Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 7
Текст из файла (страница 7)
сеть с 2 нс более чем одной вершиной степени больше 1. и все вершины степени 1 являются граничными. Без ограничения общности будем предполагать, что вершина, имеющая степень больше 1, существует и находится в начале координат, и что степень внутренней вершины больше 2. Определение. Сеть-звезда Г с вершиной гс степени больше 1 называется стрвловиг)ной, сели существует прямая Е, проходящая через х, такая, что внутренности всех ребер сети Г лежат в одной и той жс открытой полуплоскости, ограниченной прямой Л. Напомним, что ~а1 обозначает наименьшее целое число, большее или равное а, а ~а~ = [а] наибольшее целое число, не превосходящее а.
Теорема 1.6. Сеть-звсзда, Г: С вЂ” ~ К~ с некоторой границей на Л-норлированной, плоскости (Й, р>,),является кратчайшей,, если и, только если степень вери>ины х не больша б и одноврвлвнно выполняются следующие условия: 1) угол лажду двуля, соседнили ребрами содержит по крайнгсй лере Я вЂ” 1 послег)оватсльнь>х, цг>лых сторон единичной, окружности Е; 2) для внутренней вершины степени 3 сеть Г нс является гтраловидной> и, крг>мс того, угол лсжду двуля соседними рабрали покрывается, некоторыми ~ —., ~ + 1 последовательными сторонами гдинич- 2Л ной окружности К; ,">) г)ля, внутренней вери>инь>, степени 4 углы рогзбиваются на две пары так, чтобы сулла углов в каждой паре равнялась —; ф вершины степени 5 и 6 граничные. Замечание.
На самом деле, для сетеи, не содержащих внутренних вершин степени 2, теоремы 1.5 и 1.6 равносильны. Действительно., для таких сетей условие 3) теоремы 1.5 является лишним, условие 1) теоремы 1.5 следует из определения сети-звезды, условия 2) теоремы 1.5 и 1) теоремы 1.6 равносильны. а условия 2), 3), 4) теоремы 1.6 .являн)тся просто переформулировкой условия 4) теоремы 1.5 в отдельности для каждой возможной степени внутренней вершины.
Пусть 1 и у~ произвольные смежные ребра сети Г, г = 1, 2. Будем говорить, пто пара (";~,",~) имеет погрешность Р', и будем писать Ы1("и, ~~) = 7с, если Лемма 1.1. Погресиность силтетрична, т.е. Ы1~"ц,";:~) = Ы1(ч~.,",и),. является целым числом и Ы1(-п, "~~) > — Л. Доказательство. Проверим только, что для произвольных смежных ребер;:,. г' = 1, 2. сети Г погрешность Ы1( и, у~) = А Е К.
Действительно. —,' — — '„"" = '— " для некоторого 7. Следовательно, Й = 2Л вЂ” 37. Лемма доказана. ° Приведем критерии локальнои минимальности. используя понятие погрешности. Этот критерий .является небольшой модификапией теоремы 1.5. 'Хеорема 1,7, Погруженная, линейная сеть Г; С вЂ” + К~, не содержалцая внутренних вершин степени 2, является локально иинииальной на Л- нормированной плоскости, где Л ~ 2, 3, 4, 6, если и только если одновреиенно выполняются следующие.
условия: 1) каждая вершина степени 1 граничная; 2) для любых дьух смежных ребер;; и;,. инцидентных внутренней вершине, выполняется неравенстьо ~ Ы1(у,;.,,:1)! < 3: 3) для, любых двух смеясныхребер у, и "П, инцидентных граничной вершине, выполняется неравенство Ы1(у;,;: ) < 3.
Рис. 1.3. Локально минимальная не экстремальная сеть на Л-нормирован- ной плоскости, где 2Л = 1(шос13) и Л > 5. По теореме 1.2, каждая экстремальная сеть на Л-нормированной плоскости является локально минимальной. Заметим. что обратное утвер- ждение неверно, т.е. не каждая локально минимальная погруженная сеть на Л-нормированной плоскости является экстремальной. На рис. 1.3 изображена локально минимальная сеть на Л-нормированной плоскости, где 2Л = 1(тос1 3) и Л > 5, все ребра которой точечны. с внутренними вершинами =3 и ~. где Ы1(ч~,",.з) = — 2 и Ы1(уз.",~) = — 2.
При этом сеть в целом не являетс.я экстремальнои. Допустим, что эта нить не .является монотонной кривой. Рассмотрим первое у такое. что;Ч, ..., уу не монотонный путь. Без ограничения обшности будем предполагать, что направления ребер,й,...,-уу 1 приходят на сторону [Ро, Р1] из 2Л-угольника К. Так как сеть экстремальна, то согласно теореме 1.5 имеется ровно две возможности: 1) или направление ребра ~у = [хб ху+1] приходит на сторону (Р1, Р2]; 2) или направление реора, я = [ху, ху+1] п1)иходит на сторону [Р2л — 1. РО). Рассмотрим первую возможность (вторая рассматривается аналогично). Пусть;, = [х,,х„+1], о < У. это первое ребро, направление которого приходит на сторону [Рс, Р1).
Рассмотрим линейную деформацию сети Г. при которой вершины х,+~,хя+2,...,х~ движутся со скоростьнэ ц = (сов( —, + — '„'),вп1( —,' + —,')), а остальные остаются на месте. По теореме 1.3, з (Г, ху) = (р..я~. (.уя, ху., О) + р,.я~, (;,л+1. ц. ту) +... ... + р,, (уу 1, ц, ту) + р.н (-уу, гу, О), ху) = = (рг,('уя.ц,0) +р,,(уу,т~,0),'у~ = — 21д < 0 лля любого Л, поэтому есть Г не является экстремальной. Это противо- речие завершает доказательство утверждения. ° Определение. Сеть Гу будем называть,лп сети Г, если она получена заменой всех нитеи сети Г на прямолинейные отрезки.
Из утверждения 2.1 получаем Утверждение 2.2. Погруженная сеть Г: С вЂ” ~ 22 является экстремальной сетью но Л-нормированной плоскости (К . рл) тогда и только тогда, когда все ее нити монотонныс кривые, и линеаризаиия Гу сети Г является, экстремальной сетью на Л-нормированной плоскостиь Из утверждения 2.2 следует., что для описания структуры экстремальных сетей достаточно ограничиться изучением сетей, которые не содержат нитей.
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что рассматриваемая сеть не содержит нитеи. 2.2. Разрезания сети, сохраняющие экстре- мальность 2.2.1. Разрезания по граничным вершинам Рассмотрим некоторую экстремальную сеть. Разрежем ее по любой граничной вершине степени больше 1. Ясно. что каждая пз сетей. полученных в результате этого разрезания.
экстремальна. Возникает вопрос: можно л1х сВести прОВсрку э?гетра«и?ьности се'.ти к экстрсмя.?ьностх? се- ТЕ«И, По>?У~ХЕ'ННЫХ ХХЗ НСЕ РЯЗРЕ",ЗЯНИС?М ПО НСКОТОРОИ ГРЯН11'1НОИ ВЕ>РШХХНС. Оказывается., что в общем случае это неверно, т.е. существуют нс экстремальные сети, при разрезании которых по граничной вершине степени больше 1 получаются экстремальные сети. Для дальнечхших рассужден«лй нам понадобятся следующие леммы. Лемма 2.1.
Пцст? ?« = а(г;овгр>В?пгр)> и > О, ироизвольнгля точки Л- нориирг>г>глин«>?л плоскости (К~, рл)> и нап1«глв>?ен««с вектора 1«приходит, СОВг,~-, — Х(? + 2)) ни полуинтервил ~Р;, Рг+?). Тоег«а рл® = а СО —." . ~л Лемма 2'2' О««схп?> е " (сов л(?' )'Вп! л(?' 2))' еде О < ? < 2Л ГОС 2> «Е К, ковек«««ор на Л-норлеире>ванной плоскости (««Х. > рл). Те>еда для любого век«поргл ««на Л-нг>рмх«рг>вг«лннг>««1 плг>скости сприведллгвг> следующее неравенство: (~> ц) + рл Я > О. Доказательство.
Без ограничения общности можно предположить., что ?, = О. ТОГда Г, = ~ „, (СО —,,"Л> — В11? —,,'Л). Пуетъ ?? = а(СОВ гр, В?П гр) И а > О. ооВ 2> 1) Если — т < гр <» — —, .то Ц. ««) > — и. Из леммы 2.1 вытекает, что рл(««) > и. Следовательно, в этом случае неравенство (~, ««)+рл(««) > О име«е".т ~~~~~. 2)Еслибы — — < - л,то(~ няя лемму 2.1, получаем, что в этом случае имеет место равен- Лемма доказана.
° сов(;р+ —., ) — а . СледоВательно, Е:ОВ," ство (~> ««) + рл(тр) = О. СОВ(«Р+ 2Л) ««) = и 2Л . Снова примеСОв.л сов(гр — †",',(Л вЂ” 1 + †.',)) рл® = а'' Е:г>Ь 2Л Доказательство. Рассмотрим два случая. 1) Если угол между хх1 и х12 нс больше 2, то рл® ) ))ц)) ) )(ц1)) р1 (1~1), где // !! евклидова норма. Следовательно, в этом случае неравенство РЛ® ) рХ,(ху1) имеет место. 2) Пусть угол между ц1 и хх2 равен:." + Д, и пусть Ы угол между хх2 В111 ~',~ и 16 Из леммы 2.1 вытекает, что р1(хх1) = !)у1)) = ))у)) сов —,,'л Если 0 ( хо ( 2 — 2л.
то рл® ) )(хП ) ))4 „— рл(х~1). 2Л Я1П У'.~ й< иу(~ 2+Б ™Р1Ю= 9!! -„=Р1(М. 2Л Справедливость неравенства рл(хх) ) р1(х11) в этом случае тоже доказана. Лемма доказана. И Лемма 2.4. Пусть хх1 = а(совр,яшр), а > О, — х < р < — (х'. + 1), 0 < х < 2Л вЂ” 1, ххроизеольный оейхххар на Л-нормированнохх плоскости (К2. Р1 ). Л ) 3.
Тогда для любага вектора х12 = 6(соя хр, яп1 хо), 6 ) О. такого, нта — +. < с. — — х <, +,, справедлива неравенсхххоо р1(ху1 — т~2) ) рл(ц1). Доказательство. Достаточно проверить неравенство рл(ах — хх2) > р1(ц1) для ненулевых векторов хх1 и 112. Без ограничения общности будем считать, что х = Л. Пусть хх2 — хх1 = с(сов,у. вш 1).
с > О, — 2 + 2", < 'о' (12:л) Л < —" .+ —,.'. Из леммы 2.1 следует., что рл(хх1) = — а, Ф Гл. сов т Гл Рассмотрим три случая в зависимости от расположения угла Л. 1) Пъсть — ( Л < + —. В этом стучае рл(х12 — х11) > где хх2 — 6 (соь(, + ),ьш(, + )) и 6 > 0 выорано хх2 — хх1 — — х (сов —",. вш — ",) для некоторого с' > О.
Р1(~Ь ~/1); так. чтобы 2) Пусть — —.", + —., < Л' < О. В этом случае рл(хХ2 — хХ1) ) где ху2 — — Ь'(сов( — —., + 2Л), вхп( — ~ + Гл)) и 6' ) 0 выбрано хх' — 111 = с'(1,0) для некоторого с' > О. Рл(хЬ вЂ” 91); так. чтобы Лемма 2.3. Пусть х1 Е К2 ххрххххзвальнал ненулевая хпонь;а, Л-ноххмхх,; равенной х1лосноеххт (К, р1), и хх = хх1+ 112, где направление венхх1ара 1у~ 2 приходит, в верхиину 2Л-угольнххна Е, а, угол между хх1 и 112 равен ф+ —.,' или не больхххе 2. Тогда спраоедлххоа следующее нераоенсхпоес рл(хх) > рл(хх1). 3) Пусть О < Л < л. В этом случае рл(л/2 — 1/1) > рл(1/2 — Ч1), где Чг — — 6'(сов(2 + —,,л), вш(2 + д)) и 6' Е К выбрано так, 1тобы Чг — Ч1 = с~(сов Л, ьш Л) для некоторого с~ > О.
Из леммы 2.1 во всех тРех слУчаЯх полУчаем, что Рл(Чг — 1/1) = Рл(Ч1/. Следовательно, неРавенство Рл(л/г — л/1) > Рл(л/~) имеет х1есто. Лемма доказана. ° Лемма 2.5. Пусть Ч1 = а(соя р,вша). и > О, л/г = 6(соил''. в1п 15), 6 > О, дви вектора ни Л-норлтровинной плоскости (К, рл) такие, нто Г, л., л л л. л л Л Л ' 2 2Л ' Л 2 2Л' 7 ~ (1Р~ ((1+1/, — ~ (1л — 7 ~ (+ ., Л)~ 4 (1) л л л, л, л Зл — (.'.+1) « - — ('+2). — — < 1.': — —: < — +, Л > 7. (2) Л Л ' 2 2Л ' Л 2 2Л' Тогда дан ковектори ~ =, (сов — '(1 — 2), в1п л(1 — —,)) справедллто нера- СО) 2~ венсп1во (4; Чг) + Рл(1/2) + РЛЬР1 — Ч2) > Рл(Ч1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
