Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 10
Текст из файла (страница 10)
— 1а+ а для [2] прп г у~ О и 7(7 — а (= (~ —, ~. ); —,7+ . +, — ((. для ~3~ при 1 ~ О. Хопда ~)л(Ц (и2)) ~ )ЩЩ)~ (и2) ЩЩ; ЯП1 ~ Рл(717(О2)) = ЩЩЦ7(7(2) ' для (2) п1)и 7' = О и для (3) п17и 2' = 2; 2Л рл(1у1(и2)) = ЩЩ ц7(п2) ЩЩ яш Л для (2~ при 1 ~ О и для (3~ при х = 17 3: в)т)(»л Л) < — Р,ь<~,д('),О),~1(«,))> — ((~'(:)(( Д. ()) ° ~» ~О. сов —,,'л < — — — ( 2л 'с) — р ("(1.6»(и)),О):т7(и~)) > — [[9»(и2)~~ ' для [2] при г = О и ! сов —,' ' 2л для [3] прп г ф О. В результате получасм.,что неравенство (2.3) выполняется для г = О, 1 прп любых Л > 5.
для т = 2 прп любых Л > 7 и для г = 3 прп лк)бых Л > 9. Следовательно. неравенство (,') в предположениях пункта 6) имеет место. Утверждение доказано. ° 2.2.2. Разрезания по ребрам Рассмотрим некоторую экстремальную сеть. Разрежем се по любому ребру. Ясно, что каждая пз сетей, полученных в результате этого разрезания, экстрсмальна. Возникает следующий вопрос: можно ли свести проверку экстрс".мальности сети к экстремальности сетей, полученных из нсе разрезанием по некоторому ребру. Оказывается, что в обшсм слу- чае это неверно, т.с. сушсствуют нсэкстрсьмальныс сети, прп разрезании которых по некоторому ребру получан)тс)я экстремальные сети.
Утверждение 2.5. Пустпь Г: С вЂ” э ))с' произвольное погруженное локально минимальное дерево на Л-нормироаинной плоскостпи. и ",: 1Г: [и(. (с2] — э %~1 произвольное неточечное ребро из Г. Дерево Г знсттр)елс~льно тт)огди и тпольнс) тпогди) нс)гдо, сэнстт)т)висли) и) ) т)од~)е1)ес)).я с) Г., полученные из Г рссзт»езссние»(с по ребру ",:. Доказательство. Обозначим через Г;: С; -+ К~, с = 1, 2, поддеревья в Г. полученные в результате разрезания Г по ребру -(. Пусть и) и )»» граничные вершины грас~)ов Сгь полученные втз внутренней 'гочки и реора [и() и»] в результате разрезания по ней. Докажем, что сеть Г экстрсмальна в предположении. что каждая сеть Г; (экстрсмальна. Пусть сети Г; экстрсмальны.
Экс)трс)м)льность сетей Г; равносильна условик). что для каждого базового типа расшсплсния Г»: С»; — + К2 сети Г; выполнено неравенство з (Г») ц») > О для .побой дсформап)пт )) . ') -, — + К . Для доьазательс.тва .экс.тремальнос,тп с.етп Г дос.таточно рассмотреть все ее базовые типы расщепления Г»: С» — + К и проверить для каждого пз них выполнение неравенства г, (Г'. ц») > О для любой дсфорълашпл т)': 1 си — + Й . Любой базовый тип расщепления Г' сети Г получается из некоторых базовых типов расщепления Г» сетей Г; путем отождествления двух граничных вершин ис и и2 графов С; в одну граничную вершину и заменой получившейся граничной вершины на внутреннк»ю точку и реора [и(, и2].
Получаем з (Г'. о') = 2 з (Г',, о') + -,-(р„,(;, р'(я,), р'(.,)) -р„,(;. р'(«,),О), р'(а,))-~ ~-(~„,(~, д („,), „'(„4 - р„(;,,р'(«,), о), р'(«,ф Поскольку ребро 1 неточечно, то з (Г». о») — ~ з (Г . о») > О. Ътвед>жде- 7' нис доказано. ° Определение. Пусть Г: С вЂ” + К произвольная погруженная сеть на Л-нормированной плоскости. Максимальный путь в Г, все внутренние вершины которого являются в Г граничными вершинами степени 2 и инцилентны в Г точечным ребрам у;, г' = 1, 2, таким, что а(Н(";(). Н(";2)) = я» 2Л вЂ” 1 -(Г Л 3 Определение. Пусть Г: С -+ ((('. произвольная погруженная сеть на 2 Л-нормированнои плоскости.
Ооьединенис максимального пути '» в Г., все внутренние вершины которого являются в Г внутренними вершинами степени 3 и инцидентны в Г точечным реорам "(:,, г' = 1, 2, 3, таким. 2л что о:(Н("; ).Н(";у,,)1 =, » ~ й. и всех ребер. инцидснтных внутренним вершинам этого пути, назовем риси(ирвиной нитью, 'Р путем этой расширенной нити, а ребра расширенной нити, не принадлежащие»-, дополнительными, ребрами нити. Определение. Граничную нить сети Г назовем ь»оииеоой, если одно из концевых ребер этой нити является 1-граничным в сети Г. Концевое ребро концевой нити называется ребром крепления, сели оно нс является 1-граничным. Определение.
Расширенную нить сети Г назовем кониеоой. если внутренняя вершина пути нити. инцидснтная его концевому ребру., является вершиной усов в сети Г, а дополнитсльныс ребра нити являются 1-граничными. Концевое ребро пути концевой нити называется ребро,м яреплсния, если оно не инцидентно вершине усов.
Используя следствие 2.1 и структуру локально минимальных деревьев, получаем Утверждение 2.6. Пдсть Г: С -+ «««.2 произвольное погрдэ«сенное локально минимальное дерево ни Л-нормировинной х,лоскосп«и, и ", ребро кр««плиния некоторой концевой нит«и из Г. Дерево Г экстремально тогда и только тогда, когда экстремально поддерево в Г, .полл«ионное из Г оп«резанием по ребру ",: эп«ой концевой н««п«««с 2.2.3.
Вершины, инцидентные неточечному 1-граничному ребру Пусть Г: С вЂ” + К произвольное погруженное локально минимальное 2 дерево на Л-нормированной плоскости, и я его внутренняя вершина степени 3, инцидентная двум точечным и одному неточечному 1-граничному ребру. Утверждение 2.7. Дерево Г экстремально,. если и только если экстремальны максимальные поддеревья в Г, д котпорь«х, вершина - инцидентни до дм 1-грининнььм ребрам.
Доказательство. Пусть вершина =. = 1Г: и -+ 221 инцидентна ребрам ",:;; = 1Г: [и. и;~ — + К~), .«' = 1, 2, 3. и 1«является нсточечным 1-граничным ребром. Пусть Г,.: С. -+ К2. у = 1, 2. экстремальные подсети сети Г, у которых вершина я инцидентна двум 1-граничным ребрам. Без ограничения общности предположим, что в сети Г! 1-граничными .являются уэебэра ""'«и ",2., а в сети Г2,'2 и нь Декан ю!. '«То сеть Г экстре!««альна. Пусть Г': С' -+ Й произвольньш базовый тип расщепления сети Г.
Обозначим базовые типы расшепления сетей Г,, которые являются подсетями сети Г'. через Г'.: С' — + 22. По предположению„сети Г, экстремальны. поэтому сети Г,' слабо экстремальны, т.е. выполнены неравенства з (Г', «уу) > О для любых деформаций «уу: 1«« — + !««.2. Зкстремальность « Г равносильна слабой экстремальности Г', т.е. выполнению неравенства з (Г', «у) > О для любой деформации !у: 1 си — + й~. Рассмот1«им п1пэизвольнУкэ Дефо1«манию «У: А с« — + К2. ПУсть напРавления ребер ",ц и ",з приходят в вершины у«ь и у!«из Е соответственно.
и пусть «у(««) = «у'(«э) + «у-'(«э), где «у (и) = «««(соя — у;, в«п — "ус) и «у (««) = а (сов:"у, вп! — 'у), а' Е «Я.. Определим отображение «уу: Т'«» — + К~, положив «у (дС ) = О, ч у «уу(««) = «у(и) для любой вершины п, Е 1'«« ~ 1и), «у (и) = «уэ(«э). Используя равенства р,( у«, «у(«!). «у(и!)) ри( «! «уэ(и).
«у2(«!)) и р„,( нь «у(«э). «у(из)) р, (",,з, «у! (и), «у! (из)), получаем з (Г', «у) = Е,' з (Г', «уэ у > О. Утверждение доказано. ° 2.2.4. Вершины, инцидентные точечным ребрам Пусть Г произвольное погруженное локально минимальное дерево на Л-нормированной плоскости, .и его внутренняя вершина.
инцидентная точечным ребрам. Утверждение 2.8. Дерево Г экст««ремально, если и только если экстремальны все максимальные, поддеревья в Г, д которьи:, по крайней мере, одно из ребер, инцидентных вертиине у .является 1-граничным. Доказательство. Пусть вершина я = 1Г: и — + 2~1 инцидентна точечным ребрам "«« = 1Г: (и, «««„.~ -+ К~)., направления которых приходят в вершины р;„из К., и пусть Г~,. С«, — т К максимальные поддеревья в Г, ~ которых 1эебро ",«, является 1-граничным, 1- = 1, 2.
3. Докажем экст1)емальность дерева Г в предположении, что каакдое дерево Г«э««:— тремально. Пусть Г': С' -+ Б'.Я произвольный базовый тип расщепления сети Г. Обозначим базовые типы расщеплений сетей Г«, которьн являются подсетями сети Г, через Г««,. С~~, — + К~. По предположенин~. сети Г«экстремальны, поэтому выполнены неравенства «(Г~~,,«у«,,) > О для любых деформаций ту«,. 1'«. — + Й'.
Экстремальность сети Г равносильна выполнению неравенства з (Г', «у) > О для любой деформации «у: 1'«« — + К2. Проверим выполнение последнего неравенства. Рассмотрим произвольную деформажпо ту: Ъ'«; — + К~. Прямые, содержащие инцидентные я реора, разоивают плоскость К на 6 настен. Пусть ту(п) ле кит в секторе, образованном лучами с направлениями (сов — '«„, Яп — ', «„) и (сов — ' 'т«л, Яп — '«л). и пУсть д Угол межД1 «У(п) и (- -' ° %. Представим туУ,«,,1 в виде «у'(«:)+ту" (и), где ту'(««) = а(сов — ",«„, яп — ",«„,1.
о > О, и «у" (и) = — У«(сов — 'г«, яп — "гд), У«> О. Определим отображения ту„: 1 ~; — + К~, «уд . 1~~;~ — + К~, положив «у, (дС~я) — О, «у„(дС~,) — О. 1) «ур(и) = ту(п) для любой вершины и Е Ъ«; ~ 1';,, вш(ст, + р) яп ад яп «т„яш(о. — о) для любой вершины и' Е 1'с«Л 1'с-, и ту, (и) = ту'(п); 2) ту~(п) = ту(п) для любой вершины и Е Ъ«л ~ Т'~л.
яп тяп «т„ «у,,(то) = .. ту(то) яп а, втп(а,, — э) для любой вершины и~ Е 1'~, ~1'с, и о~(о) = ху" (и), где г ~ р, г ~ а, и оу угол между ребрами ",:,,, и -~„., 7 ~ т, и. Заметим, что для любой вершины ю Е Ъ'д ~ Ъ'с,» — — Ъ~-. ~ Ъ'~-. имеет место равенство ц„(и,) + ту„((г) = ц(а'). Используя равенства р, (":„, ц" Я), ц(и„)) = р,, ( у,, ку(а). т~(т„)).
. С-.,'(и)'(,)) =»,С-„()'(,М ' Х. (Ъ Ч'(а): Ъ('4 = р. (Ъ: ~(в): Ч( '4. р,,(у, ту" (с), ц,,((,„.)) = р,(у, ту(а),ц(о,.)), получаем з (Г', ц) = з (Г',хр„) + з (Г'„, у,) > О. Утвер кдение доказано. ° 2.3. Существенные представители локально минимального дерева Рассмотрим Л-нормированную плоскость (К~, рл), где 2Л = х(п1ос1 3). Определение. Погруженная сеть на Л-нормированной плоскости. не являюшаяся звездой, называется существенной, если она является дере- вом и одновременно удовлетворяет следук)шим условиям: 1) для любых двух смежных ребер ",:; и "„выполняются неравенства причем, в случае когда -„и у инцндентны граничной вершине и ж = О, выполняется неравенство ,З(Н(-н), Н(~,)) < (в частности, все вершины сети имеют степени не выше 3): 2) все вершины степени 1 и 2 граничные, а степени 3 внутренние: 3) каждое неточечное ребро является 1-граничным, в частности, все не 1-граничные ребра точечные; 4) каждая вершина степени 3, инцидентная двум не 1-граничным ребрам, инцидентна точечному 1-граничному ребру, в частности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
