Главная » Просмотр файлов » Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006)

Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 50

Файл №1095937 Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006)) 50 страницаЛайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937) страница 502018-12-31СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

Пример использования Метода 2 проектирования с помощью инвариантного преобразования импульсной характеристики Пусть передаточная функция прототипа задана в виде Н,(з) = 174 10.145/(х2 ч- 137.9453бз + 174 10. 145), (6-70) а период дискретизации Г, = 0.01. Теперь мы готовы выполнить Шаг 3 Метода 2. Чтобы представить Н (з) в виде суммы однополюсных функций, нам потребуется разложить знаменатель (6-70) на множители и использовать методы разложения на простейшие дроби. Для удобства начнем с того, что заменим константы в (6-70) переменными, так чтобы Н (3) = с/(3 ( Ь5 ( с), (6-71) где Ь = 137.94536, с = 174 10. 145. Далее, используя (6-15) при а = 1, мы можем факторнзовать квадратичный знаменатель (6-71) как Н ( (- ((( ° ((2 ~ (((' — ( ((4(('( ° Ь(2-4(( -7(((((( (672( Если мы подставим значения Ь и с в (6-72), мы обнаружим, что под корнем получилось отрицательное значения.

Это значит, что сомножители знаменателя в (6-72) комплексные. Поскольку нам придется выполнять много аналитических преобразований, заменим радикалы в (6-72) мнимой величиной/К, где/' =1 ( — 1) и К = ~(ЬЗ вЂ” 4с)/4(, так что Нс(з) = с/](з + Ь/2 ч-1К)(х + Ь/2 — 1К)], (6-73) Методы разложения на простейшие дроби позволяют нам разбить (6-73) на две отдельные дроби в виде Нс(з) = с/](з+ Ь/2+ 1К)(з+ Ь/2 — 1К)] = = К~/(з + Ь/2 +)К) + Кз/(з + Ь/2 — 1К) * (6-74) где, как можно убедиться, константа К~ = 1с/2К, а константа Кз комплексно сопряжена Кя или Кз = — 1с/2К. (Чтобы узнать больше о разложении на простейшие дроби, заинтересованный читатель может просмотреть учебники по институтскому курсу математики или справочники по математике для инженеров.) Следовательно, Н,(з) может быть выражена в форме (6-48), или Н,(з) = ( (с/2К)/(з + Ь/2 + 1К) + ( — )с/2К)/(з + Ь/2 — (К) (6-75) Наконец, мы получили то, что нужно.

Для аппроксимации исходного аналогового ФНЧ Чебышева мы используем коэффициенты из (6-69) при реализации улучшенной структуры БИХ-фильтра на рисункее 6.22. Посмотрим, получим ли мы такой же результат, используя Метод 2. 6.4. Метод инва иантного и еоб азоаания имп льснойха акте истики 269 Н(г) = (/С/2Я)/(1-Š— (Ь/2 )Л)ггг — 1) + ( — уе/2Я)/(1 Š— (Ь/2 )л)пг — 1) (6 76) Цель шага 5 состоит в том, чтобы преобразовать (6-76) в форму (6-52), чтобы мы могли определить коэффициенты прямых и обратных связей БИХ-фильтра. Складывая дроби в (6-76), получаем Н(г) = [(/с/2Я)[1 е — (Ь/2 — гд)пг — 1] ()с/2Я)[1 е — (Ы2 «)К)Ьг — 1]] Г /[[1 е-(Ы2 )л)нг-1][1 е-(Ы2-)л)нг-1]] (6-77) Приводя подобные члены в числителе и перемножая сомножители в знаменателе, приходим к Н(г) = (/с/2Я)[1 — е (Ы2 )Л)1 г 1 — 1+ е — (Ы2»1л)1 г-1]/ /[1 — е — (Ы2 — ул)1 г — 1 е — (ь/2+1л)1,г — 1+ е ьйг (6-78) Раскладывая экспоненты на множители и приводя подобные члены с одинаковымн степенями г, получаем: Н(г) = (/с '2Я) [е (ь/2»)д)г~ — е (Ы2 — 1л)г ] г 1/ /[1 [е — (ь/2-/лЦ+ е — (ь/2»/н)1 ]г — 1+ е — ьбг 2) (6-79) Продолжая упрощать выражение Н(г), вынося действительные составляющие экспонент, получим Н(г) = (/с/2Я)е ьб/2(е 1лй — е1лй ) г 1/ /[1 е-ьй/2(е)л1»» е-)ю,) г-1 «е-ьйг-2] (6-80) Теперь в Н(г) одинаковые степени г приведены, и (6-80) выглядит похожим на требуемую форму (6-52).

Зная, что окончательные коэффициенты БИХ-фильтра должны быть действительными числами, мы задаем себе вопрос; «Что нам делать с членами, содержащими/, в (6-80)?» И опять на помощь приходит Эйлер'. Используя тожлества Эйлера для синусоид, мы можем убрать комплексные экспоненты, при этом (6-80) превращается в Н(г) = ()с/2Я)е Ь»/2[ — 2/зт(Яг,)]г 1/[1 — е Ьг '2[2соз(Я1,)]г 1+ е Ьйг 2] = = (с/Я)е — Ь1/2[тйп(ЯГ )] г — 1/[1 — е — ЬГ,/2[2соз(Я1 )] г — 1 + е Ьйг — 2) (6-81) Если теперь мы подставим значения с = 174 10. 145, Ь = 13794536, Я = 112.48517 и г, = 0 01 в (6-81), то мы получим следующую передаточную функцию БИХ-фильтра: 1 согласно тождествам эйлера тйв(ф) =(е~ — е'лг)/21 и сов(ф) =(е~Ф + е л1)/2 Из (6-75) мы можем видеть, что наш фильтр-прототип второго порядка имеет два полюса, один из которых расположен в точке р1 = — Ь/2 — 1Я, а другой — в точке рг = — Ь/2 + 1Я.

Теперь мы готовы отобразить эти два полюса из з-плоскости в г-плоскость, как того требует Шаг 4 Метода 2. Выполняя подстановку 1-е-рьг» г 1 вместо з+рь в (6-75), мы получаем следующее выражение для однополюсных цифровых фильтров: 260 Глаааб, Фильт ысимп льснойха акте истикойбесконечнойдлины Н(г) = (154.77724)(0.50171312)(0.902203655) г 1/ /11 — (050171312)(0.86262058) г 1+ 025171605г г] = = 70.059517г 1/11 — ОА3278805г ~+0.25171Б05г г] . (6-82) Поскольку Н(г) = У(г)/Х(г), избавляясь от знаменателей по обе стороны знака равенства, мы можем переписать (6-82) в виде У(г) ° (1 — 0.43278805г )ч-0.25171605г г) =Х(г) (70.059517г 1) или У(г) = 70059517~Х(г) г 1+ 043278805 ° У(г) г 1 — 025171605 У(г) г-г (6-83) А теперь по аналогии берем обратное г-преобразование от (6-83) и получаем разностное уравнение БИХ-фильтра у(п) = 70.059517 ~х(п — 1) + ОА3278805'у(п — 1) — 0.25171Б05 у(п — 2) (6-84) Остается завершающий шаг.

Чтобы коэффициент передачи БИХ-фильтра был равен коэффициенту передачи прототипа, мы умножаем коэффициент при х(п — 1) на период дискретизации г„как предлагалось на Шаге 6 Метода 2. В этом случае имеется только один коэффициент при х(п), в результате чего имеем у(п) = 001'70059517 х(п — 1) + 043278805'у(п — 1) — 025171б05'у(п — 2) = = 0.70059517 ° х(п — 1) + ОА3278805 у(п — 1) — 0.25171б05'у(п — 2) (6-85) Это совпадает в результатом, полученным Методом 1 в (6-69). (Не правда ли, приятно решить задачу двумя разными способами и получить один и тот же результат?) На рисунке 6.27 в графической форме показаны результаты проектирования фильтра.

Расположение полюсов прототипа в з-плоскости и полюсов БИХ-фильтра в г-плоскости показано на рисунке 6.27 (а). Поскольку полюсы прототипа находятся в левой полуплоскости, а полюсы БИХ-фильтра находятся внутри единичного круга, оба фильтра устойчивы. Мы находим полюсы прототипа из (6-75). При е = — Ь/2 — 1Я знаменатель первого слагаемого в (6-75) становится равным нулю, а Н,(з) становится бесконечно большой. Это значение з = — Ь/2 — 1Я представляет собой полюс в нижней полуплоскости на рисунке 6.27 (а). Когда з = — Ь/2 +/Я, знаменатель второго слагаемого обращается в О, а е = — Ь/2 + 1Я дает позицию второго полюса на з-плоскости.

Позиции полюсов БИХ-фильтра на г-плоскости находятся из (6-76). Если мы умножим числители и знаменатели в (6-76) на г, то получим н(г). г/г =гас/2Я)/)г(1 — е (ь/г 1Я)г г ~)] + г( — 1с/2Я)/]г(1-е (ь/г гй)г г 1)] = = ( 1с/2Я) г/]г — е (ь/г +ай)п] + ( — 1с/2Я) г/1г — е (ь/2 -1к)~ ], (6-86) Если в (6-86) г = е( Ь/2 + гй)гь знаменатель первого слагаемого обращается в ноль, а Н(г) становится бесконечно большой.

Значение г, равное г = е( — ыг ч)я)й = е( ьг,/г) е тдй = е( ьй/г) г. — Яг,радиан (6-87) 6.4. Метод инва иантногоп еоб азованияимп льснойхаракте истики 261 Т-ЛПОСКОСП ЛЛОТСКОСТЛ (О> м гц ЧОСТОТО «тг~ 2о гц Рис. 6.27. Характеристики фильтров, использованных в примере расчета с помощью инвариантного преобразования импульсной характеристики: (а) расположение полюсов аналогового фильтра-прототипа на з-плоскости и полюсов дискретного БИХ-фильтра на з-плоскости; (Ь) АЧХ дискретного БИХ-филь- тра определяет положение полюса, лежащего в нижней полуплоскости г-плоскости на рисунке 6.27 (а).

В частности, этот полюс расположен на расстоянии е( Ьгл'з) = 0.5017 от начала координат, а угол его радиус-вектора с действительной осью составляет 0 = — Яг, радиан, или — 64.45'. Поскольку полюсы комплексно-сопряженные, полюс в верхней полуплоскости г-плоскости расположен на том же расстоянии от начала координат, а угол его радиус-вектора равен д = Из радиан, или -«64.45'.

На рисунке 6.27 (Ь) показана АЧХ БИХ-фильтра как функция частоты в Гц. На рисунке 6.28 показаны две разные реализации БИХ-фильтра. Рисунок 6.28 (а) предлагает реализацию нашего БИХ-фильтра второго порядка, основанную на обобщенной структуре БИХ-фильтра, показанной на рисунке 6.22, а на рисунке 6.28 (Ь) показана реализация БИХ-фильтра второго порядка на основе альтернативной структуры, показанной на рисунке 6.22 (Ь). Зная, что коэффициент 6(0) в левой части рисунка 6.28 (Ь) равен нулю, мы приходим к упрощенной структуре, приведенной в правой части рисунка 6.28 (Ь).

Посмотрев внимательно на рисунок 6.28 (а) и правую часть рисунка 6.28 (Ъ), мы можем увидеть, что они эквивалентны. Хотя в литературе рассматриваются оба метода проектирования с использованием инвариантного преобразования импульсной характеристики, мы можем спросить: с Какой из них предпочтительней? О Определенного ответа на этот вопрос не существует, потому что он зависит от Н,(з) фильтра-прототипа. Хотя рассмотренный выше пример использования Метода 2 требует большего количества аналитических выкладок, чем Метод 1, если бы полюсы прототипа в з-области лежали только на действительной оси, Метод 2 был бы намного проще, поскольку не пришлось бы манипулировать комплексными числами.

Вообще, Метод 2 более популярен по двум причинам: (1) обратное преобразование Лапласа и обратное г-преобразование, хотя и весьма просты в нашем примере использования Метода 1, могут оказаться довольно сложными для фильтров высокого порядка, и (2) в отличие от Метода 1, Метод 2 может быть реализован программно. ген Глава 6. Фильг ысимп льснойха акте истнкойбесконечнойдлины (а) 1ь) а(2) Рис. 6.28.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее