Автореферат (1102249), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В окрестности такой точки асимптотическоерешение можно представить двумя различными способами [8]. Первый способ ос-новывается на том, что если в некоторой окрестности фокальной точки r∗ отличенот нуля якобианdet C (0,2) (ψ, α) = P1α X2ψ − P1ψ X2α ,то в этой окрестности решение можно представить в виде интеграла∗ηasrZ∞ Z∞ " 1ρπρI ∗p= Re· e−i 2 ·Ind (r ) ·· ei µ ·(α−P1 (ψ,α,t)X1 (ψ,α,t)+p1 ·x1 ) 2π| det C (0,2)|0 −∞(0,2)×Ae (ψ, α)α=α(0,2) (p1 ,x2 ,t),ψ=ψ (0,2) (p1 ,x2 ,t)dp1 · dρ .(9)Здесь A — это амплитуда, e(0,2) (ψ, α) — срезающая функция, носитель которойпринадлежит некоторой окрестности фокальной точки, а величины α = α(0,2) (p1, x2, t),ψ = ψ (0,2) (p1, x2, t) являются решениями уравненийP1 (ψ, α, t) = p1,X2 (ψ, α, t) = x2.Второй способ справедлив в том случае, когда в некоторой окрестности фокальнойточки отличен от нуля якобианdet C (1,0) (ψ, α) = X1α P2ψ − X1ψ P2α .16Перейти от рассмотрения одного случая к другому можно просто заменив индексы1 → 2 и 2 → 1 у координат X и импульсов P.

В связи с этим можно рассматривать∗в случае, когда отличен от нуля якобиандальнейшие упрощения формулы для ηasdet C (0,2) (ψ, α).Функция (9) достаточно быстро убывает при удалении от фронта Γt , поэтомуинтеграл (9) можно упростить. Это упрощение основано на соображениях комплексного ростка [22] или погранслоя [23]. Для реализации этих соображений нампонадобятся разложения фазы в интеграле (9). Частично такие разложения былипроделаны в работе [8]. В диссертации сформулирована и доказана следующаятеорема.Теорема: 1).

В окрестности фокальной точки r∗ справедливо равенство∗= Reηas×гдеZ∞ Z∞0 −∞(rπ1I ∗· e−i 2 ·Ind (r )2·π√ρ · |P1ψ | · C 0q|(P1ψ Ẋ2 − Ṗ1 X2ψ ) − h∇C 0, n0(ψ)i · P1 X2ψ |ioi· µρ ·Φdψ · dρ + O(µ) ,×A|α=0 · e(ψ) · e(x2 − X2 )22(P1ψ Ṗ2 − Ṗ1 P2ψ ) + h∇C 0 , n0(ψ)i · (P1ψ P2 − P1 P2ψ )×.(P1ψ Ẋ2 − Ṗ1 X2ψ ) − h∇C 0, n0(ψ)i · P1 X2ψ(10)Φ = hP, x − Xi −17(11)2). Если в качестве η 0 (z) взять функцию (3), тоpZ∞ π|P|·|P | · C(X, t) · e(ψ)a∗1ψ∗rηas= √ · Re e−i 2 Ind(r ) ·2 2π00−∞P1ψ Ẋ2 − Ṗ1 X2ψ − h∇C , n (ψ)i · P1 X2ψ ×· dψβ(ψ) −iµ·Φ2(12)Фаза Φ вычисляется по формуле (11). Величина Ind(r∗) — это индекс Масловафокальной точки. Он может принимать одно из четырех значений: 0, 1, 2, 3. Вработе [3] показано, что для задачи (1), (2) его можно вычислить через индексМорса, приходящей в эту точку траектории системы Гамильтона.В диссертации приводится алгоритм построения асимптотического решенияв окрестности фокальной точки.

Алгоритм основан на том факте, что формулы(10)- (12) имеют одинаковый вид в любой системе координат, которая полученаиз исходной при помощи сдвига и поворота и устроен таким образом, что построенное возвышение в окрестности фокальной точки наилучшим образом переходитв возвышение свободной поверхности жидкости, построенное в окрестности регулярных точек фронта. Основные трудности, которые возникают в данной задачеследующие. Формулы (10)- (12) справедливы только в той окрестности фокальнойточки, в которой отличен от нуля якобиан: подкоренное выражение, стоящее в знаменателе во всех формулах.

При произвольном выборе системы координат, якобиан обращается в нуль близко от фокальной точки. Тем самым, область действияформул (10)- (12) получается небольшой. Более того, может так получиться, что18после построения возвышений в окрестности фокальной точки и в окрестностирегулярных точек фронта, между областями, в которых построены поверхностибудет разрыв, т.е. они не будут перекрываться. В связи с этим были предпринятыследующие шаги. Сначала строится возвышение в окрестности регулярных точекфронта. Оно строится так, чтобы максимально близко подходило к фокальнойточке. Затем мы начинаем строить возвышения свободной поверхности жидкостив окрестности фокальной точки. Делается это так. Мы помещаем центр новойсистемы координат в фокальную точку и вычисляем в ней возвышение свободнойповерхности жидкости.

Затем мы начинаем поворачивать новую систему координат в пределах φ ∈ [0, 2π] с каким-то шагом δφ и в каждой новой системекоординат мы вычисляем возвышение свободной поверхности жидкости. На самом деле не нужно вычислять возвышение в каждой системе координат. Сначаланужно оценить насколько близко от фокальной точки обращается в нуль новыйякобиан. Если он обращается в нуль на расстоянии большем, чем минимальнодопустимое, то в такой системе координат мы вычисляем возвышение свободнойповерхности жидкости.

В итоге у нас получается набор возвышений. Среди нихделается отбор возвышения, которое наилучшим образом переходит в возвышение свободной поверхности жидкости, построенное для окрестности регулярныхточек фронта. В зависимости от того, как определять наилучшее соответствиефокального возвышения регулярному, могут отбираться различные фокальныепрофили.На Рисунке 5 изображена склейка возвышения свободной поверхности жидкости для окрестности регулярных точек фронта с возвышением в окрестности19Рис.

5. Склейка возвышения свободной поверхности жидкости для окрестности регулярныхточек фронта с возвышением в окрестности фокальной точкифокальной точки. Здесь критерием наилучшего перехода является минимум отмаксимума разности возвышений в области их пересечения.Асимптотическое решение при малых временахАсимптотическое решение задачи (1), (2) было построено в работах [4], [8] и задается интегрированием от канонического оператора Маслова. При малых временах это выражение представляет собой двойной интеграл, потому что начальноелагранжево многообразие не проектируется диффеоморфно на плоскость (x1, x2).С другой стороны малые времена представляют интерес, потому что при малыхвременах происходит зарождение волны цунами, волна имеет достаточно большую амплитуду и ее можно наблюдать.

Поэтому в данной работе на временах20t ≤ T · µ мы исследуем и упрощаем формулы, задаваемые каноническим опера-тором Маслова. Для источников специального вида получены явные формулы. Вдиссертации сформулирована и доказана следующая теорема.Теорема: 1). Главный член в асимптотике решения задачи (1), (2) при t ≤T · µ, где T > 0 — константа, имеет вид 2π ∞Z Z hi1i µρ ·(hn(ψ),xi−C(0)·t−h∇C(0),xi·t)η(x, t) = √ · Redψdρρ · Ṽ (ρn(ψ)) · e2 2π00(13)+O(µ) + O(t).2). Для источника (3) справедлива формула 2πZ1dψη(x, t) = √ · Re (β(ψ) − µi · (hn0(ψ), xi − C(0) · t − h∇C(0), xi · t))22 2π0(14)+O(µ) + O(t).Случай симметричного источника.

В случае, когда источник является симметричным, т.е. b1 = b2 = b, то интеграл (14) можно вычислить явноη(x, t) =√2π · Rea(a2 − 1)3/2t(C(0) − h∇C(0), xi) + i βµгде a = − |x||x| .+ O(µ) + O(t),(15)Случай несимметричного источника. В том случае, когда источник являетсянесимметричным, интеграл, который стоит в формуле (14), явно не вычисляется,и его надо считать численно. На Рисунках 6, 7 изображено асимптотическоерешение линеаризованной системы уравнений мелкой воды при малых временах.21Рис.

6. Случай симметричного источникаРис. 7. Случай несимметричного источника.Угол θ = 0На Рисунке 6 изображен случай симметричного источника, а на Рисунке 7 случайнесимметричного источника.Распространение длинных волн над подводными банками ихребтамиВолны, распространяющиеся над подводными хребтами и банками, представляютсобой довольно интересные объекты в теории волн на воде и физике океана. Обычно они рассматриваются как стационарные или квазистационарные состояния в3-D задаче о волнах на воде, или как решения пространственно-двумерного волнового уравнения с оператором Лапласа–Бельтрами −∇C 2(x1, x2)∇ в простран-ственной части, если используется длинноволновое приближение.

Здесь C 2 =22gD(x1, x2), где D(x1, x2) — глубина в точке x = (x1, x2), а g — ускорение силытяжести. Существование захваченных волн используется для объяснения многихэффектов в физике океана. В частности, распространение длинных волн цунамибез потери энергии связано с длинными подводными хребтами в океане. В этойобласти существует большое количество работ. Мы отметим только некоторые изних [18, 19, 24, 25, 26, 27]. Отметим также, что, как правило, стационарные проблемы для захваченных волн рассматриваются для случая, когда неоднородностьдна в функции D(x1, x2) зависит только от одной пространственной переменнойpx1 или от полярного радиуса r = x21 + x22. Распространение волн в нестационар-ном случае над подводными хребтами изучено не очень хорошо.

В данной главебудут рассмотрены некоторые модельные примеры, описывающие распространение длинных волн над подводными хребтами, порожденных непрерывными вовремени и локализованными в пространстве источниками. Такая постановка задачи относится к так называемой поршневой модели в теории волн цунами, вслучае когда подводный источник располагается на вершине хребта или рядом сего вершиной.В качестве примеров дна мы используем следующие функции.1. Подводная банка и прямой хребет описываются формулойD(x1, x2) = 1 −a0,1 + ((x1 − a1 )/b1)2 + ((x2 − a2 )/b2)2здесь a0 , a1, a2 , b1, b2 — действительные параметры.23(16)2. Подводный хребет, изогнутый по дуге окружности описывается формулойD(x1, x2) = 1 −a01 + ((u − au )/bu)2 + ((φ · R − aφ )/bφ)2(17)здесь a0 , au, aφ , bu, bφ , R — действительные параметры,φ = arctanx2 − x02x1 −,x01u = (x1 − x01 ) cos φ + (x2 − x02) sin φ − R,(x01, x02) — центр окружности.3.

Подводный зигзагообразный хребет описывается формулойD(x1, x2) = 1 −a01 + (x1 − a1 · sin(x2/p))2/b21 + (x2 − a2 )2/b22(18)здесь a0 , a1 , a2 , b1 , b2 , p — действительные параметры.Рис. 8. Возвышение свободной поверхности жидкости, построенное в окрестности первых четырех точек самопересечения фронта24Основные результаты данной главы заключаются в асимтотически-численномописании решений задачи (1), (2) и установлении появления нестационарных захваченных волн, движущихся над подводными хребтами с фронтами, на которыхесть сингулярности, фокальные точки, каустики и т.

д.На Рисунке 8 изображено возвышение свободной поверхности жидкости вокрестности первых четырех точек самопересечения фронта.ЗаключениеВ работе было проведено исследование асимптотического решения задачи Кошидля двумерного волнового уравнения с переменной скоростью и линеаризованной системы уравнений мелкой воды в бассейне с переменным дном с учетомимеющихся фокальных точек и пространственно-временных каустик. Было построено и исследовано асимптотическое решение в окрестности фокальных точек, исследована склейка асимптотического решения в окрестности фокальныхточек с асимптотическим решением в окрестности регулярных точек фронта.

Было построено и исследовано асимптотическое решение при малых временах. Былорассмотрено распространение длинных волн над вытянутыми подводными банками и хребтами, показано, что над подводными хребтами могут образовыватьсязахваченные волны и пространственно-временные каустики. В дальнейшем предполагается адаптировать полученные в данной работе алгоритмы для расчетовцунами на реальном дне.25БлагодарностиЯ выражаю особую благодарность научному руководителю, С.Ю.

Характеристики

Список файлов диссертации