабо криптческой или слабо эя;стремильной, если для любой деформации (без расщепления) Гг. Р Е [О. 1~, где Гс о = Г, выполнено соотношение с1 г(Г,) > О.
Л с=о+ Определение. Будем говорить, что сеть Г затягивает. множество Х, если дГ = Х. Определение. Сеть, затягивающая некоторое множество. называется кратчайшей, если ее длина не превосходит длину любой сети, затягивающей данное множество. Сеть называется локально,минимальной... если любая локальная сеть является кратчайшей относительно своей канониче скоп гра.нины. Утверждение 1.3. Киждал подсеть локально минимальной (экстре- мильной) сети лвллепкл локально минимальной (экстремальной). Утверждение 1А. Пусть Г: С вЂ” + К" нроизвольнан слабо экстремальная, сеть тина С с границей дГ: дС вЂ” + К". Тоада, длина сети Г не больше длины любой сети Г': С вЂ” + Й' того ясе пита С и с гной ясе 'риницей дГ' = дГ.
Доказательство. Предполо ким противное, а именно, что найдется сеть Г: С вЂ” > К" типа С и с границей дГ = дГ такая. что г(Г ) < Р(Г). Для каждого О » <о » С1 рассмотрим сеть Г„: С -+ Р.", определяемую условием Г„(и) = оГ'(и)+(1 — о) Г(и) для каждой вершины и из С. Так как дГ' = дГ, то лля каждой вершины и Е дС имеем Г„(и) = ггГ'(и)+ (1 — о)Г(и) = Г(и), т.е. дГ = дГ. Найдем длину сети Г . Имеем г(Г)= Е р(Г () — Г (и))= игее(С") р(с(г(.) — г~ )) -~ и — )(гГ'~ — г~.))) < ге К(С) < оь(Г') + (1 — а)ь'(Г) где Е(С) множество ребер графа С.
Таким образом. получаем Р(Г .) — ~(Г) . ог(Г ) + (1 — сг)Р(Г) — Р(Г) 1пп < 1пп „'.О+ о. ь — >О+ о Последнее неравенство противоречит слабой экстремальности сети Г. Утверждение доказано. ° Теорема 1.1. Погруженная сетпь локально минимальна тогда и только тпогда, когда, она является локо„льна экстремальной. Доказательство. Рассмотрим произвольную погруженную сеть Г: С вЂ” + рт~, Необходимость.
Пусть сеть 1 локально минимальна. 1 як как кратчайшая сеть является экстремальной, а локальная минимальность озна- част. что каждая локальная сеть является к1эатчайшсй, то она жс п экстремальна. Следовательно, сеть Г локально экстремальна. Доеттттлтпонность. Пусть сеть Г локально экстремальна, т.е. каждая локальная сеть экстрсмальна. Рассмотрим произвольную экстремальную локальную сеть Г~„„. 'Су„. — + К". Из определения локальной сети следует, что она является звездой, т.с. сетью с не более чем одной вершиной степени больше 1. Пусть Г,„: С„,ы -+ Кл кратчайшая вложенная сеть.
затягивакзшая дГ~„.. Тогда С,„„,„является деревом. Рассмотрим произвольное дерево С'„;„, удовлстворяющс~ следующим условиям: (1) дерево С'„„„слабо проецируется на дерево С„„„. (2) все граничные вершины в С';„имеют степень 1 (чтобы построить дерево С'„„„, достаточно расщепить все граничные вершины дерева С„„„). Рассмотрим новую сеть Г'„„„= Г;„о т~: С'„„„-+ К", где я: С'„„„— + С,„ слабая проекция.
Заметим. что 8(Г',л,;„) = 8(Г.„„„,). Из структуры дерева С~„, следует, что дерево С',лил может быть слабо спроецировано на С~„, (для этого нужно стянуть все внутренние ребра в точку, а затем, сслп все вершины дерева С~„являются граничными, то стянуть сшс одно ребро). Рассмотрим новую сеть Г~~„— — Г~„о л': С',„„„— т К". где л': С'„„„— + С~„. слабая проекция. Заметим, что ~(Г~ОС) = .(Гг„). Поскольку, по условию, дерево Г~„ экстремально. то дерево Г~~„, слабо экстремально.
Из утверждения 1.4 следует, что 1'(Г~~„,) = 1'(Г'„„„,). Таким ооразом, мы имеем Х(Г~„,) = Х(Г~„) = Х(Г„„„) = т(Г;„). Следовательно, сеть Г~„кратчайшая, т.е. сеть Г локально минимальная. Теорема доказана. ° Из этого утверждения вытекает теорема. Теорема 1.2. Каждая ~огруженния экстремильная сеть е нормироеан- ном пространстве (К", р) яеляется .локально минимальной. Замечание. Нс каждая погруженная локально минимальная сеть является экстремальной. Б дальнейшем будут рассмотрены примеры, показывающие это. Определение.
Сдбарадиенлпом выпуклой вниз функшпл Г: 77л." — ) К в точке х Е К" называется такой ковектор ~ Е Т,".(Я'.", что Е,-Су — х) ( Г(РХ) — Г(х) для всех д Е ((Р,'". Далее, если М С К"' выпуклая поверхность, и х Е .:")4 произвольная ее точка, то проходящая через х гиперплоскость П называется опорной плосносп)ью поверхност)л Л4 в точке х. если,Ч лежит в одном из замкнутых полупространств. ограниченных П. Нормаль к опорной гиперплоскости, направленную в то из ограниченных этой гиперплоскостью полупространств, внутренность которого нс пересекается с ЛР., назовем анеланей нормалью к поверхности АР в точке х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
