Диссертация (1102250), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

1.3. Возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности точки самопересеченияфронта, полученное при численной реализации асимптотических формулНа Рисункe 1.4 изображено возвышение свободной поверхности жидкостив окрестности точки самопересечения фронта, полученное при численном решении уравнений мелкой воды.

Небольшие осцилляции, которые здесь можнонаблюдать получаются как результат замены дифференциального уравненияразностной схемой.15Рис. 1.4. Возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности точки самопересеченияфронта, численное решение уравнений мелкой воды1.2.3Асимптотическое решение в окрестности фокальныхточек фронтаОпределение асимптотического решения в окрестности фокальныхточек. Рассмотрим на фронте Γt некоторую фокальную точку rt∗ = (P(ψ ∗, α∗, t),X (ψ ∗, α∗, t)) c координатами ψ ∗ , α∗. В окрестности такой точки асимптотическоерешение можно представить двумя различными способами [34].

Первый способосновывается на том, что если в некоторой окрестности фокальной точки r∗отличен от нуля якобианdet C (0,2)(ψ, α) = P1α X2ψ − P1ψ X2α ,то в этой окрестности решение можно представить в виде интеграла∗ηasrZ∞ Z∞ " 1ρπρI ∗p= Re· e−i 2 ·Ind (r ) ·· ei µ ·(α−P1 (ψ,α,t)X1 (ψ,α,t)+p1 ·x1 ) 2π| det C (0,2) |0 −∞(0,2)×Ae(ψ, α)α=α(0,2) (p1 ,x2 ,t),ψ=ψ (0,2) (p1 ,x2 ,t)dp1 · dρ .(1.9)Здесь A — это амплитуда, e(0,2) (ψ, α) — срезающая функция, носитель которой принадлежит некоторой окрестности фокальной точки, а величины α =16α(0,2) (p1, x2, t), ψ = ψ (0,2) (p1, x2, t) являются решениями уравненийP1(ψ, α, t) = p1,X2 (ψ, α, t) = x2.Второй способ справедлив в том случае, когда в некоторой окрестности фокальной точки отличен от нуля якобианdet C (1,0)(ψ, α) = X1α P2ψ − X1ψ P2α .Перейти от рассмотрения одного случая к другому можно просто заменив индексы 1 → 2 и 2 → 1 у координат X и импульсов P.

В связи с этим можно∗рассматривать дальнейшие упрощения формулы для ηasв случае, когда отли-чен от нуля якобиан det C (0,2) (ψ, α).Функция (1.9) достаточно быстро убывает при удалении от фронта Γt , поэто-му интеграл (1.9) можно упростить. Это упрощение основано на соображенияхкомплексного ростка [10] или погранслоя [73]. Для реализации этих соображений нам понадобятся разложения фазы в интеграле (1.9). Частично такиеразложения были проделаны в работе [34]. В диссертации сформулирована идоказана следующая теорема.Теорема: 1). В окрестности фокальной точки r∗ справедливо равенство∗ηas= Re×гдеZ∞ Z∞0 −∞(rπ1I ∗· e−i 2 ·Ind (r )2·π√ρ · |P1ψ | · C 0q|(P1ψ Ẋ2 − Ṗ1 X2ψ ) − h∇C 0, n0(ψ)i · P1 X2ψ |ioi· µρ ·Φdψ · dρ + O(µ) ,×A|α=0 · e(ψ) · e(x2 − X2 )22(P1ψ Ṗ2 − Ṗ1 P2ψ ) + h∇C 0, n0(ψ)i · (P1ψ P2 − P1 P2ψ ).×(P1ψ Ẋ2 − Ṗ1 X2ψ ) − h∇C 0, n0(ψ)i · P1 X2ψ(1.10)Φ = hP, x − Xi −(1.11)172).

Если в качестве η 0 (z) взять функцию (1.3), тоpZ∞ π|P|·|P | · C(X, t) · e(ψ)a∗1ψ∗rηas= √ · Re e−i 2 Ind(r ) ·2 2π−∞P1ψ Ẋ2 − Ṗ1 X2ψ − h∇C 0, n0(ψ)i · P1 X2ψ ×· dψβ(ψ) −iµ·Φ2(1.12)Фаза Φ вычисляется по формуле (1.11). Величина Ind(r∗) — это индекс Масловафокальной точки. Он может принимать одно из четырех значений: 0, 1, 2, 3. Вработе [29] показано, что для задачи (1.1), (1.2) его можно вычислить черезиндекс Морса, приходящей в эту точку траектории системы Гамильтона.В диссертации приводится алгоритм построения асимптотического решенияв окрестности фокальной точки.

Алгоритм основан на том факте, что формулы (1.10)- (1.12) имеют одинаковый вид в любой системе координат, котораяполучена из исходной при помощи сдвига и поворота и устроен таким образом,что построенное возвышение в окрестности фокальной точки наилучшим образом переходит в возвышение свободной поверхности жидкости, построенноев окрестности регулярных точек фронта. Основные трудности, которые возникают в данной задаче следующие.

Формулы (1.10)- (1.12) справедливы только в той окрестности фокальной точки, в которой отличен от нуля якобиан:подкоренное выражение, стоящее в знаменателе во всех формулах. При произвольном выборе системы координат, якобиан обращается в нуль близко отфокальной точки.

Тем самым, область действия формул (1.10)- (1.12) получается небольшой. Более того, может так получиться, что после построениявозвышений в окрестности фокальной точки и в окрестности регулярных точек фронта, между областями, в которых построены поверхности будет разрыв,т.е. они не будут перекрываться. В связи с этим были предприняты следующиешаги. Сначала строится возвышение в окрестности регулярных точек фронта.Оно строится так, чтобы максимально близко подходило к фокальной точке.18Затем мы начинаем строить возвышения свободной поверхности жидкости вокрестности фокальной точки.

Делается это так. Мы помещаем центр новойсистемы координат в фокальную точку и вычисляем в ней возвышение свободной поверхности жидкости. Затем мы начинаем поворачивать новую системукоординат в пределах φ ∈ [0, 2π] с каким-то шагом δφ и в каждой новой систе-ме координат мы вычисляем возвышение свободной поверхности жидкости. Насамом деле не нужно вычислять возвышение в каждой системе координат. Сначала нужно оценить насколько близко от фокальной точки обращается в нульновый якобиан.

Если он обращается в нуль на расстоянии большем, чем мини-мально допустимое, то в такой системе координат мы вычисляем возвышениесвободной поверхности жидкости. В итоге у нас получается набор возвышений.Среди них делается отбор возвышения, которое наилучшим образом переходитв возвышение свободной поверхности жидкости, построенное для окрестностирегулярных точек фронта. В зависимости от того, как определять наилучшеесоответствие фокального возвышения регулярному, могут отбираться различные фокальные профили.Рис.

1.5. Склейка возвышения свободной поверхности жидкости для окрестности регулярныхточек фронта с возвышением в окрестности фокальной точкиНа Рисунке 1.5 изображена склейка возвышения свободной поверхности19жидкости для окрестности регулярных точек фронта с возвышением в окрестности фокальной точки. Здесь критерием наилучшего перехода является минимум от максимума разности возвышений в области их пересечения.1.2.4Асимптотическое решение при малых временахАсимптотическое решение задачи (1.1), (1.2) было построено в работах [30],[34] и задается интегрированием от канонического оператора Маслова. При малых временах это выражение представляет собой двойной интеграл, потому чтоначальное лагранжево многообразие не проектируется диффеоморфно на плоскость (x1, x2).

С другой стороны малые времена представляют интерес, потомучто при малых временах происходит зарождение волны цунами, волна имеетдостаточно большую амплитуду и ее можно наблюдать. Поэтому в данной работе на временах t ≤ T · µ мы исследуем и упрощаем формулы, задаваемыеканоническим оператором Маслова.

Для источников специального вида полу-чены явные формулы. В диссертации сформулирована и доказана следующаятеорема.Теорема: 1). Главный член в асимптотике решения задачи (1.1), (1.2) приt ≤ T · µ, где T > 0 — константа, имеет вид 2π ∞Z Z hi1i µρ ·(hn(ψ),xi−C(0)·t−h∇C(0),xi·t)η(x, t) = √ · Redψdρρ · Ṽ (ρn(ψ)) · e2 2π00+O(µ) + O(t).(1.13)2).

Для источника (1.3) справедлива формула 2πZdψ1η(x, t) = √ · Re (β(ψ) − µi · (hn0(ψ), xi − C(0) · t − h∇C(0), xi · t))22 2π0+O(µ) + O(t).(1.14)Случай симметричного источника. В случае, когда источник является симметричным, т.е. b1 = b2 = b, то интеграл (1.14) можно вычислить явно20√η(x, t) = 2π · Rea(a2 − 1)3/2tгде a = − |x|(C(0) − h∇C(0), xi) + i βµ.|x|Рис.

1.6. Случай симметричного источника+ O(µ) + O(t),(1.15)Рис. 1.7. Случай несимметричного источника. Угол θ = 0Случай несимметричного источника. В том случае, когда источник является несимметричным, интеграл, который стоит в формуле (1.14), явно невычисляется, и его надо считать численно. На Рисунках 1.6, 1.7 изображеноасимптотическое решение линеаризованной системы уравнений мелкой водыпри малых временах. На Рисунке 1.6 изображен случай симметричного источника, а на Рисунке 1.7 случай несимметричного источника.1.2.5Распространение длинных волн над подводнымибанками и хребтамиВолны, распространяющиеся над подводными хребтами и банками, представляют собой довольно интересные объекты в теории волн на воде и физике океана.

Обычно они рассматриваются как стационарные или квазистационарныесостояния в 3-D задаче о волнах на воде, или как решения пространственно-21двумерного волнового уравнения с оператором Лапласа–Бельтрами −∇C 2(x1, x2)∇в пространственной части, если используется длинноволновое приближение.Здесь C 2 = gD(x1 , x2), где D(x1 , x2) — глубина в точке x = (x1, x2), а g —ускорение силы тяжести. Существование захваченных волн используется дляобъяснения многих эффектов в физике океана.

В частности, распространениедлинных волн цунами без потери энергии связано с длинными подводнымихребтами в океане. В этой области существует большое количество работ. Мыотметим только некоторые из них [69, 70, 74, 75, 76, 77]. Отметим также, что, какправило, стационарные проблемы для захваченных волн рассматриваются дляслучая, когда неоднородность дна в функции D(x1, x2) зависит только от одpной пространственной переменной x1 или от полярного радиуса r = x21 + x22.Распространение волн в нестационарном случае над подводными хребтами изу-чено не очень хорошо. В данной главе будут рассмотрены некоторые модельные примеры, описывающие распространение длинных волн над подводнымихребтами, порожденных непрерывными во времени и локализованными в пространстве источниками.

Такая постановка задачи относится к так называемойпоршневой модели в теории волн цунами, в случае когда подводный источникрасполагается на вершине хребта или рядом с его вершиной.В качестве примеров дна мы используем следующие функции.1. Подводная банка и прямой хребет описываются формулойD(x1 , x2) = 1 −a0,1 + ((x1 − a1 )/b1)2 + ((x2 − a2 )/b2)2(1.16)здесь a0 , a1 , a2, b1, b2 — действительные параметры.2. Подводный хребет, изогнутый по дуге окружности описывается формулойD(x1, x2) = 1 −a01 + ((u − au )/bu)2 + ((φ · R − aφ )/bφ )2(1.17)22Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации