Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Метод 1, шаг 7: Поскольку (6-44) представлено в форме (6-25), мы можем по аналогии записать разностное уравнение в обшей форме (6-21) как у(п) .= Ь(О)х(п) + Ь(1)х(п — 1) +Ь(2)х(п-2) + ... -ьЬ(Ь7)х(п-Ы) + + а(1)у(п — 1) + а(2)у(п — 2) + ... ч а(М)у(п — М) (6-46) Некоторые авторы предпочитают вводить множитель ! в дискрстную импульсную характеристику «(п) на шаге 4, т е сделать «(и) = ! «с (пг, ) [14, 18~ Окончательный результат в этом случае получится такой же. 6.4. Метод инва иантного п еоб азования имп льснойха актеристики 253 Включение множителя 1, в (6-45), чтобы сделать коэффициент передачи цифрового фильтра равным коэффициенту передачи прототипа, дает следующую форму разностного уравнения у(п) = 1, 1Ь(0)х(п) + Ь(1)х(п-1) +Ь(2)х(п — 2) + ...
+Ь()у7)х(п-7т7) 1 + + а(1)у(п — 1) + а(2)у(п — 2) + ... +а(М)у(п — М) (6-47) Обратите внимание на изменение знака коэффициентов а(Ь) при переходе от (6-44) и (6-45) к (6-46) и (6-47). Эти изменения являются источником проблем для начинающих, так что будьте внимательны. Помните также, что (6-46) и (6-47) применимы только к структуре фильтра на рисунке 6.18. Коэффициенты а(к) и Ь(к), или 1тЬ(к), однако, можно использовать в улучшенной структуре на рисунке 6.22 Прежде, чем перейти к практическому примеру, рассмотрим второй метод проектирования с использованием инвариантного преобразования импульсной характеристики. Метод 2, который также называют стандартным г-преобразованием, использует другой подход.
Он разбивает математически аналоговый фильтр-прототип на несколько фильтров с одним полюсом, а затем аппроксимирует каждый из этих фильтров однополюсным цифровым фильтром. Набор из М однополюсных фильтров затем аналитически объединяется в БИХ-фильтр М-го порядка, имеющий М полюсов. Этот процесс показан на рисунке 6.25.
При расчете фильтра этим методом необходимо выполнить следующие шаги: Аналоговый фильтр-прототип с М попюсаыи гт разложение на простейшие дроби Юоднополюсных дискретных фильтров Выполнить подстановку Моднополюсных дискретных фильтров Сложил аналитически М-полюсный дискретный БИХ-фильтр Рис. 6.26. Математические операции Метода 2 Глаааб, Фильт ысимл льснойка акте истикойбесконечнойдлины 264 Выбрать подходящую частоту дискретизации /; и вычислить пе- риод дискретизации т = 1Д;.
(То же, что Метод 1, шаг 3.) Метод 2, шаг 2: Выразить передаточную функцию Н,(з) в виде суммы однополюс- ных передаточных функций. Это требует использования разложе- ния отношения полиномов в (6-43) на простейшие дроби вида Метод 2, шаг 3: Н,(з) = 1о(Ж)зн + 6(Н вЂ” 1)з'у-~ +... + 6(1)з «-Ь(0))/ Д)а(л4) зм + а(Л1 — 1)зм т + .. «- а(1)з + а(0)) = М = ~) Аь/(з+р~) = й=г =Агт(з+р«) +Аз/(з+рг) + ...
+Ам,ф+рм), (6-48) где коэффициенты А1, представляют собой константы, а А-й по- люс находится в точке — р~ на з-плоскости. Мы обозначим 1-ю од- нополюсную передаточную функцию как Н~(з), или (6-49) Нь(х) = Аь /(з +р~ ) . В(6-46) подставить 1 — е Ргт г г вместоз+рй. Это отображение Метод 2, шаг 4 каждого полюса Нк(з), расположенного в точке з = — рк на з-плоскости, в точку г = е рьг на г-плоскости представляет собой аппроксимацию импульсной характеристики каждого однополюсного аналогового фильтра однополюсным цифровым фильтром. (Читатель может найти вывод этой подстановки 1- е Льг г ~, показанной на рисунке 6.25, в работах [14 - 16).) Итак, каждый однополюсный аналоговый фильтр Н~(з) аппроксимируется однополюсным цифровым фильтром, передаточная функция которого имеет вид (6-50) Нь(г) = Аь /(1 — е лгт~ г г) .
Результирующая общая передаточная функция дискретного филь- тра Н(г) является суммой передаточных функция однополюс- ных дискретных фильтров, или М М Н(г) =~~ Н (г) = '~> А~у(1 е-Рьбг-~) 1=1 1=1 (6-51) Помните, что эта функция Н(г) не является функцией времени. Множитель г, в (6-51) представляет собой константу, равную периоду дискретизации. Вычислить сумму М однополюсных передаточных функций в виде отношения двух полиномов от г. Поскольку Н(г) в (6-51) Метод 2, шаг 5: Метод 2, шаг 1: Получить передаточную функцию Н,(з) аналогового фильтра-прототипа в форме (6-43).
(То же, что Метод 1, шаг 1.) 6.4. Метод инва ивнтногоп еоб взовенияимп льснойха акте истики 266 будет суммой простейших дробей, нам будет необходимо привести их к общему знаменателю, чтобы получить результат в виде Н(г) = У(г)/Х(г) = (6-52) = [ ~~» Ь(й)г й ~Д[ 1 — ~г а(й)г йз . Метод 2, шаг 6: Так же, как в Методе 1 на шаге 6, мы можем по аналогии записать разностное уравнение в обобщенной форме у(п) = Ь(0)х(п) + Ь(1)х(п-1) + Ь(2)х(п-2) + ... + Ь(Ь7)х(п-Ы) + + а(1)у(п — 1) + а(2)у(п — 2) + ...-» а(М')у(п-М).
(6-53) Здесь тоже обратите внимание на изменение знака коэффициентов а(й) при переходе от (6-52) к (6-53). Как было описано в шагах 6 и 7 Метода 1, если мы хотим сделать коэффициент передачи цифрового фильтра равным коэффициенту передачи аналогового прототипа путем умножения коэффициентов Ь(й) на период дискретизации «„то разностное уравнение БИХ-фильтра будет выглядеть так: У(п) = «, ° [Ь(0)х(п) + Ь(1)х(п — 1) + Ь(2)х(п — 2) + ...
+ Ь(А1)х(п — 7»7) 1+ + а(1)у(п-1) + а(2)у(п-2) + ... -» а(М)у(п-М), (6 54) а окончательная передаточная функция будет иметь вид Н(г) = У(г)/Х(г) = (6-54') =«, ° [ ,» Ь(й)г-ь~/[1 — ~> а(й)г «»~. Наконец, мы можем реализовать фильтр в виде улучшенной структуры на рисунке 6.22, используя коэффициенты а(й) и Ь(й) из (6-53) или а(й) и «, Ь(й) из (6-54). Для более наглядного сравнения двух описанных методов разберем примеры проектирования БИХ-фильтров с их использованием. 6.4.1.
Пример проектирования Методом 1 Предположим, что нам необходимо рассчитать БИХ-фильтр, который аппроксимирует аналоговый прототип Чебышева, для которого неравномерность АЧХ в полосе пропускания составляет 1 дБ. Частота дискретизации«, равна 100 Гц («, = 0.01), а частота среза фильтра по уровню 1 дБ равна 20 Гц.
Наш аналоговый фильтр-прототип будет иметь АЧХ, подобную показанной на рисунке 6.26. Допустим, что в результате расчета аналогового фильтра-прототипа в соответствии с перечисленными требованиями мы получили передаточную функцию Н,(з) вида Нс(з) = 17410.1457(зг + 13794536з + 17410 145) (6-55) 266 Глава 6. Фнльт ы с имп льсной характеристикой бесконечнойдлины Именно эту передаточную функцию мы собираемся аппроксимировать дискретным БИХ-фильтром.
Чтобы найти импульсную характеристику аналогового фильтра, следует представить Нг(з) в такой форме, которая позволила бы нам воспользоваться таблицами преобразования Лапласа для нахождения й,(г). овв 0 20 Гц 50 Гц Частота (1,12) Рис. 6.26. АЧХ аналогового фильтра-прототипа для примера Х(х), преобразование Лапласа х(г): Ав/[(з + а)2 -г в21 х(г): Ае "' з1п(вс) . (6-56) Итак, мы хотим модифицировать (6-55) так, чтобы привести его к форме, показанной в левой части (6-56). Заметим, что выражение для преобразования Лапласа (6-56) можно переписать как Ав/[(з + а)2+ в21 = Ав/(з2+ 2их + аз + вз) (6-57) Если мы теперь приравняем (6-55) и правую часть (6-57), то мы сможем решить систему уравнений относительно А, а и в: Н,(в) = 17410.145/(ь-' + 13794536в + 17410.145) = (6-58) = Ав/(з2 + 2аз -ь о 2 в в2) Решая (6-58) относительно А, а и в, мы сначала находим (6-59) а = 137.94536/2 = 68.972680; аз+ вв = 17410.'145, (6-60) так что в =т/(17410.145 — а2) = 112485173; А = 17410.145/в = 154.77724.
(6-61) (6-62) Отлично, теперь мы можем выразить Н,(з) в требуемой форме левой части (6-57); Н,(в) = (154.77724)(112.485173)/[(з + 68972680)2 +(112,485173)2[, (6-63) 11орывшись в справочниках по операционному исчислению, мы находим следующую пару преобразований Лапласа: 6.4. Метод инвариантного и ео6 азования ими иьсной характе истики 267 Используя пару преобразований Лапласа в (6-56), находим импульсную характеристику аналогового фильтра-прототипа в виде Ь,(г) = Ае а'яп(шг) = 154.77724е-689726801 ип(112.4851731) .
(6-64) Итак, мы готовы выполнить Шаг 4 Метода 1, чтобы найти передаточную функцию дискретного БИХ-фильтра Н(г) с помощью г-преобразования й,(г). И опять порывшись в учебниках по ЦОС или в хорошем справочнике по математике, мы находим следующую пару г-преобразований, в которой выражение во временной области имеет ту же форму, что и импульсная характеристика Ь,(г) в (6-64): Х(г), г-преобразование х(г) х(г): Се е1 яп(шг) Се а'зт(шг)г 17[1 — 2[е е'соз(М)]г 1+е 2е'г 2] (6-65) Помните, что а и ш — просто общие обозначения и не имеют никакого отношения к значениям а и ш в (6-59) и (6-61). Подставляя константы из (6-64) в правую часть (6-65), мы получаем передаточную функцию БИХ-фильтра Н(г) = [154 77724е — 689726801 зпа(1124851731) г — 1]/ 7[1 2[е-6897268ог.соз(1124851731)] 2--1+е-2 689726801,-2] (б 66) Выполняя Шаг 5 Метода 1, мы подставляем Г, = 0.01 вместо непрерывной переменной г в (6-66), что дает окончательное выражение для передаточной функции Н(г): Н(г) = [154 77724е-68972680 001 яп(112485173.001) г-1]7 /[1 2[е — 68972680'001 ° соз(112485173 ° 001)] г — 1те — 2 68972680 0012 — 2] = = [154 77724е 068972680 тйп(1 12485173)г-1]7 Д1 2[е-068972680 ° соз(1 12485173)] г — 1че — 2 068972680г — 2] = = У(г)/Х(г) = 70.059517г 1/(1 — ОА3278805г 1+ 0.25171605г-2) .
(6-67) Отлично, сделаем еще усилие, мы почти закончили. Вот завершающие шаги Метода 1. Избавившись от знаменателей в (6-67), получаем У(г) ° (1 — 0.43278805г 1+ 0.25171605г 2) =Х(г) ° (70.059517г 1) или У(г) = 70.059517 Х(г) г 1+ 0.43278805 У(г) г 1 — 025171605 У(г) г 2 (6-68) Рассмотрев (6-68), мы можем записать разностное уравнение БИХ-фильтра. Выполняя Шаги 6 и 7 Метода 1, мы умножаем коэффициент при х(п-1) на период дискретизации г, = 0.01 для соответствующего масштабирования: у(п) = 001 ° 70059517'х(п — 1) + 043278805 у(п — 1) — 025171605~у(п — 2) = 0.70059517 х(п — 1) + ОА3278805 у(п — 1) — 0.25171605 у(п — 2), (6-69) 258 Глава 6. Фильт ысимп льснойха акте истикойбесконечнойдлины 6.4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
