Диссертация (1102250)
Текст из файла
Институт проблем механики РАНна правах рукописиЛожников Дмитрий АндреевичАСИМПТОТИКИ В ЗАДАЧАХ О ЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ НАМЕЛКОЙ ВОДЕ, ПОРОЖДЕННЫХ ЛОКАЛИЗОВАННЫМИИСТОЧНИКАМИСпециальность:01.01.03 “Математическая физика”ДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наукпрофессор С.Ю. ДоброхотовМосква, 2014Оглавление1 Введение41.1 Характеристика работы .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.2 Краткое содержание диссертации . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.2.1Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .1.2.399Асимптотическое решение в окрестности фокальных точекфронта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.2.4Асимптотическое решение при малых временах . . . . . .191.2.5Распространение длинных волн над подводными банкамии хребтами . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .201.3 Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231.4 Публикации автора по теме диссертации . . . . . . . . . . . . . .232 Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта242.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242.2 Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта 252.3 Алгоритм построения возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности регулярных точек фронта . . .
. . . . . . . .302.4 Сравнение асимптотических формул для окрестности регулярныхточек фронта с численным моделированием волн цунами . . . . .23332.5 Алгоритм вычисления суммы функций, построенных на сетках сне совпадающими узлами . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .363 Асимптотическое решение в окрестности фокальных точек фронта393.1 Определение асимптотического решения в окрестности фокальных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .393.2 Примеры волновых фронтов и поведение основных величин вдольфронта .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423.3 Склейка асимптотики для окрестности регулярных точек фронтас асимптотикой для окрестности фокальных точек . . . . . . . . .513.4 Доказательство теоремы . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .564 Асимптотическое решение при малых временах655 Распространение длинных волн над подводными банками и хребтами705.1 Образование фокальных точек и волн над круглыми банками . .735.2 Фокальные точки и волны над вытянутыми банками: появлениепространственно-временных каустик . . . . . . . . . . . . . .
. . .755.3 Поведение возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности фронтов с каскадом пространственно-временных каустик:подводный хребет как генератор захваченных волн . . . . . . . .785.4 Волны над кривыми хребтами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .805.5 Алгоритм построения каустик . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .866 Заключение89Список литературы90Глава 1Введение1.1Характеристика работыАктуальность темы. Диссертация посвящена исследованию асимптотическихрешений задачи Коши для двумерного волнового уравнения с переменными коэффициентами и линеаризованной системы уравнений мелкой воды с локализованными начальными данными. Рассматриваемые уравнения относятся к классу линейных гиперболических систем с переменными коэффициентами.
Длясистем такого типа основная масса публикаций в математической литературебыла посвящена асимптотикам решений, описывающих распространение сингулярностей (типа δ -функции) и часто называемых “разложениями по гладкости” (Д. Людвиг, В.М. Бабич, Л. Хермандер, Й. Дюйстермаат, Ю.В. Егоров, В.Гийемин, Ш. Стернберг и др. [1, 2, 3, 4]). Асимптотиками, которые описывают быстроосциллирующие решения занимались В.П. Маслов и М.В. Федорюк[5, 6, 7, 8, 9, 10, 11], В.М.
Бабич, В.С. Булдырев и Л.А.Молотков [12, 13, 14, 15],Ю.А. Кравцов, Б.Р. Вайнберг [16], Л.М. Бреховских [17], А. Майда, В.Г. Данилов, Ле Ву Ань [18, 19, 20], В.В. Кучеренко [21], Б.Ю. Стернин, В.Е. Шаталов [22], С.Ю. Доброхотов [23], [24], [25], [26], [27]. Публикаций, посвященныхасимптотике решения задачи Коши с локализованными начальными даннымидля линейных гиперболических систем до сравнительно недавнего времени в45математической литературе было существенно меньше.
Для гиперболическихсистем с постоянными коэффициентами асимптотикам таких решений посвящена статья В.П. Маслова и М.В. Федорюка [11]. На гиперболические системы с переменными коэффициентами результаты этой статьи были обобщеныв [28]. Асимптотические формулы, полученные в этих работах, были не оченьэффективными, как с теоретической, так и с прикладной точек зрения.
Подходк получению максимально эффективных формул для таких задач и основанный на обобщении канонического оператора Маслова был предложен в работах[29], [30]. Затем в разных ситуациях он был реализован в цикле работ С.Ю.Доброхотова, А.И. Шафаревича, Б. Тироцци, С.Я.
Секерж-Зеньковича (отметим [31, 32, 33, 34, 35]). Тем не менее, реализация этого подхода в конкретныхситуациях оставляет много возможностей и вопросов о способе выбора асимптотического представления в окрестности фокальных точек (не гладких точекфронтов), точек самопересечения фронтов, представления решения при малыхвременах, ситуаций, когда фронты имеют достаточно сложный вид и т.д. Такие вопросы возникают при рассмотрении как общих гиперболических систем спеременными коэффициентами, так и при изучении конкретных гиперболических систем, связанных с приложениями.
Отметим, что рассмотренные задачидля двумерного волнового уравнения с переменной скоростью, а также для линеаризованной системы уравнений мелкой воды возникают, в частности, приописании распространения длинных волн в океане (например, волн цунами).Исследования таких волн проводятся как численными, так и аналитическимиметодами. Литература, посвященная проблеме цунами, очень обширна.
Отметим работы Ю.И. Шокина, Л.Б. Чубарова, А.Г. Марчука, А.С. Алексеева, В.К.Гусякова, К.В. Симонова, З.И. Федотовой и соавторов [36], [37], [38], [39], [40],[41], [42], [43], [44], [45], [46], [47], [48], [49], [50], [51], [52], [53], [54], а также обзорные работы [55], [56], [57], [58], [59], [60], [61].
Также отметим монографиюЕ.Н. Пелиновского ”Гидродинамика волн цунами”, содержащую аналитическиеподходы, и недавние работы Г.М. Кобелькова и соавтров [62], [63], [64]. Одна-6ко, несмотря на большое число публикаций, здесь по-прежнему остается ещемного интересных открытых вопросов, связанных, в том числе, с аналитическим описанием влияния донных неоднородностей на распространение волн ивизуализацией соответствующих аналитических формул.Такого сорта задачи, разумеется, возникают и для других гиперболическихсистем.
Напомним, что более тридцати лет назад в монографиях В.П. Масловабыла высказана идея, что сочетание асимптотических методов с компьютерным моделированием должно позволить сильно продвинуться в решении задачматематической физики, особенно задач, связанных с приложениями. Эта возможность появилась в последние десятилетия благодаря успехам вычислительной техники и бурному развитию программирования в области визуализациирезультатов математического моделирования. По-существу в диссертации соображение В.П. Маслова реализовано в задачах о распространении длинных волн(порожденных локализованными источниками) в бассейнах с неровным дном,включая волны над подводными банками и хребтами.Цель работы. Основная цель работы — построение, исследование и визуализация асимптотических решений задачи Коши для двумерного волновогоуравнения с переменной скоростью и линеаризованной системы уравнений мелкой воды в бассейне с переменным, в том числе и с реальным дном, с учетомимеющихся фокальных точек и пространственно-временных каустик, возникающих при прохождении волн, порожденных локализованными источниками,над подводными неоднородностями, типа донных хребтов, а также изучениеповедения асимптотического решения при малых временах.Научная новизна.
Результаты диссертации являются новыми.Основной результат второй главы диссертации — алгоритм нахождения фокальных точек на фронте, построение асимптотического решения в окрестноститочек самопересечения фронта, построение решения в окрестности двух и бо-7лее участков фронта, которые проходят близко друг от друга, а также сделаносравнение асимптотического решения в окрестности регулярных точек фронтас решением, полученным при численном решении конечно-разностных аналогов уравнений мелкой воды. Показано, что, в частности, в окрестности точки самопересечения фронта, сечения асимптотического и численного решенияпрактически совпадают.В третьей главе построено и исследовано асимптотическое решение в окрестности фокальных точек: исследована склейка асимптотического решения в окрестности фокальных точек с асимптотическим решением в окрестности регулярных точек фронта, исследовано качество склейки в зависимости от выбора локальной системы координат в окрестности фокальной точки и в зависимости отстепени разложения по степеням малого параметра асимптотического решенияв окрестности фокальной точки.В четвертой главе построено и исследовано асимптотическое решение прималых временах.В пятой главе подробно рассмотрено распространение длинных волн надвытянутыми подводными банками и хребтами, показано, что над подводнымихребтами могут образовываться захваченные волны и пространственно-временныекаустики.Все алгоритмы запрограммированы на языке C/C++ и в диссертации снабжены подробными иллюстрациями и примерами.Методика исследования основана на использовании квазиклассическихасимптотик в виде модифицированного канонического оператора Маслова дляпостроения асимптотических решений в задачах с локализованными начальными условиями и их последующей компьютерной визуализацией.
Обычно квазиклассические асимптотики (и лучевые разложения) используются для построения осциллирующих решений. При этом, канонический оператор Маслова позволяет учитывать явления, связанные с наличием фокальных точек и каустик.8Для решения задач с локализованными начальными условиями прямое применение этих методов не годится, поскольку решение определяется не осциллирующими, а быстроубывающими функциями, локализованными в окрестностифронтов.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
