Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами (1102759), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Пусть Г~: Сс' — + К~ сеть, содержащая вершину = и полученная из сс сети Г разрезанием по ребру уг,, Л.: = 1, 2. Обозначим через Г~: С~ — + К2 базовый тип Расщеплении сети Г '. ОпРеДелим отобРаакениЯ «/": 1:'сс — + К, 2 положив я1п(( — 1) (~сс — ф + —,') ьгпф ., /) "" Х вп1(,12 — ~= + В + Х~ ~ 1) 64 для любой вершины и Е 1''«у ~ 1'«;, .
И-1)'(~-~г+;,г (~!'— '=(гг=г«И впг —, в111( 7 — 'гй+, ~ + л~ . 77 для лкэбой вершины и' Е 1'сг ~ 'г',у., «7~(гг') = гуго 7 = 1, 2. Отметим, что в этом случае деформации гу являкэтся допустимыми в вершине =, и для любой вершины х Е 1''«, имеет место равенство «7'(х) + «уа(х) = гу(х). Получаем з (Г',гу) = з (Г',гу~) + з (Г'.гу~) > О. Последнее неравенство справедливо по предположеникэ. Утверждение доказано. ° Утверждение 3.2. В сделинных выше обозначениях, пусть,. является внутренней всрплпной степени 3, инциденг«гной двум нетпочечнг г,м, ребрам. Тогда сетг Г' слобо экетремильна,. если и только если, з (Г'. «7) > 0 для киждой де«уэормицгги «7: 1«; — + К2,.
допус««гимой в всршине -,'. Доказательство. Пусть з (Г'. гу) > () для деформации гу: 1:«л — + К~, .допустимой в вершине;.' = ~Г: и' — + К~). Докажем, .что сеть з (Г'. гу) > 0 для любой деформации «7: 1'~-, — г К2. Пчсть ребра ";2 и "л .являются неточсчными. Этот случаи имеет место только для 2Л = 0(«под 3). Без ограничения обшности будем считать, что га11(1:г, уа) = 3 и направление ";; равно (сов«г,,вг«г«гу), где 0 < ог < «х2 ( «э:я ( 2г«. Рассмот1эим П1эоизвольную деформацию «7. и пусть '«7(и ) = и(соя уг.
ягп гй) . а > О. Если аг + г«< и' < сгг + 2л, то определим отображение гу: 1о -+ К положив гу(х) = гу(х) для любой вершины х Е Ъ««г ~ (гг') и гу(гг,') = (). Если ач < «' < сэч + г«, то вектор гу(и') можно представить в виде гуг + гуя ° где «71 = иг (сов(й1 + .~ ), аггее(сгг + ~ )7 ° ог > О> а г72 = а2 (сов сгг, вгп сгг ), аг б К. ОпРсделим отобРаэксние «7: 1'«л — + К ., положив «7(х) = «У(х) длЯ любой всРшины х Е 1 "«, ~ ~и') и «7(и') = гуг.
Отметим. что в обоих слУчаЯх деформация «7 является допустимой в вершине В обоих случаях получаем з (Г', «7) > з (Г', «7) > О. Последнее неравенствсэ справедливо, поскольку з (Г', «7) > 0 по предположению. Утверждение доказано. ° Утверждение 3.3. В сделанных вьиие обозначениях., пусть являегпся внугпренней вершиной степени 3, инциден««иной. по крайней мере, двум то гечным ребрам. Тогди сеть Г' слабо экс«премильни, если и только если з (Г',гу) > 0 для, каждой де«уэормогуии гу: (''ск — г Й2, допустимой в вершине 65 Доказательство. Пусть з (Г, ««) > О для деформации ««: Ъ'~« — + Кя сети Г': С« — + К~, допустимой в вершине: = (Г: ««' — + К ).
Докажем, что з (Г', «1) > О для любой деформации ««: 1'д — + К~. 1) Пусть инцидентна одному неточсчному ребру, скажем "... и пусть ребро "«, не является 1-граничным. Тогда, по определению допустимой деформации, в этом случае вектор «у(п') коллинеарен ребру "«р. При этом Л+2 «1(««с) не сонапРавлсн с Уя, если Ха11(",.л,,) > 3~ ~ — Л, и не пРотпвопо- Л ложно направлен,:, если 1а11("«л,",;,,) < 3[ ] — Л.
Из доказательства ~«твержденпя 2.7 вьлтекает, что если неравенство з (Г', ««) > О верно для любой деформации ««: 1'д — + й~. где ««(и') коллинеаРен РебРУ ",„,, то з (Г'. «1) > О длЯ пРоизвольной дефоРмации ««: Рсл — + К~. Поэтому, .достаточно ограничиться рассмотрением лишь деформаций, для которых Ц~ 'й ) кол линеарен ребру '1~,. Рассмотрл«м произвольную деформапик) ««: 1'«; — + К . для котороп «у(««,') коллинеарен ребру ",: ., но не .являющуюся допустимой. Определим отображение ««: Ъ«« — + К~, положив «у(х) = ««(х) для любой вершины х Е 1«л ~ (и') п ««(««') = О. Получаем з (Г',««) > з (Г',««) > О.
Последнее неравенство справедливо, поскольку з (Г'.««) > О по предположению. 2) Пусть .-: инцпдентна только точечным ребрам з~ь Из доказательства утверждения 2.8 вытекает, что если неравенство л«(Г', ««) > О верно для любой деформации ««: Ъ'«р — + К~, где «1(и') кол.плнеарен ребру;;, то з (Г', ««) > О для произвольной деформации ««: 1'~; — + К~. Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением лишь деформаций, для которых у(и') коллинеарен ребру;;. Рассмотрим пропзвольнуьо деформацик) ««: «««л — + К~. для которой «у(и ) коллинеарен ребру ",,р, но не являн«щуюся допустимо1л. Можно считать.
что 1эеоро -«Р является 1-граничным, так как з (Г', ««) = ~ (Г',, ««) + з (Г~, ««) > з (Г~, ««). где Г«,, сети, полученные пз сети Г разрезанием по ребру ",: . а Г~~, пх базовые типы расщепления„причем Гя не содержит вершину -. Поскольку ребро ",:: является 1-граничным., то одно из оставшихся ребер "«л и "... где «« ~ р и г ~ р. скажем ",л, не .является 1-граничным. 2.1) Если ребро ",, не является 1-граничным и ««(и') параллелен ",„. то Л+2,, Л Ха11(;,~.,:,,) > 3~ ~ — Л, когда ««(и') сонаправлен с "«:, и 1а11(":л,;,.) < 3~ Л, когда «у(и~) противоположно направлен ",,„. Определим отображение ««: рг; — + К~, положив ««(х) = ««(х) для любоп вершины х Е Ъ'«л ~ (и'1 и «1(и') = О. Получаем з (Г'.
««) > з (Г', ««) > О. Последнее неравенство справедливо,поскольку з (Г',«1) > О по предположению. 2.2) Если ребро у,. является 1-граничным и х/(и') сонаправлен с ",:, Л+2 то Ха11(",;,, »,) > 3[ ] — Л или 1а11(»„.",;„) = 1а11("»»ол»х). Прн 1а11("»,, у„) > Л+3 3 [ ] — Л Щгедставиы векто1) х/(и ) в виде х/» + х/х, где х/» п/эотллвоположно '. 3. направлен ",:, а х/2 противоположно направлен -, .
ОпРеделим отобРажение»7: 1'ср — + К2. положив х/(х) = х/(х.") длЯ любой Л+3 вершины х б 1'ср ~ (л»'), х/(и') = х/» для Ха11(;»»„";х) > 3[ ] — Л и»/(л»') = 0 Л+3 для Ха11(;р."»:,) < 3[ ] — Л. Отметим, что в этом случае деформация»/ является допустимой в вершине -'. так как Ы1("»ло»р) ф Ы1("»„,ч,;,). Получаем з (Г,х/) > з (Г,х/) > О. Последнее неравенство справедливо, поскольку з (Г . »/) > 0 по предположению. 2.3) Если ребро, является 1-граничным и х/(и') противоположно на- Л правлен ",:„, то Ха11(ул.,"»,.) ( 3[ — ] — Л или 1а11(ул.",,) = Ы1(",:„-»,).
При Л вЂ” 1 Ы1(,р, »д) ~ (3 [ ] — Л представихл Вектор»/(и ) В виде х/! + х/~, где х/» ~р' ч сонаправлен с ",,, а х/2 сонаправлен с;:„. ОпРеделим отобРажение х/: 1ср — + Б'.2, положив»7(х) = х/(х) длЯ любой Л вЂ” 1 вершины х Е 1'ср ~ 1и'), х/(и') = х/л для Ы1(;р.";,) ( 3[ ] — Л и х/(а') = 0 Л вЂ” 1 для Ы1("...",„) > 3[ ] — Л.
Отметим. что в этом случае деформация х/ является допустллхлой в вс1эшллне ~'. гак как Ы1("», ",р) ~ 1а11("»~, ";х). Получас»м з (Г'.х/) > з»Г',х/) > 0 После" нее неравенство справедливо, поскольку з (Г . х/) > 0 по предположению. Утвержден»хе доказано. ° Ъхтверждение 3.4. Пусть Г: С вЂ” х К~ сх/щс»отвеина»я сеть, и Г': С' — х »»л.г базовь»й хпип ее расщепления. Сеть Г' слабо экстремальна тогда и, только тогда, когда, з (Г', х/) > 0 для любой деформа»/»»и х/: 1'ср -+ Й, удовлетворяющей следующеллу условию: если » = 1Г': (ил, и2] -+ 2~7 произвольное ребро сети Г', и векторы х/(ил) и»/(и2) не равны нулю, то вектор х/(ил) — х/(и2) параллелен ребру "».
Доказательство. Пусть з (Г', х/) > 0 для деформацилл, удовлетворяющей условию настояшего утверждения. Докажем по индукции. что з (Г', х/') > 0 для любой деформации х/: 1'ср — + К~. Индуллпию будем проводить по количеству внутренних вершин базового типа расщепления Г'. Для и = 1 утверждение теоремы вытекает из локальной структуры. Пусть утверждение верно для сетей, где число внутренних вершин меньше х»..
Рассмотрим произвольнукг деформацию»у: '1'с» — + К2 сети Гг, которая содерткит ровно гп внутренних вершин. Пусть "» — — 1Г': [иг,и2] — г К~) ребро сети Г'„нс удовлетворяющее условикэ теоремы, т.с. векторы гу(иг) и»у(и2) нс равны нулю., а вектор гу(иг) — гу(г»2) не параллелен ребру ",:. Тогда 1»еб1)~ "» не является Вы1нгжденным, поскольку существенная сеть не может содержать вырогкденных реоер -, = 1Г': [иг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
