Диссертация (1102250), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1.8. Возвышение свободной поверхности жидкости, построенное в окрестности первыхчетырех точек самопересечения фронтаздесь a0 , au , aφ , bu, bφ , R — действительные параметры,φ = arctanx2 − x02x1 −,x01u = (x1 − x01) cos φ + (x2 − x02) sin φ − R,(x01, x02) — центр окружности.3. Подводный зигзагообразный хребет описывается формулойD(x1, x2) = 1 −a01 + (x1 − a1 · sin(x2/p))2/b21 + (x2 − a2 )2/b22(1.18)здесь a0 , a1 , a2 , b1, b2, p — действительные параметры.Основные результаты данной главы заключаются в асимтотически-численномописании решений задачи (1.1), (1.2) и установлении появления нестационарных захваченных волн, движущихся над подводными хребтами с фронтами, накоторых есть сингулярности, фокальные точки, каустики и т.
д.На Рисунке 1.8 изображено возвышение свободной поверхности жидкостив окрестности первых четырех точек самопересечения фронта.231.3БлагодарностиЯ выражаю особую благодарность научному руководителю, С.Ю. Доброхотовуза поставленные задачи, научное руководство и всестороннюю помощь. Такжея выражаю благодарность В.Е. Назайкинскому за помощь, консультации, внимательное прочтение рукописи и ряд полезных замечаний и А.И. Шафаревичуза помощь и консультации при выполнении данной работы.1.4Публикации автора по теме диссертацииРезультаты диссертации, выносимые на защиту, отражены в следующих публикациях (все статьи опубликованы в журналах из списка ВАК):1.
Д.А. Ложников, С.А. Сергеев, О поведении локализованного решения волнового уравнения в окрестности точки локализации при малых временах,Матем. Заметки, 2012, 91:1, 149-1532. D.A. Lozhnikov, Analytic-Numerical Description of Asymptotic solution of aCauchy Problem in a Neighbourhood of Singularities for a Linearized Systemof Shallow-Water Equations, RJMP, 19(1), pp. 44-62, 20123. S.Yu. Dobrokhotov, D.A. Lozhnikov, С.A. Vargas, Asymptotics of waves on theshallow water generating by spatially-localized sources and trapped by underwaterridges, RJMP, 20134. S.Yu.
Dobrokhotov, D.A. Lozhnikov, V.E. Nazaikinskii, Wave Trains Associatedwith a Cascade of Bifurcations of Space-Time Caustics over Elongated UnderwaterBanks, Math. Model. Nat. Phenom., Vol. 8, No. 5, 2013, pp. 32–43Глава 2Асимптотическое решение вокрестности регулярныхточек фронта2.1Постановка задачиМы рассматриваем длинные волны в области с характерным размером L, порожденные локализованным источником с характерным размером l.
Мы предполагаем, что l ≪ L. Данное предположение дает нам малый параметр µ = l/L.Такие волны описываются линеаризованной системой уравнений мелкой водыв безразмерных переменных∂η+ div(C 2u) = 0,∂t∂u+ ∇η = 0,∂tη|t=0 = η0C(x) =x − x0µ,pD(x),u|t=0 = 0.x = (x1, x2) ∈ R2 , (2.1)(2.2)Здесь η(x, t) — возвышение свободной поверхности жидкости, D(x) — глубина бассейна, η 0 (z) — заданная функция, убывающая на бесконечности быстрее,2425чем1|z|δ ,δ > 1. Задача (2.1), (2.2) возникает, в частности, при моделированиираспространения волн цунами в океане [69, 70].В качестве основного примера начального возвышения свободной поверхности жидкости, мы используем следующую функцию (см.
[32], [71], [72])η 0 (z) =A,(1 + (z1 /b1)2 + (z2 /b2)2)3/2(2.3)где b1, b2, A — положительные параметры.2.2Асимптотическое решение в окрестностирегулярных точек фронтаДовольно эффективные асимптотические формулы для решения задачи Кошис локализованными начальными данными были получены в работах [29], [30],[32], [33], [34], [35]. Сначала решение локализовано в окрестности точки (точкасоответствует положению источника). Затем решение локализовано в окрестности замкнутой кривой, которая сначала гладкая и близка к окружности, новпоследствии на ней могут появляться точки поворота и фокальные точки.Данная ситуация изображена на Рисунке 2.1, на котором изображен кусокволнового фронта в момент прохождения на круглой симметричной подводнойбанкой.
Здесь точки A, C — это фокальные точки, B — это точка самопересечения фронта. Волновой фронт изображен жирной линией, дно изображеноконтурным графиком.Согласно работам [30], [34], [35] асимптотика, соответствующая волновойчасти решения задачи (2.1), (2.2) строится следующимРассмотрим образом.p1x, x = 1 , и4-D фазовое пространство R4p,x с координатами p = p2x22D конфигурационное пространство R2x с координатами x.
Рассмотрим в R4p,xследующую задачу Коши для системы уравнений Гамильтона с гамильтонианом26Рис. 2.1. Прохождение волнового фронта над круглой подводной банкой. Точки A, C —фокальные точки, B — точка самопересечения фронтаH(x, p) = |p| · C(x):ṗ = −Hx ≡ −|p|∇C(x),p|t=0 = n(ψ),ẋ = Hp ≡x|t=0 = x0,pC(x),|p|ψ ∈ [0, 2π],(2.4)где n(ψ) = (cos ψ, sin ψ)T . Обозначим через P(ψ, α, t), X (ψ, α, t) решения системы (2.4), удовлетворяющие начальным условиям p|t=0 = n(ψ) и x|t=0 = α·n(ψ).Положив α = 0, мы получаем вектор-функции X(ψ, t) = X (ψ, 0, t), P (ψ, t) =P(ψ, 0, t). При каждом фиксированном ψ эти функции определяют характеристики в фазовом пространстве.
Множество Γt концов этих характеристик вфиксированный момент времени t и ψ ∈ [0, 2π] называется волновым фронтом в фазовом пространстве. Его проекция γt = {x = X(t, ψ)|, ψ ∈ [0, 2π]} наплоскость R2x называется волновым фронтом на плоскости. Кривая Γt всегдагладкая. В противоположность ей, кривая γt после некоторого момента времени t∗ может иметь точки самопересечения и фокальные точки. Асимптотикарешения локализована в окрестности кривой γt, но необходимо отметить, чтомаксимум модуля возвышения |η| расположен около фронта γt , а не прямо над27ним.
Фокальные точки определяются как точки, в которых равна нулю производная Xψ =∂X∂ψ= 0. Регулярными точками называются точки, в которыхXψ 6= 0.Точку x из окрестности фронта γt можно зафиксировать с помощью двухкоординат: ψ(x, t), y(x, t). Здесь ψ(x, t) определяется из условия ортогональности вектора y = x − X(ψ, t) вектору Xψ , касательному к γt в точке X(ψ, t):hx − X(ψ, t), Xψ (ψ, t)i = 0. Также нам потребуется индекс Морса для каждойточки фронта X(ψ, t). Индекс Морса определяется как количество фокальныхточек, лежащих на траектории {X(ψ, τ ), τ ∈ [+0, t]}, или, что то же самое,как число перемен знака у якобиана det(Ẋ, Xψ ) на интервале [+0, t]. Такжеопределим C0 = C(x0) и фазуS(t, x) = hP (ψ(t, x), t), x − X(ψ(t, x), t)i =sD(0)· y.D(X(ψ(t, x), t))(2.5)Теорема [30]: При t > 0 в некоторой окрестности волнового фронта γt ,не зависящей от µ, и вне некоторой окрестности фокальных точек справедливоследующее соотношение:√ Xpη(x, t) = µj−×Re eiπmj2·F1|Xψ (ψj , t)|Sj (t, x), n(ψj )µsC0C(X(ψj , t), t)3/2+O µψj =ψj (t,x)Здесь и далее под O(µα ) понимается оценка в норме C(R2x )..(2.6)Функция F (z, ψ) имеет видZe−iπ/4 ∞ √ 0ρη̃ (ρ, ψ)eizρdρ,F (z, ψ) = √2π 0где η̃ 0 (z) — это преобразование Фурье функции η 0 (z)(2.7)28η̃ 0(z) =1 Z2πη 0 (z) exp(ihk, zi)dz.R2Дальнейшее упрощение формулы (2.6) основано на выборе специального видаисточника.
Важный пример функции η 0 дается формулой (2.3), в которой A, b1 ,b2 — действительные параметры. Преобразование Фурье функции η 0(z) имеетpвид η̃ 0 (ρ, ψ) = A·e−ρ·β(ψ) , β(ψ) = b21 cos2 ψ + b22 sin2 ψ, и вследствие его простойформы можно вычислить интеграл (2.7) в элементарных функцияхπAe−i 4гдеF (z, ψ) = √ p3/2 ,2222 2b1 cos2 ψ + b2 sin ψ − iz(2.8) qπ π2222arctan z/ b1 cos ψ + b2 sin ψ ∈ − ,.2 2На Рисунках 2.3,2.4 изображено возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности точки самопересечения фронта. Участок фронта, для которого построены эти возвышения, изображен на Рисунке 2.1.Рис.
2.2. Сечение возвышения свободной поверхности жидкости по оси Y , проходящее черезточку самопересечения фронта29Рис. 2.3. Возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности точки самопересеченияфронта. Вид с наружной стороны фронтаРис. 2.4. Возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности точки самопересеченияфронта. Вид с внутренней стороны фронта30На Рисунке 2.2 изображено сечение возвышения свободной поверхности жидкости по оси Y , проходящее через точку самопересечения фронта.
Первая волнапостроена по данным для Рисунков 2.3,2.4, а вторая соответствует сечению пооси Y участку фронта, расположенному между фокальными точками A и C(см. Рисунок 2.1).2.3Алгоритм построения возвышения свободнойповерхности жидкости в окрестностирегулярных точек фронтаСначала нужно вычислить фронт, который определяется как множество концов траекторий гамильтоновой системы (2.4). Выше мы обозначили координатыточки фронта на плоскости (x1, x2) через X(ψ, t) = (X1(ψ, t), X2(ψ, t)), импульсчерез P (ψ, t) = (P1 (ψ, t), P2(ψ, t)), ψ — это угол к оси x1 под которым вышлатраектория гамильтоновой системы.
Гамильтонова система решается численно. В данной работе для решения системы Гамильтона использовался методРунге-Кутты 4-го порядка точности.Рис. 2.5. Сетка для построения возвышения свободной поверхности жидкости в окрестностирегулярных точек фронтаПосле того, как вычислен фронт, нужно проделать некоторые дополнитель-31ные построения. В данной работе через каждую точку фронта Xi (ψ, t) проводился отрезок, перпендикулярный фронту в этой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
