Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 47
Текст из файла (страница 47)
2-п еоб азованне (6-32) Реп; (со) = ~~~~~а()с) ЙпЯсо), у-т Такое представление №т(ш) и Реп(ш) позволяет нам записать Нрд(ш) в более простой форме Нрд(ш) = №т(ш)/Реп(ш) = ~Н™ттос(ш) +1с№тстао(ш)1 Я~епто1(ш) +)Репстая(М~ = (б 33) ~ 1№т(ш)! 2фоит(со)1 /~ ~ Реп(со) ! 1 ф реп(со Я (6-33) Используя (6-33) и правила деления комплексных чисел (А-2) и (А-19'), приведенные в приложении А, мы получаем АЧХ БИХ-фильтра в виде ~НОд(ш)) = ~№т(ш)~/~Реп(ш))= Р~пттеаМ1 + Р~~тзтаз(шй )/( ~Рептас(ш)1 + ~Репстах(ш)Ъ 2) Далее, фазо-частотная характеристика фильтра фрд(ш) равна разности аргументов числителя и знаменателя, или фпп(ш)=фхъ (ш) -фр,„( ) = = Гап 11№тстал(ш)/Мп~тас(шЯ вЂ” Сап цРеп; (ш)/Рептас(ш)1 (6-35) Напомним, что мы проделали все эти алгебраические упражнения с целью вывода выражений для расчета АЧХ )Нрд(ш) ! и ФЧХ фрд(ш) БИХ-фильтров через коэффициенты фильтра в (6-30) и (6-32). Скоро мы воспользуемся этими выражениями для анализа реального БИХ-фильтра.
Следует отметить, что мы можем использовать (6-34) и (6-35) для вычисления АЧХ и ФЧХ БИХ-фильтров как функции частоты ш. Так что же такое ш? Это нормированная круговая частота, представленная углом на комплексной плоскости, как на рисунке 6.13, принимающая значения в диапазоне — л < ш < +л. В единицах круговой частоты дискретизации ш, (см. рисунок 6.14) ш перекрывает диапазон — ш, /2 ( ш ( + ш,/2. В единицах нашей старой знакомой~, выражения (6-34) и (6-35) справедливы для диапазона от — ~;/2 до +~,/2 Гц.
Так, например, если цифровые данные поступают на вход фильтра с частотой 1; = 1000 отсчетов в секунду, мы можем использовать (6-34), чтобы построить график АЧХ фильтра в диапазоне частот от — 500 Гц до +500 Гц. Хотя выражения, описывающие комплексную частотную характеристику Нсгд(ш), амплитудно-частотную характеристику )Нсрс(ш)) и фазо-частотную характеристику фрд(ш), на первый взгляд выглядят сложновато, мы продемонстрируем их простоту и полезность на примере анализа простого БИХ ФНЧ второго порядка, показанного на рисунке 6.19, частота среза которого равна ш, /10.
Рассмотрев структуру фильтра, мы можем записать его разностное уравнение в виде у(п) = 0.0605х(п) + 0.121х(п-1) + 00605х(п-2) + (6-36) + 1. 194у(п — 1) — 0.43бу(п — 2), г44 Глава 6. Фильт ысимп льснойха акте истикойбесконечнойдлины -О 436 О 0605 Рис. 6.19. Пример БИХ ФНЧ второго порядка или в г-области У(г) = 0 ОБ05Х(г) + 0.121Х(г)г-1+ О 0605Х(г)г 2 + ч 1. 194 у(г)г 1 — 0.436у(г)г-г, (6-37) Используя (6-25), записываем передаточную функцию фильтра Н(г) Н(г) = У(г)/Х(г) = [О.ОБ05го+ 0.121г 1+ 0.0605г 2] / (6-38) /[1 — 1.194г 1+ 0.436г 2~.
Подставив г = ех", мы видим, что частотная характеристика нашего БИХ-фильтра описывается выражением Нпя(ш) = [0.0605е Р" + О. 121в -)ты + 0.0605е -1ги1,~ (6-39) 7[1 — 1.194е Н" + 0.436е 12 1, Мы почти у цели. Вспомнив тождества Эйлера, а также то, что соз(0) = 1 и яп(0) = О, мы можем записать Нця(ш) в алгебраической форме: Нйя(ш) = (6-40), = (О 0605 + О. 121соз( 1ш) + 00605соэ(2ш) — 1[0. 121з1п( 1ш) "- 00605яп(2ш) ))/ 7[1 — 1. 194соз( 1ш) + О 436соз(2ш)+ 1[1. 194яп( 1ш) — О 436яп(2ш) И . Выражение (6-40) и есть то, к чему мы стремились, и если мы вычислим его модуль для частот в диапазоне — л ( ш < л, мы получим АЧХ ~НОд(ш) [ показанную черной линией на рисунке 6.20 (а). Для сравнения на этом же рисунке показана АЧХ КИХ-фильтра с 5 ответвлениями.
Хотя оба фильтра требуют одинакового количества операций (пять умножений на один выходной отсчет), АЧХ БИХ-фильтра выглядит лучше. Обратите внимание на более крутую переходную полосу и более низкий уровень боковых лепестков характеристики БИХ-фильтра по сравнению с характеристикой КИХ-фильтра'. 1 Чтобы зто сравнение БИХ и КИХ-фильтров имело смысл, коэффициенты обоих фильтров выбирались так, чтобы каждый из них аппроксимировал идеальную частотную характеристику, показанную па рисунке 5.17 (а). 246 6.3. 4-и еобразование (а) и=.я тт=-я/2 0 и =«!4 ет =я/2 о> =я (- г~2) (- Д4) (те/8) (те!4) (тв!2) (ь) Овя(и) дпя Кихифипьтра с 5 ответвтииияии Рис. 6.20.
Частотные характеристики БИХ-фильтра (черная линия), показанного на рисунке 6.19, и КИХ-фильтра с 5 ответвлениями (серая линия): (а) Амплитудно-частотные характеристики; (Щ фазо-частотные характеристики А теперь небольшое предупреждение. Знаки коэффициентов знаменателя (6-40) легко изменить на обратные, поэтому будьте внимательны, когда будете выполнять эти вычисления самостоятельно.
Некоторые авторы обходят эту трудность, показывая коэффициенты и(Й) на рисунке 6.18 со знаком минус, так что члены знаменателя (6-25) всегда суммируются. Кроме того, многие коммерческие программы проектирования БИХ-фильтров выдают значения коэффициентов а(тт), знаки которых при подстановке в структуру на рисунке 6.18 необходимо изменить на противоположные. (Если, используя программы расчета и анализа БИХ-фильтров, вы получили странный и неожиданный результат, попробуйте поменять знаки коэффициентов а((т) и посмотреть, решает ли эта операция вашу проблему.) Черная кривая на рисунке 6.20 ((т) — это фазо-частотная характеристика нашего БИХ-фильтра фпд(ат).
Обратите внимание на ее нелинейность по сравнению с ФЧХ КИХ-фильтра. (Помните, что нас интересует фазо-частотная характеристика только в полосе пропускания. Так что разрывы фазы КИХ-фильтра не иметот значения.) Нелинейность ФЧХ БИХ-фильтров является неотъемлемым их свойством и, помня о негативных последствиях этой нелинейности, описанных при обсуждении групповой задержки в разделе 5.8, следует внимательно рассматривать возможные ее проявления, когда мы решаем использовать БИХ-фильтры вместо КИХ-фильтров в каждом конкретном случае. Каждый разработчик должен задать себе следующий вопрос: «Какая величина искажения фазы допустима при выигрыше в количестве операций и скорости обработки данных от применения БИХ-фильтров?» И найти ответ на него. Чтобы проверить устойчивость БИХ-фильтра, мы должны вычислить корни полинома знаменателя второго порядка в (6-38).
Эти корни являются полюсами 246 Глава 6. Фильт ы с имп льснойха акте исгикой бесконачнойдлины Н(г), и если их модули меньше единицы, фильтр будет устойчивым. Чтобы вычислить эти два полюса г,т и г,з, сначала умножим Н(г) на гг/гг, чтобы получить поли- номы по положительным степеням г. После этого знаменатель Н(г) приобретает вид Знаменатель Н(г): г2 — 1. 194г ь 0.436 .
(6-41) Находя корни (6-41) с использованием квадратного уравнения из (6-15),мы получаем сомножители ЗнаменательН(г)' (г ч-г г)(г ь г з) = = (г — 0.597 +у0.282)(г — 0.597 — у0.282) (6-42) Итак, когда г = — г ~ = 0597 — )0.282 или г = — г г = 0.597 +70.282, знаменатель р~ р передаточной функции фильтра Н(г) обращается в ноль, а Н(г) становится бесконечной.
На рисунке 6.21 (а) мы показываем расположение полюсов 0.597 +70.282 и 0.597 — 70.282 вместе с поверхностью )Н(г) !. Поскольку эти полюсы расположены внутри единичного круга (их модули меньше единицы), БИХ-фильтр из нашего примера устойчив. На рисунке 6.21 (Ъ) толстой черной линией показана линия пересечения поверхности (Н(г) ~ с боковой поверхностью цилиндра, основанием которого служит единичная окружность. Поскольку на единичной окружности г = еУ", уравнение этой кривой имеет вид (Н(г) ~ц г = )Н(ш)(, т.
е. эта кривая представляет собой АЧХ фильтра на г-плоскости. Кривая ~Н(ш)( соответствует ~Нйй(ш) ~ на рисунке 6.20 (а). 6.3.3. Другие структуры БИХ-фильтров 1 Вдругих работах, а также в отечественной литературе Прямую форму П и ее транспонированный вариант называют также Каноническими структурами 1 и П. — (прим. лврвв.). Прямая форма 1 БИХ-фильтра на рисунке 6.18 может, быть преобразована в ряд других структур. Нам будет легче развить эту мысль, предположив, что количество прямых и обратных связей одинаково, а именно М = Н = 2, как на рисунке 6.22 (а), и рассматривая части фильтра, содержащие прямые и обратные связи, как два отдельных фильтра. Поскольку обе половины фильтра линейны, мы можем поменять их местами, как показано на рисунке 6.22 (Ъ), при этом выходной сигнал у(п) не изменится.
Цель такой перестановки состоит в том, что мы получаем две одинаковые цепочки задержек на рисунке 6.22 (Ь). Поскольку на рисунке 6.22 (Ь) одна и та же последовательность 8(п) сдвигается по обеим цепям задержки, мы можем убрать одну из них и получить упрощенную Прямую форму П, показанную на рисунке 6.22 (с), которая требует только половину элементов задержки по сравнению с Прямой формой 1. Другой популярной структурой БИХ-фильтров является Транспонированная прямая форма П. Мы получаем эту структуру, исходя из Прямой формы П, преобразовав ее узлы в сумматоры, а сумматоры в узлы, изменив направленИе стрелок и поменяв местами х(п) и у(п). (Операцию трацспонирования можно также применять к структурам КИХ-фильтров.) Выполнение этих операций дает Транспонированную прямую форму П, показанную на рисунке 6.22(д) '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
