Автореферат (1102249), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Тирроци, С.Я. Секерж-Зеньковича, Т.Я. Тудоровского, позволяющийв результате интегрирования по дополнительному параметру, перейти от быстроубывающих решений к быстро осциллирующим, для построения которых можно использовать канонический оператор Маслова, а затем упростить результаты,используя соображения типа погранслоя, и сделать реализацию полученных формул в виде компьютерных программ.Теоретическая и практическая ценность. Было проведено исследованиеасимптотического решения в окрестности фокальных точек. Составлен алгоритмчисленной реализации асимптотических формул. Были исследованы решения,описывающие, в частности, поведение волн над подводными хребтами. Обнаруже7но явление образования цугов волн, порождаемых локализованными источникамив бездисперсионных средах.Аппробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались автором на международной конференции ”Days of Diffraction” в 2011 и 2012 гг,на конференции МФТИ в 2011, 2012 гг, на семинаре М.И. Вишика механикоматематического факультета МГУ в 2012 г, на семинаре под руководством Г.М.Кобелькова и А.В. Фурсикова в Институте вычислительной математики РАН в2013 г.Краткое содержание диссертацииАсимптотическое решение в окрестности регулярных точекфронтаПостановка задачи. Мы рассматриваем длинные волны в области с характерным размером L, порожденные локализованным источником с характерным размером l.

Мы предполагаем, что l L. Данное предположение дает нам малыйпараметр µ = l/L. Такие волны описываются линеаризованной системой уравнений мелкой воды в безразмерных переменных∂η+ div(C 2u) = 0,∂t∂u+ ∇η = 0,∂tC(x) =8pD(x),x = (x1, x2) ∈ R2 ,(1)η|t=0 = η 0x − x0µ,u|t=0 = 0.(2)Здесь η(x, t) — возвышение свободной поверхности жидкости, D(x) — глубинабассейна, η 0 (z) — заданная функция, убывающая на бесконечности быстрее, чем1|z|δ ,δ > 1. Задача (1), (2) возникает, в частности, при моделировании распростра-нения волн цунами в океане [18],[19].В качестве основного примера начального возвышения свободной поверхностижидкости, мы используем следующую функцию (см. [6], [20], [21])η 0(z) =(1 + (z1/b1A,+ (z2/b2)2)3/2)2(3)где b1, b2, A — положительные параметры.Построение асимптотического решения в окрестности регулярных точек фронта.

Довольно эффективные асимптотические формулы для решениязадачи Коши с локализованными начальными данными были получены в работах [3], [4], [6], [7], [8], [9]. Сначала решение задачи (1), (2) локализовано вокрестности точки (точка соответствует положению источника). Затем решениелокализовано в окрестности замкнутой кривой, которая сначала гладкая и близка к окружности, но впоследствии на ней могут появляться точки поворота ифокальные точки.Данная ситуация изображена на Рисунке 1, на котором изображен кусок волнового фронта в момент прохождения на круглой симметричной подводной банкой.

Здесь точки A, C — это фокальные точки, B — это точка самопересеченияфронта. Волновой фронт изображен жирной линией, дно изображено контурным9Рис. 1. Прохождение волнового фронта над круглой подводной банкойграфиком.Согласно работам [4], [8], [9] асимптотика, соответствующая волновой частирешения задачи (1), строится следующим4-D фазовое прообразом. Рассмотримстранство R4p,x с координатами p = p1, x = x1, и 2D конфигурационноеp2x2пространство R2x с координатами x. Рассмотрим в R4p,x следующую задачу Кошидля системы уравнений Гамильтона с гамильтонианом H(x, p) = |p| · C(x):ṗ = −Hx ≡ −|p|∇C(x),p|t=0 = n(ψ),ẋ = Hp ≡x|t=0 = x0,pC(x),|p|ψ ∈ [0, 2π],(4)где n(ψ) = (cos ψ, sin ψ)T .

Обозначим через P(ψ, α, t), X (ψ, α, t) решения систе10мы (4), удовлетворяющие начальным условиям p|t=0 = n(ψ) и x|t=0 = α · n(ψ).Положив α = 0, мы получаем вектор-функции X(ψ, t) = X (ψ, 0, t), P (ψ, t) =P(ψ, 0, t). При каждом фиксированном ψ эти функции определяют характеристики в фазовом пространстве. Множество Γt концов этих характеристик в фиксиро-ванный момент времени t и ψ ∈ [0, 2π] называется волновым фронтом в фазовомпространстве.

Его проекция γt = {x = X(t, ψ)|, ψ ∈ [0, 2π]} на плоскость R2xназывается волновым фронтом на плоскости. Кривая Γt всегда гладкая. В противоположность ей, кривая γt после некоторого момента времени t∗ может иметьточки самопересечения и фокальные точки. Асимптотика решения локализованав окрестности кривой γt , но необходимо отметить, что максимум модуля возвышения |η| расположен около фронта γt , а не прямо над ним. Фокальные точкиопределяются как точки, в которых равна нулю производная Xψ =∂X∂ψ= 0.

Регу-лярными точками называются точки, в которых Xψ 6= 0.Точку x из окрестности фронта γt можно зафиксировать с помощью двухкоординат: ψ(x, t), y(x, t). Здесь ψ(x, t) определяется из условия ортогональностивектора y = x − X(ψ, t) вектору Xψ , касательному к γt в точке X(ψ, t): hx −X(ψ, t), Xψ (ψ, t)i = 0. Также нам потребуется индекс Морса для каждой точкифронта X(ψ, t).

Индекс Морса определяется как количество фокальных точек,лежащих на траектории {X(ψ, τ ), τ ∈ [+0, t]}, или, что то же самое, как числоперемен знака у якобиана det(Ẋ, Xψ ) на интервале [+0, t]. Также определим C0 =C(x0) и фазуS(t, x) = hP (ψ(t, x), t), x − X(ψ(t, x), t)i =11sD(0)· y.D(X(ψ(t, x), t))(5)Теорема [4]: При t > 0 в некоторой окрестности волнового фронта γt , независящей от µ, и вне некоторой окрестности фокальных точек справедливо следующее соотношение:√ X1pη(x, t) = µ|Xψ (ψj , t)|jsC0C(X(ψj , t), t)iπmSj (t, x)3/2− 2j+O µ., n(ψj ) ×Re e·Fµψj =ψj (t,x)(6)Здесь и далее под O(µα ) понимается оценка в норме C(R2x ).Функция F (z, ψ) имеет видZe−iπ/4 ∞ √ 0F (z, ψ) = √ρη̃ (ρ, ψ)eizρdρ,2π 0где η̃ 0 (z) — это преобразование Фурье функции η 0 (z)0η̃ (z) =1 Z2π(7)η 0 (z) exp(ihk, zi)dz.R2Дальнейшее упрощение формулы (7) основано на выборе специального вида источника. Важный пример функции η 0 дается формулой (3), в которой A, b1 , b2— действительные параметры.

Преобразование Фурье функции η 0 (z) имеет видpη̃ 0(ρ, ψ) = A · e−ρ·β(ψ) , β(ψ) =b21 cos2 ψ + b22 sin2 ψ, и вследствие его простойформы можно вычислить интеграл (7) в элементарных функциях12πAe−i 4F (z, ψ) = √ p3/2 ,2 2b21 cos2 ψ + b22 sin2 ψ − izгде(8) qπ π2222.arctan z/ b1 cos ψ + b2 sin ψ ∈ − ,2 2В диссертации описан алгоритм численного построения асимптотических формул в окрестности регулярных точек фронта.

Кратко он выглядит следующимобразом. Сначала нужно вычислить фронт, который определятся как множествоконцов траекторий гамильтоновой системы (4). При этом система Гамильтонарешается численно. В данной работе использовался метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности.

После того, как посчитан фронт, через каждую точку фронтапроводится отрезок, перпендикулярный фронту так, чтобы он делился точкойфронта пополам.Рис. 2. Пример сетки для окрестности регулярных точек фронтаЗатем на каждом таком отрезке строится неравномерная сетка так, чтобы ее узлы13были гуще около фронта. Все отрезки строятся одинаковой длины, сетка такжеделается одинаковой на всех отрезках. На Рисунке 2 изображен кусок сетки, построенной для окрестности регулярных точек фронта.

Затем в узлах сетки вычисляется возвышение свободной поверхности жидкости. Если волновой фронт имееттакую форму, что линии сетки, соответствующие различным участкам волновогофронта не имеют пересечений, то при вычислении возвышения по формуле (6)суммирования не будет. Если же линии сетки имеют пересечения, то итоговое возвышение вычисляется как сумма возвышений от различных участков волновогофронта. При этом, вклад в итоговое возвышение (в точке сетки, соответствующейкакому-то участку фронта) от других участков волнового фронта в данной работевычислялся с помощью линейной интерполяции. Примером таких областей могутслужить точки самопересечения фронта (точка B на Рисунке 1).Сравнение асимптотических формул для окрестности регулярных точек фронта с численным моделированием волн цунами.

В данной работепри численном решении уравнений (1), (2) использовалась явная схема, построенная на разнесенном шаблоне (см. [10], схема 22◦). В качестве сравниваемой областибыла выбрана окрестность точки самопересечения фронта.На Рисункe 4 изображено возвышение свободной поверхности жидкости вокрестности точки самопересечения фронта, полученное при численном решенииуравнений мелкой воды. Небольшие осцилляции, которые здесь можно наблюдатьполучаются как результат замены дифференциального уравнения разностной схемой.14Рис. 3.

Возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности точки самопересеченияфронта, полученное при численной реализации асимптотических формулРис. 4. Возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности точки самопересеченияфронта, численное решение уравнений мелкой воды15Асимптотическое решение в окрестности фокальных точекфронтаОпределение асимптотического решения в окрестности фокальных точек. Рассмотрим на фронте Γt некоторую фокальную точку rt∗ = (P(ψ ∗, α∗, t),X (ψ ∗, α∗, t)) c координатами ψ ∗ , α∗.

Характеристики

Список файлов диссертации