Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Замечание. Можно определить более общее понятие сети, разрешив ребрам быть произвольными кривыми. Однако, при изучении экстремальных сетей в нормированных пространствах в этом нет необходимости. Действительно, если в экстремальной сети заменить вес ребра на прямолинейные отрезки, то полученная сеть также является экстремальной.

Определение. Ограничения отображения Г на вершины, ребра, границу, связный подграф параметризулощего графа, локальный граф называются соответственно ооршинати, реораии, раницой дГ, подсотьюс локальной сетью сети Г. Более того, в дальнейшем мы всегда будем пред- ПОЛаГатЬ, ЧтО ВСС СТРУКТУРЫ„ВОЗНИКслк2ШИС На ПаРсаМСТРИЗУК2ШСМ ГРафс. такие как инцидснтность, смежность, ориентация и т.д... переносятся на сети. Определение. Ребро ", сети Г называется оырожденным, если оно является отобралкснием в точку. Выроэк,денная компоненп1а соти Г это максимальная связная компонента 1лно2кества вырожденных ребер сети. Приоедсннатя компононяпа сети Г это или сс вырожденная компонента.

или вершина, которая нс принадлежит вырожденным компонентам. Определение. Линейная сеть Г называется поо12ужонной2,. если она нс содержит вырожденных ребер. Погруженную есть Г назовем ояоженной, если отображение Г взаимно однозначно с образом. Для простоты изложения мы часто будем отождествлять вложенную сеть с ес образоьл. 15 Определение. Пусть С топологпческий граф с границей дС, и С подграф графа С.

Граница дС графа С называется нндуинроьанной из гр<иср<х С, если она состоит из всех вершин графа С, принадлежащих дС, а также из тех вершин. которые в С и С имеют различные степени. Определение. Пусть Г: С -+ Е произвольная сеть, дГ: дС вЂ” х К ее граница. Сеть Г: С вЂ” + П',~ с границей дГ: дС вЂ” + яс~ называется подсетью сети Г. если Г = Г,, где С .является подграфом графа С, и с" его гранхсща дС индуцирована из С.

Если подсеть Г отлична от Г. то она называется собственной, подсетпью сетн Г. Определение. Две линейные погруженные сети Г.,: С; — + К". х = 1. 2, называются параллельными, если существует ориентапххя на какдом из параметризуюших графах С; такая, что полученные ориснтированныс графы изоморфны, причем Гпобразы соответствующих ребер сонаправлены в К". Замечание. Отыетим, что отношение параллельности является отношением эквивалентности. следовательно. погружснныс с<ети разбиваются на классы пара ьлельностхх. В дальнейшем на< будут интере< овать те свойства.

которые справедливы для всех сстсхх ххз класса пар'й|ясльностхх, т.е. которые сохраняются при псрсходс хс паряллсльнои сстхх, позтоыу иногда, для удооствв„мы будем замс'.нять проххзвольную ссгь на парал:хсльную ехх. Определение. Будем говорить, что 1-граничное ребро ", = ~х„д~ вложенной сети Г., где вершина х имеет степень 1, продолжается, на бесконечность, если луч, содержащий ребро;:, идущий из д в направление с, пересекает сеть Г только по ребру с Утверждение 1.1.

Для произвольного вложенного дерева, Г: С вЂ” ~ К" с 1-граничным рсбром "< существует параласльное ему вложенное дерево, у которого ребро, соотвстствующее -„продолжается на бескон<хчность. Доказательство. Пусть Г: С вЂ” ~ К" произвольное вложенное дерево. и предположим, что 1-граничное ребро -~ — — [т. у~ дерева Г, где св является граничной вершиной степени 1, не продолжается на бесконечность.

Ориентируем дерево Г произвольным образом. Без ограничения общности сбудем считать,что ребро -~ ориентировано от вершины х. Поскольку рассматриваемые сети имеют конечное число ребер, то будем последовательно строить дерево, параллельнос Г, у которого реоро., сонаправленное с "1. продолжается на оесконечность. Пусть 1 = [а~, 6~] произвольный ориентированный от вершины а~ отрезок длины 1. сонаправленный с ",. Выпустим из вершины 6~ отрезка 1 отрезки 1 = [6~, с ] длины 1/2, сонаправлснные с инпидснтными д ребрами. На следующем шаге берем произвольную вершину с и выпускаем из нее отрезки, сонаправленныс с соответствующими ребрами дерева Г. причем длины отрезков берем вдвое меньше. чем расстояние от точки с, до ближайшего уже построенного отрезка, и т.д. Очевидно, что так построенное дерево будет параллельно исходному дереву Г,и отрезок 1 будет продолжаться на бесконечность.

Утверждение доказано. ° Пусть Г: С -+ КЯ произвольная линейная сеть, и 1 = [О. 1] некоторый отрезок. Определение. Непрерывное отображение Ф: С х 1 — + КЯ такое, что для каждого рсора е из С отображение Ф является аффинным, и для всех сх1 д Е С имеет место равенство Ф(д,0) = Г(д), называется деформацией сети Г. Положим Ф(д,1) = Гг(д) и, в дальнейшем, будем называть деформацией само однопарамстричсскос семейство (Г~.

С вЂ” ~ й~). Всегда, если не оговорено противное, будем предполагать. что деформация неподвижна на границе. т.с. Ф(в,1) = Г(в) для любой вершины в Е дС и любого 1 Е [О., Ц. Рассмотрим теперь траекторию дви кения ка'кдой точки сети Г при деформации Гь Для этого фиксируем некоторую точку д Е С и рассмо- 1Г,(д) трнм кривую Гу(11). Вдоль Г оп1~~дслсно поле ', которое называаг с=0' ется полем дгформицви Гь Пусть Н произвольный подграф в топологическом графе С. Обозначим через С/,„,Н топологпчсскос пространство.

полученное из С отождествлением точек каждой связной компоненты графа Н. Пространство С/,„,,Н наделяется естественной структурой топологичсского графа. Граф С/„,,Н называется слабьи, фактор-графом графи С по подграфу Н. При этом каноническую проекцик) я: С вЂ” + С/„,Н будем называть слабой проекцией. Будем говорить. что граф С2 может быть слабо спроецировав на граф С~, если существует Н С С2. для которого С~ = Си/ ,.Н. Пусть Г;: С; -+ й", г' = 1., 2, произвольные линейные сети. Определение.

Будем говорить, что сеть Г2 может быть слабо спросццрооана нп, сеть Г~, если существует слабая проекция л". С~ -+ С~ такая, что Г~ =Г~ оя. 17 Пусть Г и Г' произвольные сети., причем Г' может быть слабо спроецирована на Г. Определение. Произвольную деформацию сети Г' назовем дефор,манией с расщеплением сети Г. При этом сеть Г' будем называть типо.м, такого расщепления. 1.2. Операции над сетями 1.2.1.

Разрезание сетей по вершинам и ребрам Определение. Пусть С прочлзвольный топологическийл граф. Из иельнением графа С ио реору ез = [а,6] этого графа называется граф С', полученный из С добавлением к мнолкеству вершин графа С некоторой внутренней точки с Е е» и заменой реора ев на два ребра [а, с] и [с, 6]. При этом в качестве границы графа С' возьмем границу графа С'. Из.иельчение графа это измельчении по некоторым наоорам его ребер. Измельчение графа С естественным образом порождает изиепънение сети Г: С вЂ” л ял.2. 1) Разрезания сетей по вершинам Определим операцию разрезания сстп Г: С вЂ” + ял'.Я по вершине х = 1Г: о — ~ К") степени больше 1.

Напомним, что топологический граф С получается из конечной совокупности отрезков 1„некоторойл склейкой по их концам. Пусть 11,..., 1~ все те отрезки, концы которых а; склеп;плсь в вершину и. Изменим отношение эквивалентности, задающую склейку концов отрезков 1„., перестав отождествлять некоторые точки а;. Будем говорить, что граф С', полученный в результате факторизации по так изхлененнспл эквивалентности, получается пз графа С разрезаниелл по вершине и. Разрезание. при котором отождествляются все концы а,;, за исключением ровно одного а,,назовсм 1-разрезанием.

Пусть о, вершины графа С'., полученные из вершины и, а к: С' — л С естественная проекция, состоящая в отождествлении вершин т', в одну вершину и. Обозначим через С„, связныс компоненты графа С'. Определим гранллцу дС графа С как множество тех вершин из С которые при отображении л проецируются или в граничные вершины графа С, ллли в и.

Кроме того, будем говорить, что сети Г„: С вЂ” + ял'." с границами дГ„,: дС,„— + К", Г„, = Г о л,, получены из сети Г т разрезанием но ееритне х. Рассмотрим 1-разрсзанис сети Г по вершине х, и пусть при этом вершина х распалась на вершины х' и и", причем степень вершины х' равна 1. Пусть Га та из полученных связных компонент, которая содержит вершину х". Сеть Г" назовем максимальной компонентой 1-рс|зрезання,.

Отметим, что в силу неединственности операции 1-разрезания, а также возможности 1-разрезать вершин~ степени 2, у данной сети моакет сушествовать несколько максимальных компонент 1-разрезаний. 2) Разрезание сетей по ребрам Определим операцию разрезания сети Г: С вЂ” + К"' по ребру "~: 1Г: ед — + К") = [х|, ха], где ед = [н~. на] ребро графа С и,|:; 1Г: в; -+ К"), г = 1, 2. Измельчим сеть Г по;: и разрежем по добавлснной вершине.

Характеристики

Список файлов диссертации