Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 48
Текст из файла (страница 48)
6.3. 7-преобразование 247 Фильтры на рисункс 6.22 обладают абсолк~тпо одинаковыми характеристиками до тех пор, пока рассматривается их рсализация в арифметике с нсосраничепной точностью представления чисел. Однако при использовании квантованных коэффпцисн сов, окрусления пли усечения. испсшьзуемых для устранения ошибок двоичносо перс полнения, разныс структуры фильтров дают разные шумовые характеристики и разную устойчивость. В действительности Транспонпрованная прямая форма 1! пыла разработана, потому что ведет сеоя лучше, чем!!рямая форма П, прп реализации в целочис.тонной арифметике. !эазработчики ВИХ-фильтров пришли к оошсму мнению.
что 11рямая форл~а! наимснсс чувствительна к кван- 248 Глава б. Фнльт ы с имп льснойха акте истикой бесконечнойдлины Модифицированная Прямая форма ! Ь(2) а(2) (а) а(2) ь(2) (Ы транояонндоаанная прямая форма ц х(я) ПРямая ФоРма )! (я) а(2) Ь(2) (о) Ь(2) а(2) (о) Рис. 6.22. Измененные структуры БИХ-фильтров 2-го порядка; (а) Прямая форма (; ()з) Модифицированная прямая форма ); (с) Прямая форма й; (б) Транспонированная прямая форма !) ! В оставшейся части этой главы мы будем использовать термин аналоговый фильтр, благодаря его популярности, лля обозначения фильтров, реализуемых аппаратно с помон[ью резисторов, конденсаторов н (возможно) операционных усилителей.
Кстати, из-за наличия обратных связей БИХ-фильтры часто называют рекурсивными фильтрами. Соответственно, КИХ-фильтры называют нерекурсивными. Общее заблуждение здесь состоит в том, что все рекурсивные фильтры приравниваются к БИХ-фильтрам. А это не так, поскольку КИХ-фильтры могут быть реализованы и в рекурсивных структурах (см. раздел 7.1).
Следовательно, термины рекурсивный и нерекурсивный следует применять по отношению к структуре фильтра, а термины БИХ или КИХ следует использовать для описания длительности импульсной характеристики фильтра [10, 11]. Теперь, когда мы представляем себе, какими характеристиками обладают и в каких структурах реализуются БИХ-фильтры, познакомимся коротко с тремя методами их проектирования. Эти методы проектирования БИХ-фильтров известны под впечатляющими названиями: метод инвариантного преобразования импульсной характеристики, метод билинейного преобразования и оптимизационный метод.
Первые два метода используют аналитические (выведенные с помощью пера и бумаги) процедуры аппроксимации аналоговых фильтров . Поскольку методы расчета аналоговых фильтров очень хорошо разработаны, разработчики могут воспользоваться б.4. Методннва иангногоп еоб азованиянмп льснойка акте истнки 249 преимуществами многочисленных методов проектирования аналоговых фильтров для проектирования, скажем, фильтров Баттерворта с их очень гладкой АЧХ или фильтров Чебышева с их пульсирующей в полосе ~ропускания АЧХ и более крутой переходной полосой. Оптимизационные методы (безусловно, самые популярные методы проектирования БИХ-фильтров) используют инструментарий линейной алгебры, предоставляемый коммерческими пакетами программ проектирования фильтров.
Методы инвариантного преобразования импульсной характеристики и билинейного преобразования требуют определенной базовой подготовки, так что начинающий в области ЦОС читатель при нервом чтении этой книги может их пропустить. Однако эти методы могут быть очень полезными в будущем, когда ваши знания, опыт и сложность решаемых задач в области ЦОС вырастут. 6.4. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики Метод проектирования БИХ-фильтров с помощью инвариантного преобразования импульсной характеристики основан на предположении, что мы можем спроектировать дискретный фильтр, импульсная характеристика которого является дискретизированной версией импульсной характеристики некоторого аналогового фильтра.
Если этот аналоговый фильтр (который часто называют фильтром-прототипом) имеет требуемую частотную характеристику, то наш проектируемый БИХ-фильтр должен обеспечивать аппроксимацию этой требуемой характеристики. Эквивалентность импульсных характеристик при таком методе проектирования изображена на рисунке б.23, где для обозначения импульса мы использовали обычное обозначение д, а й (г) — импульсная характеристика аналогового фильтра.
На рисуйке 6.23 (а) мы используем нижний индекс "с"', чтобы подчеркнуть непрерывный характер аналогового фильтра. Рисунок б.23 (Ъ) иллюстрирует определение импульсной характеристики дискретного фильтра как выходной последовательности фильтра при подаче на его вход одного отсчета единичной величины, которому предшествуют и за которым следуют нулевые отсчеты. Нашей задачей является проектирование цифрового фильтра, импульсная характеристика которого является дискретизированной версией непрерывной импульсной характеристики аналогового фильтра. Соответствие непрерывной и дискретной импульсных характеристик предполагает, что мы можем отобразить каждый полюс передаточной функции аналогового фильтра Н (з) в з-плоскости на полюс передаточной функции дискретного фильтра О(г) в г-плоскости. Разработчики обнаружили, что метод инвариантного преобразования импульсной характеристики действительно дает полезные БИХ-фильтры, если только частота дискретизации намного превосходит ширину спектра фильтруемых сигналов.
Другими словами, БИХ-фильтры, рассчитанные этим методом, подвержены влиянию наложений спектра, поскольку частотные характеристики реальных 1 От английского совг1воовк что значит непрерывный — (прим. перев ) аналоговых фильтров не являются строго ограниченными в частотной области. Наложение может проявиться в АЧХ фильтра, как показано на рисунке 6.24. (а) х(» = аа) характеристика = С,(т) ° . ° ««кса аа ° аа Ф Д«««р«тн» р«м (Ь) к(п) = а(п) сная характеристика = Мп) = п,(пт,) Рис. 6.23. Инвариантность импульсной характеристики: (а) непрерывная импульсная характеристика аналогового фильтра; (Ь) дискретная импульсная характеристика цифрового фильтра (э) (ь) 4к (ггк) - 4к (-гг,) 2к (гк) -2к (- гк) (с) 4к (гг,) -4 к (-2)е) 2к (5) -2к (- г,) Рис.
6.24. Наложения в частотной области при инвариантном преобразовании импульсной характеристики: (а) АЧХ аналогового фильтра-прототипа; (Ь) копии Ачх, где нлн (тп) — дискретное преобразование Фурье последовательности Л(п) = Л (п( ); (с) возможная результирующая АЧХ с наличием наложения 250 Глава б. Фильт ы с имп льснойха акте истикой бесконечнойдлины 6.4.Методинаа иантногоп еоб азоаанияимп пьснойха акте истики 251 Н (з) = [Ь(М)зн + Ь(Ь/ — 1)хн т +...
+ Ь(1)д +Ь(0)]/ /[а(М)ззт + а(М вЂ” 1)гзт ~ + ... + а(1)з + а(0)] = = [ ~~ Ь(Ь)зкИ ,'т,а®э~ ] (6-43) которая является общей формой (6-10) при У< Ми постоянных коэффициентах а(Ь) и Ь(/г). Метод 1, шаг 2: По передаточной функции Н,(з) определить непрерывную импульсную характеристику Ьг(г). Надеюсь, что это можно сделать с помощью таблиц преобразования Лапласа, не выполняя обратное преобразование.
1 При проектировании ФНЧ, например, на этом шаге необходимо определить тип фильтра (Чебышева, Баттерворта, эллиптический и т. и.), его порядок (количество полюсов) и частоту среза. Из того, что мы узнали в главе 2 о размножении спектра при дискретизации, следует, что, если функция на рисунке 6.24 (а) представляет собой спектр непрерывной импульсной характеристики Ь,(1), то спектр дискретной импульсной характеристики Ь,(п~,) представляет собой размноженный спектр на рисунке 6.24 (Ь). На рисунке 6.24 (с) мы показываем возможный результат наложения, здесь серая линия изображает требуемую частотную характеристику Н11д(ш).
При использовании метода инвариантного преобразования импульсной характеристики реальная АЧХ может оказаться такой, какая показана на рисунке 6.24 (с) черной линией. По этой причине мы стараемся сделать частоту дискретизации 1, как можно больше, чтобы минимизировать перекрытие первичной частотной характеристики и ее спектральных изображений, разнесенных на расстояние, кратное +~, Гц. Чтобы понять, как наложение может влиять на БИХ-фильтры, проектируемые этим методом, рассмотрим последовательность необходимых шагов процедуры проектирования, а затем рассмотрим пример проектирования фильтра.
Существует два разных метода проектирования БИХ-фильтров с использованием инвариантного преобразования импульсной характеристики. Первый метод, который мы назовем Метод 1, требует использования как обратного преобразования Лапласа„так и г-преобразования [12, 13]. Второй метод, Метод 2, использует прямую подстановку, чтобы избежать использования обратного преобразования Лапласа и г-преобразования за счет разложения на простейшие дроби [14-17].
Оба метода кажутся сложными при словесном описании, но на практике они не так сложны. Сравним эти методы, перечислив шаги, необходимые при реализации каждого нэ них. Метод 1 состоит в следующем: Метод 1, шаг 1: Спроектировать (или найти готовый) аналоговый фильтр-прототип с требуемой частотной характеристикой'. Результатом выполнения этого шага будет передаточная функция Н,(з) в виде отношения полиномов, такая как 262 Глава 6. Фильт ы с имп льсной характеристикой бесконечной длины Метод 1, шаг 3: Определить частоту дискретизации /; и вычислить период дискретизации 1х = Я,. Частота дискретизации /; выбирается в зависимости от абсолютной частоты аналогового фильтра-прототипа в Бц, Из-за проблем наложения, свойственных этому методу, 1; должна быть как можно выше, как мы покажем позже.
Метод 1, шаг 4: Найти г-преобразование непрерывной Ь,(г) и получить передаточную функцию БИХ-фильтра Н(г) в форме отношения полиномов от г. Метод 1, шаг 5: Подставить значение (не переменную!) г, вместо непрерывной переменной г в передаточную функцию Н(г), полученную ца шаге 4. Выполняя этот шаг, мы обеспечиваем равенство отсчетов дискретной импульсной характеристики БИХ-фильтра Ь(п) значениям непрерывной импульсной характеристики в моменты времени г=пс, как на рисунке 6.23, так чтой(п) = Ьс(пг,),для О < и < сс.
Метод 1, шаг 6: Н(г), полученная на шаге 5, будет иметь общую форму Н(г) = [Ь(1!1)г «! + Ь(Х-1)г Р' !) +... е Ь(1)г ! -ьЬ(О))у У[а(Л4)г-м,. а(М 1)г-(и-0 „. -ь а(1)г-! -ь а(О)] = = [ ,'> Ь(«)г «~/[ 1 — ~а(«)г «) (6-44) Поскольку при дискретизации непрерывной импульсной характеристики частотная характеристика цифрового фильтра оказывается умноженной на коэффициент 1угс многие разработчики фильтров считают необходимым включить множитель г, в (6-44). Итак, мы можем переписать (6-44) как Н(г) = У(г)уХ(г) = [г, ~) Ь(Й)г «]/[1 — ~~) а(А)г «1 (6-45) Подстановка значения с, в (6-45) делает масштаб характеристики БИХ-фильтра незанисимым от частоты дискретизации, и коэффициент передачи цифрового фильтра будет таким же, как и у аналогового фильтра-прототипа .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
