Автореферат (1102249)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

На правах рукописиЛожников Дмитрий АндреевичАСИМПТОТИКИ В ЗАДАЧАХ О ЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ НАМЕЛКОЙ ВОДЕ, ПОРОЖДЕННЫХ ЛОКАЛИЗОВАННЫМИИСТОЧНИКАМИСпециальность 01.01.03 – Математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква, 2014Работа выполнена в лаборатории механики природных катастрофИнститута проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАННаучный руководитель доктор физико-математических наук,профессор Сергей Юрьевич ДоброхотовОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук, профессор Владимир Григорьевич Данилов,профессор Национального Исследовательского Университета Высшая Школа Экономикидоктор физико-математических наук, профессор Евгений Владимирович Радкевич,профессор механико-математического факультета МГУ, кафедры дифференциальныхуравненийВедущая организация Институт Вычислительной математики РАНЗащита состоится 29 мая 2014 г.

в 14 ч. 30 мин.на заседании диссертационного совета Д 501.002.10при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносовапо адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2,физический факультет, СФА.С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке МГУ имениМ.В. Ломоносова и на сайте www.phys.msu.ru/rus/research/disser/sovet-D501-002-10/Автореферат разослан “....” .................

2014 г.Ученый секретарьдиссертационного совета Д 501.002.10доктор физико-математических наук, профессор П.А. ПоляковОбщая характеристика работыАктуальность темы. Диссертация посвящена исследованию асимптотическихрешений задачи Коши для двумерного волнового уравнения с переменными коэффициентами и линеаризованной системы уравнений мелкой воды с локализованными начальными данными.

Рассматриваемые уравнения относятся к классулинейных гиперболических систем с переменными коэффициентами. Для системтакого типа основная масса публикаций в математической литературе была посвящена асимптотикам решений, описывающих распространение сингулярностей(типа δ -функции) и часто называемых “разложениями по гладкости” (Д. Людвиг, В.М. Бабич, Л. Хермандер, Й.

Дюйстермаат, Ю.В. Егоров, В. Гийемин,Ш. Стернберг и др.). Асимптотиками, которые описывают быстроосциллирующие решения занимались В.П. Маслов и М.В. Федорюк, В.М. Бабич, В.С. Булдырев и Л.А.Молотков, Ю.А. Кравцов, Б.Р. Вайнберг, Л.М. Бреховских, А. Майда,В.Г. Данилов, Ле Ву Ань, В.В. Кучеренко, Б.Ю. Стернин, В.Е. Шаталов, С.Ю.Доброхотов. Публикаций, посвященных асимптотике решения задачи Коши с локализованными начальными данными для линейных гиперболических систем досравнительно недавнего времени в математической литературе было существенноменьше. Для гиперболических систем с постоянными коэффициентами асимптотикам таких решений посвящена статья В.П.

Маслова и М.В. Федорюка [1]. Нагиперболические системы с переменными коэффициентами результаты этой статьи были обобщены в [2]. Асимптотические формулы, полученные в этих работах,были не очень эффективными, как с теоретической, так и с прикладной точек зрения. Подход к получению максимально эффективных формул для таких задач и3основанный на обобщении канонического оператора Маслова был предложен в работах [3], [4].

Затем в разных ситуациях он был реализован в цикле работ С.Ю.Доброхотова, А.И. Шафаревича, Б. Тироцци, С.Я. Секерж-Зеньковича (отметим[5, 6, 7, 8, 9]). Тем не менее, реализация этого подхода в конкретных ситуациях оставляет много возможностей и вопросов о способе выбора асимптотического представления в окрестности фокальных точек (не гладких точек фронтов),точек самопересечения фронтов, представления решения при малых временах,ситуаций, когда фронты имеют достаточно сложный вид и т.д.

Такие вопросывозникают при рассмотрении как общих гиперболических систем с переменными коэффициентами, так и при изучении конкретных гиперболических систем,связанных с приложениями. Отметим, что рассмотренные задачи для двумерного волнового уравнения с переменной скоростью, а также для линеаризованнойсистемы уравнений мелкой воды возникают, в частности, при описании распространения длинных волн в океане (например, волн цунами). Исследования такихволн проводятся как численными, так и аналитическими методами. Литература,посвященная проблеме цунами, очень обширна.

Отметим работы Ю.И. Шокина,Л.Б. Чубарова, А.Г. Марчука, А.С. Алексеева, В.К. Гусякова, К.В. Симонова, З.И.Федотовой и соавторов [10], [11], [12], а также обзорные работы [13], [14]. Такжеотметим монографию Е.Н. Пелиновского ”Гидродинамика волн цунами”, содержащую аналитические подходы, и недавние работы Г.М. Кобелькова и соавтров [15],[16], [17].

Однако, несмотря на большое число публикаций, здесь по-прежнемуостается еще много интересных открытых вопросов, связанных, в том числе, саналитическим описанием влияния донных неоднородностей на распространение4волн и визуализацией соответствующих аналитических формул.Такого сорта задачи, разумеется, возникают и для других гиперболическихсистем. Напомним, что более тридцати лет назад в монографиях В.П. Масловабыла высказана идея, что сочетание асимптотических методов с компьютерныммоделированием должно позволить сильно продвинуться в решении задач математической физики, особенно задач, связанных с приложениями. Эта возможностьпоявилась в последние десятилетия благодаря успехам вычислительной техники и бурному развитию программирования в области визуализации результатовматематического моделирования.

По-существу в диссертации соображение В.П.Маслова реализовано в задачах о распространении длинных волн (порожденныхлокализованными источниками) в бассейнах с неровным дном, включая волнынад подводными банками и хребтами.Цель работы. Основная цель работы — построение, исследование и визуализация асимптотических решений задачи Коши для двумерного волнового уравнения с переменной скоростью и линеаризованной системы уравнений мелкой водыв бассейне с переменным, в том числе и с реальным дном, с учетом имеющихсяфокальных точек и пространственно-временных каустик, возникающих при прохождении волн, порожденных локализованными источниками, над подводныминеоднородностями, типа донных хребтов, а также изучение поведения асимптотического решения при малых временах.Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми.5Основной результат второй главы диссертации — алгоритм нахождения фокальных точек на фронте, построение асимптотического решения в окрестноститочек самопересечения фронта, построение решения в окрестности двух и болееучастков фронта, которые проходят близко друг от друга, а также сделано сравнение асимптотического решения в окрестности регулярных точек фронта с решением, полученным при численном решении конечно-разностных аналогов уравнениймелкой воды. Показано, что, в частности, в окрестности точки самопересеченияфронта, сечения асимптотического и численного решения практически совпадают.В третьей главе построено и исследовано асимптотическое решение в окрестности фокальных точек: исследована склейка асимптотического решения в окрестности фокальных точек с асимптотическим решением в окрестности регулярныхточек фронта, исследовано качество склейки в зависимости от выбора локальнойсистемы координат в окрестности фокальной точки и в зависимости от степениразложения по степеням малого параметра асимптотического решения в окрестности фокальной точки.В четвертой главе построено и исследовано асимптотическое решение при малых временах.В пятой главе подробно рассмотрено распространение длинных волн над вытянутыми подводными банками и хребтами, показано, что над подводными хребтамимогут образовываться захваченные волны и пространственно-временные каустики.Все алгоритмы запрограммированы на языке C/C++ и в диссертации снабжены подробными иллюстрациями и примерами.6Методика исследования основана на использовании квазиклассических асимптотик в виде модифицированного канонического оператора Маслова для построения асимптотических решений в задачах с локализованными начальными условиями и их последующей компьютерной визуализацией.

Обычно квазиклассическиеасимптотики (и лучевые разложения) используются для построения осциллирующих решений. При этом, канонический оператор Маслова позволяет учитыватьявления, связанные с наличием фокальных точек и каустик. Для решения задач с локализованными начальными условиями прямое применение этих методовне годится, поскольку решение определяется не осциллирующими, а быстроубывающими функциями, локализованными в окрестности фронтов. Поэтому здесьиспользуется подход, предложенный в работах С.Ю. Доброхотова, А.И. Шафаревича, Б.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации