Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если 'Р внутренняя вершина для Г (в этом случае Г изолированные усы), то расширение совпадает с сетью Г. Если же Р граничная вершина для Г (в этом случае 'Р вершина 7.-усов, где 7 > 2), то концевое расширение получается из 'Р добавлением любой пары ребер из усов. инцидентных 'Р. Если для отмеченного пути выполнить одновременно концевое и внутреннее расширение, то про результи1эунэщунэ сеть будем говорить, что она получена концевььи внутренним рисиэирением отмеченного пути. Утверждение 2.11. Киждьил отмеченньис путь в Г,является внутрен; не пиэчечньм, и для, него суицествует не более чепэырех тонцевьи; рсэсияи; рений в сети Г. Теорема 2.3. Если сеть Г; отлична от ребра, та множество А, совпадает с множеством всех концевых внутренних раситрений всех отмеченных путей в Г;.
Пример. Рассмотрим локально миним гльнос вложенное дерево Г: С вЂ” э К~ на Л-нормированной плоскости, 2Л = 1 (шос1 3) и Л > 8, изображенное на рис. 2.2. Ребра;э ~, "д7. -у~7. ":о1 и ":яо являются неточечными, а остальные все 1эео1эа тОчечные. Ве1эшины я~о, л~ ~, Я~в. э;, '2о, Язв, оо и,"'зо являнэтся внутренними. остальные граничными. Погрешности между смежными ребрами следующие: Ы1(",э.-,'о) = 1а11(;.',,",о) = 1а11(",о,".'7) = 1а11( эо.'у8) = Ы1(,'о:7о) = 1а11Ь; цо) = 1а11(;о.7ы) = 1а11( то;7п) Ы1( чо. по) = Ы1("ш,-й2) = Ы1(;12;";тз) = ~а11(.по,7и) = 1а11(Ъз;-,то) = 1а11("по.-йт) = 1а11(-йт.",цв) = Ы1(",тв.,";эпэ) = 1а11(;эпэ,-по) = 1а11(-по:",оп) = Ы1(,25, "~26) = 1а11("~25, сЗп) = 1а11('126..в1) = Ы1(,26, "!27) = ™1("126,,'28) Х41 140 х 40 у 39 ХЗ9 У х З8 зб Х18 Х19 узз У!8 У1„ Е1б ~~7 137 11б Х17 120 Х2О ХЗ8 155 141 у Х50 Х21 42 ухз Е24 11о 111 21 122 Х .
Х.12 Х22 Х23 12 хзз УЗ4 узз ХЗЗ ХЗ4 УЗ2 ХЗ2 Х8 У2 Е7 727 Е28 31 2б 125 2б Х2 "Ь Х29ХЗО Х25 у зо х, Хо !8 хз уб 9 '1' 13 Х4 У~ ХЗ Е2 72 ХЗ1 Еэз Х13 У14 У1З г Е14 1а11( '27; 128) 1а11( 728' г29) Ы1(728; 30) 1а11( '31. 7252) эа11(7:51' 133) 1а11( 32; 5".56) 1а11( ~':52; /35) 1а11( !32; 34) 1011( 36 137) 1а11( 1;56 °,'37) 1, 1а11( 2, „) Ы1(1,,;,) 1а11(-,э,;6) Ы1(,,) 1а11(710,,113) = 1а11(113 э14) = Ы1(у22;";23) = 1а11(";23,-124) = Ы1(124;"128) = 1а11( !29. 530) 1а11( 733. 534) 1а11( 138. 536) -, 11111( Й яэ) 1а11( 121.
522) Ы1( э36 138) = Ы1(737, "155) = 5; Ы1(139. 740) = 3 л. Раз1зежех1 де1эево Г по вершинам 26. 222, 257. 238, 240 и по 1эеб1эам -517, 53~. В результате получается набор сетей Г.;, ! = 1....,8, см. рпс. 2.3. Обозначим через У; множество отмеченных вершин сети Г;, 1' = 1.....6. Легко видеть, что (32:-" Э ~265; "7. 211:, 213; '!77. '2:5; 26. 227; '255 7; 1'":52; 233~ 236); 1'-395 . Для каждой сети Г, рассматриваем множество отмеченных путей и все концевые внутренние расширения их. На рис.
2.4 изображено множество 07! . Сеть Г2 является граничной нитью, четыре сети Г5. Г22, Г11 и Г~4 из множества яя содержат концевые нити. На рпс. 2.5 приведены сети Г~., .э ! Рис. 2.2. Локально минимальное дерево на Л-нормированной плоскости. где 2Л = 1(тос13) и Л > 8. ~41 ~40 1 Г 2 44а Рис.
2.3. Соти. полученные разрезанием дерева Г по вершинам -;, ~22. -2;, 238. ~40 И ПО РСОраЪ| ','17. 011. Г2, Г4 и Г4, получаюшисся из сетей Г1. Г4 и Г1 соответственно отрезанием 2 1 2 1 2 концовых нитей. Множество ял получается из множества 011 исключенном сстей Г1, Г2~, Г2, Г4~, Гв, Г;. Г8 и замсной сети Г4~ на ссть Г11, см. рис. 2.5. Рис. 2.5. Рсзультат отрсзания нптсй от сстсй Г1, Г~~., Г~~ и Г~~ Глава 3. Допустимые деформации В предыдущей главе мы выделили класс сетей, экстремальность которых достаточно проверить.
чтобы сказать является ли данное дерево экстремальным. В данной главе мы опишем деформации, которые доста- точно рассмотреть для проверки экстремальности существенной сети. 3.1. СйЕДЕНИЕ Л~)боИ ДЕфорМЗЦИИ Х ДОПУС ~ИМОИ Рассмотрим произвольную существенную сеть Г: С -+ КЯ на Л-нормированной плоскости. Из определения существенной сети следует, что сеть Г имеет всего один базовый тип расщепления Г'.
С' — + К~. Пусть 1Г: и, — + К 1 произвольная вершина сети Г: С вЂ” + К, инцидентная ребрам "уг; кото1зые ориентированы от' нее. Ооозначим через 'Н(=) = Г': Н(и) — + Е приведенную компоненту сети Г' такую, что 'Н(=) (Н(и)) = Г(и). При этом, если: является внутренней вершиной степени 3. то Н(п) = и' = и. и если граничная вершина степени 2., то Н(п) = [и', г'], где г' граничная вершина степени 1. а н' внутренняя вершина степени 3. Положим =' = 1Г': п' — > й~)-. Определение.
Вершина;Л называется представителем еарнтны .: из Г в сети Г. Определение. Пусть степень вершины ~ равна 2. Деформация и: 1'~; -+ К~ сети Г' называется допустимой е верил~не,~, если или о(а') = О. или 7Г л+1 угол между ху(и') и направлением не 1-граничного ребра ",у„. равен — [ Л' 3 я Л+2 а угол между т~(п') и направлением -и, 1 ф Й, не больше — ~ ]. 3 Пусть степень вершины :-. равна 3, и два ребра, скажем ",2 и -р, являн)тся неточечными. Этот случай имеет место только для 2Л = О (шос1 3). Без ограничения общности будем считать, что Ы1(",~, у~) = 3.
Определение. В сделанных предположениях, деформация и: 1'г — ~ Й сети Г' называется допустимой е ееритне ='. если или ц(и') = О, или Я~с) имеет точечное направление, кото1эое оорйзует с нйпрйвлением 1эебра ~;, я 1 = 1., 2., угол не больше ' 3' Пусть степень вершины = равна 3.
и, по крайней мере, два ребра являются точечными. Определение. В сделанных предположениях, деформация и: 1'г — + 22 сети Г' называется допустимой е оертиике -', если вектор х1(и') коллинса- рен точечному направлению некоторого ребра ",,:,причем оставшиеся из инцидентных, ребер не образуют усы.
При этом у(п') не сонаправлен с ребром ",, если одно из оставшихся ребер ",„и;:;., где о ~ р, г ~ р, скажем 1,, не является 1-граничным, а другое, 1,., удовлетворяет одному из следующих условии: Л+2 1) Ы1(",,;,.-,„) ) 3[ ] — Л, когда,„или не является 1-граничным ребром„пли является неточечным, Л+2 2) Ха11(";„.,:,.) > 3[ ] — Л или Ы1(":~,-,,) = 1а11(,;,.;„)„когда "о, является точечным 1-граничным ребром. Аналогично, 11(и') не противоположно нап1)авлен 1эеору ":, если одно из оставшихся ребер -~„и ",, где о ф р, г ф р, скажем,д, не является 1- граничным, а другое, у,, удовлетворяет одному из следующих условии: Л 1) Ха11(1д,",,) < 3[ ] — Л. когда у, не является 1-граничным реором. Л 2) Ы1~",; .",:,.) < 3[ — ] — Л, когда ",„является неточечным.
Л 3) Ы1( у;,.";„) < 3[ — ] — Л или Ы1( у,,'у„) = Ы1(~:„, у,), когда у, .является 3 точечным 1-граничным реб1>ом. Пусть Г произвольная существенная сеть нй Л-нормированной плоскости., и = = 1Г: и — + К 1 произвольная ее вершина. инцидентная ре- 2 брам;.;, которые ориентированы от нее. Обозначим через Г': С' — ~ Й2 базовый тип расщепления сети Г, а через ' = 1Г: и' -+ Й~) представитель вершины я в сети Г'. Утверждение 3.1. В сделанных обозначениях, пусть: являе>тся еран1«л«ной веуэ«««1«но«1 сп«епен««2. Тоед««, сеть Г' «л««б«о эк«т«)реиальнау если, и только если х) (Г, «у) > О для каждой дефориаиии Гу: 1:сд — + К2, допустимой в вершине -'.
Доказательство. Необход««мое«пь. Если сеть Г' слабо экстремальнау то неравенство З (Г'У «у) > О выполнено для лнгбгой деформации «у: 1'«Э — + ))О.2, а следовательно, и для деформации. допустимой в вершине .-'. Дост««точно«р«««ь. ПУсть З (Г . «У) > О ДлЯ кажлои ДефоРмаЦии«У: 1'С«у — + К2у допустимой в вершине: . Докажем.
что сеть Г' слабо экстремальна, т.е. з (Г', «у) > О для любой деформации «у: 1'Гу — + К . 1) Пусть ребра «;, «', = 1у 2, не являя)тся 1-граничными, и угол между 2я Л+1 ними равен ~ ]. Полоким "у( = ",; о я = 1ГУ: [и'Уи']) -+ 22~У где «Г: С' -+ С слабая проекция. В этом случае биссектриса угла мс"кду 1гео1гами -у; имеет тоип)чное нап1«явление (сов (ру вп«:«г). Рассмотрим произвольную деформацию «у, и пусть «у(и') = а (соя С', я1п «( ), а > О.
Используя симметрию. достаточно рассмотреть ри ( ьг ( (ГО + «Г. 1.1) Если («г+ —;+. (:«В ( сг+ яу то 2 ( у. р„(у„, О(и), О(и„,)),О(и)) > О У«У =1 дЛя ЛЮбЫХ «у(и, '). ОПрЕдЕЛИМ ОтОбражЕНИЕ «у: Ъ:Уи — + К2У ПОЛОгКИВ «у(ХУ) «у(х) для любой вершины х Е 1««1~ 1и') и «у(и') = О. Отметим, что в этом случае деформация «у .является допустимой в вершине ~'. Испоиьзуя 1гавенств(г 1'«О' (7 '«у(««): «у(««' )) = ри' ( «'; «!(1«)у «у(««т)) у 1. 2.
получаем и (Г',О) =и(Г',О) ~-( — у, р, (у,'„,д(и'„,),О),О(и)) ~-ру(О(и)) ~- УУ!: 1 ~- г. (р„(;;„, О(и,„), О(и )) — ри (у,.„, О (и.,„), О), О (и„,) — О (и ) ) > О. т=1 Последнее неравенство справедливо, поскольку каждое слагаемое неотрицательно. 1.2) Если,г ( «б ( д+ —, +,', то вектор «у(и') можно представить в виде «!1+«у2, где '«у1 — а1(соя:уг. вш '«г), а« > (), а «у2 = а2(соя((«г+ ф+ ц) у яп«((«г+ 2 + 2.Л)) ' Определим отображение. «у: 1'ру — э К2У положив «у((«)) = «у(х) для любой вершины х Е 1'~; 'Л1««) и «у(и ) = «у).
Деформация «у является допустимой в 63 вершине ~'. Из леммы 2.3 вытекает, что рл(г/(сс')) > рл(г/1). Используя равенства р„(",:,', г/(гс'„,), «/(сс')) = — р„(-/', «/(гс,'). г/(и'„)), ««с. = 1, . получаем з (Г', «/) = з (Г'. г/) + Рл («/(сс.')) — Рл (г/(гс')) + 2 ~- е (х .
(т.', с( ,'.с: с(«'0 — Р (>',.: с( ' с с( 'и: с( '„,) — с( ') 7 + т=1 р, (, „„фи ), Яи,д, с~ 7 > > (Г', ф > О. хи=1 Последнее неравенство справедливо, поскольку з (Г', г/) > О по предположению. 2) Если одно из ребер;, является 1-граничным или неточечным. то этот случаи рассмс1тривас~Тся ан«1логично слу~111ю 1). 3) Пусть ребра /с, г' = 1. 2, не являются 1-граничными, и угол ме кду я Л вЂ” 1 г«Л+2 ними равен — ( 1(+ — ( 1. Положим ~.' =,ссог« = ~Г': (гс.'.гс') — + К2). 'г где г«: С' -+ С слабая проекция. В этом случае биссектриса угла между ребрами "с, имеет неточечное направление (сов,2.
гпп с,2). Рассмотрим произвольную деформацию г/. и пусть г/(и') = а(соя 12. я1п ис)., а > О. Используя симметрию, достаточно рассмотреть р < сс' < е+ л. 3.1) Е:, гд+2+2л < с!'< с2+ .,тс) < 1. ре (;;„, ц (а с, ц (и,„с/, ц(и ) / > О т,=с для любых «/(гс' ).
Этот случай рассматривается аналогично случаю 1.1). 3.2) Если с2+, < са < сс" + — +,, то вектор «/(и ) можно представить В Виде '«/1 + «72, где х/( = ас (сов(г + 2Л). яп1(г> + 21), ас ~ )О. и «/2 = Гх2 (ссгсс(~с2 + 2+ л).,впс(«2+ 2+ Д)), сс2 > О. Этот случаи рассматривается аналогично случаю 1.2). 3.3) Ес:ли с«г < ~5 < д +,, то вектор г/(гс') можно представить в виде «/с + «/2~ где «/( = ссс (сов(сс> — 2А), яп1(сс2 2л), ас > О, и 7/2 = а2 (соя(сс. + —,' ), яп(д + Д)), а2 > О. Без ограничения общности будем считать, что ребра ",, имеют направления (сов «11, вгп и;), г, '= 1, 2, где О < «11 < д < о2 < 27г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
