Диссертация (1102250), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Поэтому здесь используется подход, предложенный в работах С.Ю.Доброхотова, А.И. Шафаревича, Б. Тирроци, С.Я. Секерж-Зеньковича, Т.Я.Тудоровского, позволяющий в результате интегрирования по дополнительномупараметру, перейти от быстро убывающих решений к быстро осциллирующим,для построения которых можно использовать канонический оператор Маслова,а затем упростить результаты, используя соображения типа погранслоя, и сделать реализацию полученных формул в виде компьютерных программ.Теоретическая и практическая ценность.

Было проведено исследование асимптотического решения в окрестности фокальных точек. Составлен алгоритм численной реализации асимптотических формул. Были исследованы решения, описывающие, в частности, поведение волн над подводными хребтами.Обнаружено явление образования цугов волн, порождаемых локализованнымиисточниками в бездисперсионных средах.Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывалисьавтором на международной конференции ”Days of Diffraction” в 2011 и 2012 гг,на конференции МФТИ в 2011, 2012 гг, на семинаре М.И. Вишика механикоматематического факультета МГУ в 2012 г, на семинаре под руководством Г.М.Кобелькова и А.В. Фурсикова в Институте вычислительной математики РАНв 2013 г.Публикации.

Основные результаты публикации отражены в работах [65],[66], [67], [68]. Из результатов совместных работ в диссертацию автором включены результаты, полученные им лично.91.2Краткое содержание диссертации1.2.1ВведениеВо введении делается обзор литературы, обосновывается актуальность работы,сформулированы основные положения, выносимые на защиту, научная новизна,приводится список публикаций автора по теме диссертации.1.2.2Асимптотическое решение в окрестностирегулярных точек фронтаПостановка задачи.

Мы рассматриваем длинные волны в области с характерным размером L, порожденные локализованным источником с характернымразмером l. Мы предполагаем, что l ≪ L. Данное предположение дает нам ма-лый параметр µ = l/L. Такие волны описываются линеаризованной системойуравнений мелкой воды в безразмерных переменных∂η+ div(C 2u) = 0,∂t∂u+ ∇η = 0,∂tη|t=0 = η 0C(x) =x − x0µ,pD(x),x = (x1, x2) ∈ R2 , (1.1)u|t=0 = 0.(1.2)Здесь η(x, t) — возвышение свободной поверхности жидкости, D(x) — глубина бассейна, η 0 (z) — заданная функция, убывающая на бесконечности быстрее,чем1,|z|δδ > 1.

Задача (1.1), (1.2) возникает, в частности, при моделированиираспространения волн цунами в океане [69],[70].В качестве основного примера начального возвышения свободной поверхности жидкости, мы используем следующую функцию (см. [32], [71], [72])η 0 (z) =A,(1 + (z1 /b1)2 + (z2 /b2)2)3/2где b1, b2, A — положительные параметры.(1.3)10Построение асимптотического решения в окрестности регулярных точек фронта.

Довольно эффективные асимптотические формулы для решениязадачи Коши с локализованными начальными данными были получены в работах [29], [30], [32], [33], [34], [35]. Сначала решение задачи (1.1), (1.2) локализовано в окрестности точки (точка соответствует положению источника).Затем решение локализовано в окрестности замкнутой кривой, которая сначала гладкая и близка к окружности, но впоследствии на ней могут появлятьсяточки поворота и фокальные точки.Рис.

1.1. Прохождение волнового фронта над круглой подводной банкойДанная ситуация изображена на Рисунке 1.1, на котором изображен кусокволнового фронта в момент прохождения на круглой симметричной подводнойбанкой. Здесь точки A, C — это фокальные точки, B — это точка самопересечения фронта. Волновой фронт изображен жирной линией, дно изображеноконтурным графиком.Согласно работам [30], [34], [35] асимптотика, соответствующая волновойчасти решения задачи (1.1), строится следующимРассмотрим образом. 4-Dp1x, x =  1 , и 2Dфазовое пространство R4p,x с координатами p = p2x211конфигурационное пространство R2x с координатами x.

Рассмотрим в R4p,x следующую задачу Коши для системы уравнений Гамильтона с гамильтонианомH(x, p) = |p| · C(x):ṗ = −Hx ≡ −|p|∇C(x),p|t=0 = n(ψ),ẋ = Hp ≡x|t=0 = x0,pC(x),|p|ψ ∈ [0, 2π],(1.4)где n(ψ) = (cos ψ, sin ψ)T . Обозначим через P(ψ, α, t), X (ψ, α, t) решения системы (1.4), удовлетворяющие начальным условиям p|t=0 = n(ψ) и x|t=0 = α·n(ψ).Положив α = 0, мы получаем вектор-функции X(ψ, t) = X (ψ, 0, t), P (ψ, t) =P(ψ, 0, t). При каждом фиксированном ψ эти функции определяют характеристики в фазовом пространстве.

Множество Γt концов этих характеристик вфиксированный момент времени t и ψ ∈ [0, 2π] называется волновым фронтом в фазовом пространстве. Его проекция γt = {x = X(t, ψ)|, ψ ∈ [0, 2π]} наплоскость R2x называется волновым фронтом на плоскости. Кривая Γt всегдагладкая. В противоположность ей, кривая γt после некоторого момента времени t∗ может иметь точки самопересечения и фокальные точки.

Асимптотикарешения локализована в окрестности кривой γt, но необходимо отметить, чтомаксимум модуля возвышения |η| расположен около фронта γt , а не прямо надним. Фокальные точки определяются как точки, в которых равна нулю производная Xψ =∂X∂ψ= 0. Регулярными точками называются точки, в которыхXψ 6= 0.Точку x из окрестности фронта γt можно зафиксировать с помощью двухкоординат: ψ(x, t), y(x, t). Здесь ψ(x, t) определяется из условия ортогональности вектора y = x − X(ψ, t) вектору Xψ , касательному к γt в точке X(ψ, t):hx − X(ψ, t), Xψ (ψ, t)i = 0. Также нам потребуется индекс Морса для каждойточки фронта X(ψ, t).

Индекс Морса определяется как количество фокальныхточек, лежащих на траектории {X(ψ, τ ), τ ∈ [+0, t]}, или, что то же самое,12как число перемен знака у якобиана det(Ẋ, Xψ ) на интервале [+0, t]. Такжеопределим C0 = C(x0) и фазуS(t, x) = hP (ψ(t, x), t), x − X(ψ(t, x), t)i =sD(0)· y.D(X(ψ(t, x), t))(1.5)Теорема [30]: При t > 0 в некоторой окрестности волнового фронта γt ,не зависящей от µ, и вне некоторой окрестности фокальных точек справедливоследующее соотношение:√ Xpη(x, t) = µjiπm− 2j×Re e·F1|Xψ (ψj , t)|Sj (t, x), n(ψj )µsC0C(X(ψj , t), t)ψj =ψj (t,x)+ O µ3/2 .(1.6)Здесь и далее под O(µα ) понимается оценка в норме C(R2x ).Функция F (z, ψ) имеет видZe−iπ/4 ∞ √ 0ρη̃ (ρ, ψ)eizρdρ,F (z, ψ) = √2π 0где η̃ 0 (z) — это преобразование Фурье функции η 0 (z)0η̃ (z) =1 Z2π(1.7)η 0 (z) exp(ihk, zi)dz.R2Дальнейшее упрощение формулы (1.7) основано на выборе специального видаисточника.

Важный пример функции η 0 дается формулой (1.3), в которой A, b1 ,b2 — действительные параметры. Преобразование Фурье функции η 0(z) имеетp0−ρ·β(ψ)вид η̃ (ρ, ψ) = A·e, β(ψ) = b21 cos2 ψ + b22 sin2 ψ, и вследствие его простойформы можно вычислить интеграл (1.7) в элементарных функцияхπAe−i 4F (z, ψ) = √ p3/2 ,22222 2b1 cos ψ + b2 sin ψ − iz(1.8)13где q π π2222arctan z/ b1 cos ψ + b2 sin ψ ∈ − ,.2 2В диссертации описан алгоритм численного построения асимптотических формул в окрестности регулярных точек фронта.

Кратко он выглядит следующимобразом. Сначала нужно вычислить фронт, который определятся как множество концов траекторий гамильтоновой системы (1.4). При этом система Гамильтона решается численно. В данной работе использовался метод РунгеКутты 4-го порядка точности. После того, как посчитан фронт, через каждуюточку фронта проводится отрезок, перпендикулярный фронту так, чтобы онделился точкой фронта пополам.Рис.

1.2. Пример сетки для окрестности регулярных точек фронтаЗатем на каждом таком отрезке строится неравномерная сетка так, чтобы ееузлы были гуще около фронта. Все отрезки строятся одинаковой длины, сеткатакже делается одинаковой на всех отрезках. На Рисунке 1.2 изображен кусоксетки, построенной для окрестности регулярных точек фронта. Затем в узлахсетки вычисляется возвышение свободной поверхности жидкости. Если волновой фронт имеет такую форму, что линии сетки, соответствующие различнымучасткам волнового фронта не имеют пересечений, то при вычислении возвышения по формуле (1.6) суммирования не будет.

Если же линии сетки имеют пересечения, то итоговое возвышение вычисляется как сумма возвышений14от различных участков волнового фронта. При этом, вклад в итоговое возвышение (в точке сетки, соответствующей какому-то участку фронта) от другихучастков волнового фронта в данной работе вычислялся с помощью линейнойинтерполяции. Примером таких областей могут служить точки самопересечения фронта (точка B на Рисунке 1.1).Сравнение асимптотических формул для окрестности регулярных точек фронта с численным моделированием волн цунами. В данной работе при численном решении уравнений (1.1), (1.2) использовалась явная схема,построенная на разнесенном шаблоне (см. [36], схема 22◦). В качестве сравниваемой области была выбрана окрестность точки самопересечения фронта.Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации