Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Доказательство. Достаточно проверить неравенство (~ Чг) + Рл('Ч2) + Рл('Ч1 Ч2) > Рл(Ч1/ для ненулевых векторов Ч1 и Чг. Без ограничения общности будем считать. что 1 = Л. Пусть 1/2 — Ч1 — — с(сов 1, епп Л), где с > О и — —.' —," < Л <— 2 2Л: Л при ограничениях (1) из настоящей леммы, — —" .— —,' < л < — ' при огра- 2 2Л Л ничениях (2). Положим,З = д — т для ограничений (1) и // = д — (л + — "') : в(3 —,л) для (2).
Из леммы 2.1 вытекает, что рл(1/1) = а сов —.,' Рассмотрим четыре случая в зависимости от расположения угла Лл 1) ПУсть — —, — . < 1 < —.. РассмотРим л/г — — 6 (сов(. —, ).в1п(", — )), где 6 ~ )О выбрано так, '1тооы 1/2 — 171 = с (соя;~,. ьп1Л') для некоторого с' > О. Имеем (~, х/2) + Рл(Ч2) + Рл(Ц2 Ч1) = <4; Ч'г) + (4; Ч2 — л/г) + Рл(Чг) + Рл(Чг — 1/1) + Рл(Ч2 — 'Ч2) = = (~, Ч2 — Чг) + Рл(Ч2) + Рл(1/г — Ч1) + Рл(Ч2 — Чг) > Рл(Ч2) + Рл(Чг — 1/1) (последнее неравенство следует пз леммы 2.2). Далее, ))ху!~ — хил)! > ))Ч2 — хух)! и ))Ч~)) > ))ху!~'))«где ху!~' — — 6" (соя('~"— ), ьпл( . — .
)) и 6 > О вьло1хано гак. ~лтобьл Чя — хух с (соь —, — ьш —,) для некоторого с > О. При ограничениях (1) леммы получаем Рл(хуя) + Рл(хуя хул) !!Ч~!! + !!хуя хух!! > 11П->1!к«' — 111 = ( («х-'- )->: Ях-> )~ >,. > х'«Ю 2Л ' 2Л ~ сов 2', При ограничениях (2) получаем Рл(хуя) + Р««(ху2 хух) ~ 3))хуя ) + ))ху2 'хул )) ~) Зхх «Зхх ~ а > ))ху2)) + ))ху2Я вЂ” ху~)( = а/ я1лл(,;3+ ) + соя(УУ+ ) у > „> рл(ху~) 2Л ' 2Л соя —."', при Л> 7. Следоват«хльно, неравенство ( >) В про«дпол02кенллях случая 1) имеет место 2) Пусть — 2л ~ .Х ( О. Рассмотрим ху~ — — 6'(соя( 2" — 2л)«вш("2' — 2л)); л'де 6' > О выбрано так, чтобы ху!~ — хух — — с'(сов Л, яш Л) для некоторого с' > О.
Имеем (С.'худ) + ухл(хЫ + Рл(ху2 худ = = (С«Ч2) + (~; хУя — хУД) + Рх(ЧЙ + Рл(Чх, — Чл) + Рл(Чя — %) = = (4; Ч2 Чу2) + РА(хуя) + РА(Ч~ Чул) + РА(Чя худ) ~ ~Рл(Ч2) + Рл(хуя хул) (последнее неравенство следует пз леммы 2.2). сов(у3+ .' ) Из леммы 2.1 вытекает, что Рл(Ч!~ — Чх) = а ' Я~ при огра- яЛ соя(,3+ ~~') ничениях (1) леммы и Рх,(Ч~ — Чл) = а ' Я~ при ограничениях сов .~ (2) Далее, )(ху~)) > ))ху~)(, где хД = 6" (соя ',х «яш ф и 6" > О выбрано так, чтобы ху!!~' — ху~ — — с" (1, О) для некоторого с" > О. При ограничениях (1) леммы получаем рл(Ч2) + Рл(712 717) ~ )//Ч2~~ + Рл(712 717) )~ сов(~3 +,Л) Л > ))71г)1+ Рл(Ч2 — 71~) = а(я7пд+ ) 2Л УГ = рл(711) + и ьш,З(1 — 2 С ' ) > рл(711) 2Л прп Л> 4.
П1зи ограничениях (2) получаем РЛ(Ч2) + РЛ(Ч2 Ч1) ~ 3~~Ч2|~ + РЛ(Ч2 Ч1) ~3 7' ., 77 соа(,3+ ~~) Л > и, и+Р (Чг Ч,) и~,,„(17+ ) + " гл ~ Л сов —,"' гл т~ . я .. я =ай-';~(иш(з;- — 1 — 4 '» ~ш(д-'; 1~ > ь(~и Л 2Л ' 2Л / при Л> 7. Следовательно, неравенство (э) в предпологкениях случая 2) имеет место. 3) Пусть О < Л < — '. Рассмотрим Чг — — 17'(соя Ю', яш 0')., где 71" = — ',„" + —," для ограничений (1) леммы и С" = '~",' + —:" для ограничений (2), и 17' > О выбрано так, чтобы Ч2~ — Ч7 = с~(соя Л.
яшЛ) для некоторого с)О. Дл.я ограничений (1) имеем (4 71г) +! л(Ч2) + Рл(712 711) = = (4; 71г) + Рл(Ч2) + рл(712 — 717) — Ггл(712 — Ч2) > (4> Ч2) + Рл(Ч2) РЛ~Л2 — Ч2) + Рл(Ч7) (последнее неравенство следует па леммы 2.4). Осталось проведзить не1)авенство (~, 712) + РЛ(712) РЛ('71г — 712) ~ 3О. '""(": — Ь) Из леммы 2.1 вытекает, что рл(Ч2 — Ч2) = — 6 ' 2л и рл(Ч2) ) 6.
'"' гл Таким образом, получаем (~ Чг) + Ггл('7121 Рл(712 Ч2) ~Э 7Г '~ ,Г,, 7Г 2Л прпЛ>1. /, соя(.2л — «') ПосколькУ Рл(272 — Ч1) = Рл(ЛУл) ~~ > Рл(Ч~), то ДЯЯ огРаниче- (К вЂ” Л.) ний (2) имеем (С Ч2) + Рл(Ч2) + Рл(Ч2 271) = (~' л72) + Рл(Ч2) + Рл(Ч2 Ч1) Рл(л72 Ч2) ~3 3 (С. Ч2) + Рл(272) + Рл(лу!) Рл(л72 Ч2).
Осталось проверить неравенство (~, лу2) + рл(лу2) — Рл(Ч~ — Ч2) > О. Из леммы 2.1 вытекает, что сов(с» — 21) соя(д — Л) соя(ю ~ ) сов,".л соя( —" — Л) соа — ,'„'"' Рл(л72) > 6. Халсллхл ооравом, пояу~лаехл / соь(Ф'' +,2л) (С: Чв) + Рл(Ч2) — />л(лу2 — Ч2) 3 — 6 + соя .~ 2Л 2л. 2Л приЛ>8. ПриЛ вЂ” ~ пол«чаехл, что рл(л72) — — 6 . если . —, < с <, +, сов — ' 2Л ялп(~д — — ') и Рл(Ч72) = — 6, если — '' + —,' < С < — '.' + Я. Аналогично 2Л проверяется справедливость неравенства (~, лу2)+Рл(272) — Рл(лу2 — Ч2) > ОиприЛ=7. Следовательно, неравенство (э) в предположениях случая 3) имеет место.
4) Пусть — < л < 2л (это может иметь место только при ограничениях (2)). Рассмотрим лу2 — — 6'(соя( 2 + 2л), ялп( 2' + ~л)), где 6' > О выбрано так. лтооы Ч2 — л71 — — с(сояЛ~,ып л) дня некоторого с > О. И'меем (~, лу2) + Рл(ф) + Рл(172 — Ч1) = = (4: л72) + Рл(Ч2) + Рл(л72 '71) — Рл(лу~ Ч2) > > (С, Ч2) + Рл(л72) + Рл(Ч1 ) — Рл К вЂ” Чв) (последнее неравенство следует пз леммы 2.4). Осталось проверить неравенство (4о |у2) + рЛ(»у2) — рЛ(|у2 — »у2) > О. соя(Ы вЂ” ~" ) Из леммы 2.1 вытекает, что рл(т~', — |у2) = — У» 2л и рл(|у2) > У».
СОЯ 2Л Имеем (С: У ) + РЛ(У ) — РЛ( У2 — Ч ) > '( ' + 2Л) соя(й — ,') . л- > — У» ' " +У»+У» ал > У»(1 — 4я|п, ) > О сов —. 2Л соь —, 2Л 2Л при Л> 7. Следовательно, неравенство (, ) в предположениях случая 4) имеет место. Лемма доказана. ° Утверждение 2.3. Пуустпь Г: ('.' -+ К2 произвольное погрууженнос локально минимальное деРсво на Л-ноУ»миРованной плоскости, (К~о Рл). и 2 его граничная вертина степени», 2, иниидентнаая ребрам уб г', = 1о 2, л» 2Л вЂ” 1 такая,, ято,а(к(рс~,к(О|С( > (( ( -р о).
Тосоа »ароса р окстра- Л 3 мр»л(онс»я если и и|олька если аисту»емр»льняа| все поддеревья в Г, полууа(ен; н|яе пз Г всеми возможн|ями разрезаниями по;:. Доказательство. Необходимость следует из утверждения 1.3. Достаточность. Для граничной вершины степени 2 существует всего одно разрезание. которое также является и 1-разрезанием. Обозначим ЧЕРЕЗ Г;: С; — + (Я.2, (', = 1о 2, МаКСИМаЛЬНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ЭТОГО раЗрЕЗаНИя, и предположим. что вершина = = 1Г: с — + К 1 распалась на две вершины =' = (Г(.
~' — + К у и '" = (Г2. и" -+ К ) степени 1. Х1ы докажем. что сеть Г экст1»емозльна в пРедположениио что каждая мсаксимй~ьнсаЯ компонента Г,; экстремальна. Пусть сети Г;: С; -+ К2 экстремальны. Экстремальность сетей Г; равносильна условию, что каждьп| базовый тип расщепления Г»: С» — + й~ сети Г, .является слабо экстремальной сетью, последнее. по теореме 1.3о эквивалентно Условию з (Г',;,|УУ) > О длЯ какдой дефоРмапии гУ»: 1~с, — + К . Из теоремы 1.4 следует.
что для доказательства экстремальности сети Г достаточно рассмотреть все ее базовые типы расщепления Г': С» — + К н доказать их слабую экстремальностьо т.е. проверить нера- 2 венство З (Г»о ру») > О для каждой деформации |у»: 1',-,, — + К2. Любой базовый тип расщепления Г' сети Г получается из некоторых базовых типов расщепления Г'; сетей Г; путем отождествления двух граничных вершин г и 1) в одну граничную вершину в и затем расщепления этой вершины.
Эта вершина дает новую вырожденную компоненту«образ которой при отображении Г» совпадает с и которая представляет собой ребро и1и2«причем вершина и1 граничная, а вершина и2 внутренняя. При этом,.!» — — !1 о тс» = ~Г»: [и2, ()1] — + К~) и ')2~ = 'у2 о л» = 1Г»: [и2«г2~ — + К~~ невырожденные ребра сети Г», где Уг~: С вЂ” + Сг слабая проекЦ11Я.
Пусть Г» произвольный базовый тип расщепления сети Г. Тогда имеем р (р««««««) = 1. Г(Г), ««) ~- < 1; р„,(о«„ц«(««о), о«(«„,Д«Я««г)) ~- 1=1 «««=1 + 2 ~ '~ Рот «)т' 11 ',~вт»; 1р '««»2»р«Роп««)«««««1! '«! т»; ) о «««(1»т» р«+ Р) ) )! «П2)) ' «««=1 2 Неравенство ~„з (Г.;, »1) ) О верно., так как сети Г; являются экстремальными. Осталось доказать справедливость неравенства «<р, (7',о~(«' ),о«(««о)) — р,,.(7«„,«««(««)«,о),«««(«' )) ~- т=! ~< «р> (о~„,цо («««), Ч«(«)), ц«(«««)) ~-р«(ц«(««о)) > О. т,=1 ИспользУЯ Р«ъвенство Ро,(У,' .
Ц'(1(2), !У»(1»т)) = — Ро (.У„',. Ц'(г,„) «!У'(и2))», запишем последнее неравенство в следующем виде: Е <р„„,(«:.',.О'(,о), г«( о)) — ро,.(О~, О'( „,),.О).О'(г ) — О'(«««)) р т=! р< — Е ро ("4 О'(" ) О):О'( «))+ р«(Ч«(««о)) > О т=1 Первая сумма последнего неравенства больше или равна нулю всегда, а неравенство < — ~ р„. («'„„«~«(...) «о), о («,)) р р«(п«(>«)) > о т=1 л.р 2Л вЂ” 1 «« «.В(о(-о):о(" )) > — <( );-р) у .«ж ° р « . ° з Рассувкденияа англлогичные П1тиВеденным В доказательстВе утВер1кдения 2.3а влекут Следствие 2.1.
Пусть Г: С вЂ” + К2 произвольное погруженное локально минимилл ное дерево ни Л-нормированной плоскости ())"",2, рл)а и = его граничная вериаина степени 2, инци)ентная точечным ребрам ~;;а яг 2Л вЂ” 1 К = 1а 2, такал. кто я(щ~а),щ~а)) = — ~Ц )о1). Лродаа оклик, ато Л 3 одно из ребер "); являенпея 1-граничным. Тогда дерево Г эксп1ремильно, если и только если экстремальны все поддереоь,я, о Га полученные из Г всеми возможнаымч разрезаниями по =.. Утверждение 2.4. Пусть Г: С вЂ” + 22 произвольное погруженное ло- КаЛЬНО МиииМая)>НОВ доем)ЕВО На Л-НО1)МиРОВВННОй ПЛОСКОСти (Й,РА)а и 2 его граничная вер1иина степени 3. Тогда дерево Г экстремальноа если и, только если экстремальны осе поддеревья о Г, полученные из Г всеми возможными ризрезиннями по я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
