Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Чтобы определить предыскаженную частоту среза прототипа, которая преобразуется в требуемую частоту среза БИХ-фильтра, мы можем использовать (6-98). Мы подставим требусмую частоту среза БИХ-фильтра 0)~ в (6-98) и вы- ЧИСЛИМ ЧаСтОтУ СРЕЗа аНаЛОГОВОГО ПРОтОтИПа 0)а, ИСПОЛЬЗУЕМУЮ ДЛЯ РаСЧЕта ЕГО передаточной функции н,(5). Хотя мы объяснили, что билинейное преобразование позволяет избавиться от проблем наложения частотных характеристик при проектировании БИХ-фильтров, важно не забывать, что мы по-прежнему должны избегать наложения во 272 Глава 6.
Фильт ы с имп льсной ха актеристикой бесконечнойдлины входном сигнале фильтра. Независимо от того, какой фильтр используется или какой метод расчета применялся, входные данные всегда должны получаться с использованием такой схемы дискретизации, которая исключает наложения, описанные в главе 2. Если входной сигнал содержит искажения, обусловленные наличием наложений спектров, никакой фильтр исправить эти искажения не сможет.
Наше изложение методов проектирования с помощью инвариантного преобразования импульсной характеристики и с помощью билинейного преобразования по необходимости затронуло только самые существенные моменты этих двух методов. Строго математическое изложение этих методов неуместно во вводном курсе сродни данному, но заинтересованный читатель может найти более детальное описание в работах 113-16]. Работы 113~ и 1151, между прочим, содержат прекрасный материал по различным типам аналоговых прототипов. Хотя наши примеры проектирования БИХ-фильтров аппроксимировали фильтры-прототипы нижних частот, важно понимать, что эти методы также применимы для проектирования полосовых фильтров и фильтров верхних частот.
Для проектирования БИХ-фильтров верхних частот, например, достаточно просто взять передаточную функцию аналогового фильтра верхних частот. Затем описанный метод проектирования цифровых БИХ-фильтров даст нам аппроксимацию этого фильтра верхних частот'. Как мы видели, оба рассмотренных метода проектирования БИХ-фильтров являются мощными и достаточно сложными в применении.
Их математика сложна, а вычисления по формулам довольно громоздки даже для достаточно простых фильтров. В связи с этим мы хотим представить вам третий класс методов проектирования БИХ-фильтров, основанный на программах численной оптимизации. В этом случае разработчик задает требуемую частотную характеристику фильтра, а алгоритм генерирует последовательные приближения коэффициентов до тех пор, пока они не сойдутся (будем надеяться) к некоторому оптимальному решению.
6.6. Оптимизационный метод проектирования БИХ-фильтров Последний класс методов проектирования БИХ-фильтров, с которым мы вас познакомим, в самом широком смысле называют классом оптимизационных методов. Эти методы разработаны для ситуаций, когда требуемая АЧХ БИХ-фильтра отличается от стандартных характеристик фильтров нижних, верхних частот, полосовых и режекторных. Когда требуемая частотная характеристика имеет произвольную форму, замкнутые выражения для передаточной функции не существуют, и у нас нет уравнений, позволяющих вычислить коэффициенты фильтра.
Для решения такой обобщенной проблемы проектирования были разработаны алгоритмы решения систем линейных или нелинейных уравнений с помощью компьютера. Эти программы требуют, чтобы разработчик описал некоторым образом требуемую частотную характеристику БИХ-фильтра. Затем эти алгорит- 1 Это справедливо для метода билинейного преобразования, но при использовании метода инвариантного преобразования импульсной характеристики наложения не позволят получить БИХ-фильтр верхних частот — (прим. лерев). 273 б.б. Оптимизационный метод и оекти ования БИХ- ильг ов мы, предполагая, что передаточная функция Н(г) представляет собой отношение полиномов, вычисляют частотную характеристику фильтра.
Основываясь на некотором критерии ошибки, алгоритм итерационно модифицирует коэффициенты фильтра таким образом, что ошибка между требуемой и текущей характеристиками сводится к минимуму. Процесс заканчивается, когда дальнейшее уменьшение ошибки невозможно или когда выполнено заданное количество итераций, и коэффициенты фильтра выдаются разработчику. Хотя эти алгоритмы оптимизации математически слишком сложны, чтобы рассматривать их здесь, описание наиболее популярных методов оптимизации легко доступно в литературе ~14, 16, 20-25~. Читатель может спросить: «Если мы не собираемся рассматривать алгоритмы оптимизации, то зачем вообще говорить здесь об оптимизационных методах?» Ответ на этот вопрос следующий: Если мы тратим много времени на проектирование БИХ-фильтров, то рано или поздно мы придем к тому, что будем в большинстве случаев использовать оптимизационные методы в форме компьютерных программ.
Огромное количество коммерческих пакетов программ цифровой обработки сигналов включают одну или более программ проектирования БИХ-фильтров, которые основаны на методах оптимизации. Когда доступен компьютерный метод проектирования, разработчики фильтров склонны использовать его для расчета, в том числе и простых ФНЧ, ФВЧ и полосовых фильтров, даже если существуют аналитические методы. При всем должном уважении к Лапласу, Хэвисайду и Кайзеру, зачем продираться сквозь все эти уравнения, 2-преобразования и прочие сложности, когда требуемую частотную характеристику можно ввести в программу и получить приемлемый результат в течение нескольких секунд? г2 т т«12 Частота Рис.
6.35. Пример задания параметров при проектировании БИХ ФНЧ оптимиза- ционными методами Как оказывается, использование коммерческих программ оптимизационного проектирования БИХ-фильтров совсем несложно. Большинство оптимизационных программ требуют задания всего нескольких параметров по амплитуде и частоте, требуемою порядка БИХ-фильтра (количества ответвлений обратной связи), после чего они рассчитывают коэффициенты цепей прямой и обратной связи. При задании, например, Б ИХ ФНЧ программа проектирования может запросить у нас значения дл, д„Д и /~, показанные на рисунке 6.35.
Некоторые программы оптимизационйогоа проектирования требуют, чтобы пользователь задал порядок БИХ-фильтра. Эти программы рассчитывают коэффициенты фильтра, которые наилучшим образом аппроксимируют заданную характеристику. Некоторые г74 Глава 6. Фильт ы с имп льсной ха актеристикой бесконечной длины программы, с другой стороны, не требую задания порядка фильтра. Они вычисляют минимальный порядок фильтра, который может обеспечить соответствие частотной характеристики фильтра заданной характеристике. 6.7.
Подводные камни реализации БИХ-фильтров Инженерам хорошо известна истина: «Одно дело — спроектировать систему на бумаге, и совсем другое дело — построить ее в железе и заставить работать» (Вспомните, что произошло с мостом Такома Нэрроуз!) Изготовление работающей системы на основе теоретического проекта на практике может оказаться весьма сложным. Давайте разберемся, почему это во многих случаях справедливо по отношению к БИХ-фильтрам. Структуры БИХ-фильтров, показанные на рисунках 6.18 и 6.22, называются реализациями в прямой форме, потому что они непосредственно реализуют разностное уравнение БИХ-фильтра М-го порядка, приведенное в (6-21).
Как оказывается, при реализации в прямой форме фильтров высокого порядка могут возникнуть проблемы с устойчивостью, а также искажения частотной характеристики. Эти проблемы вызваны тем, что мы вынуждены представлять коэффициенты фильтра и промежуточные результаты вычислений двоичными числами, состоящими из конечного количества битов. Различают три основных категории ошибок конечной длины слова, которые затрудняют реализацию БИХ-фильтров; ошибки квантования коэффициентов, ошибки переполнения и ошибки округления. Квантование коэффициентов (представление коэффициентов с ограниченной точностью) приводит к смещению нулей и полюсов на г-плоскости, в результате чего частотная характеристика может не удовлетворять заданным при проектировании требованиям.
Искажения частотной характеристики оказываются более значительными для БИХ-фильтров высокого порядка. Переполнение, второй эффект конечной разрядности, который доставляет неприятности при реализации БИХ-фильтров, — это то, что происходит, когда результат арифметической операции оказывается слишком болыпим и не может быть представлен в аппаратурных регистрах ограниченной разрядности, предназначенных для его хранения. Поскольку при реализации БИХ-фильтров мы выполняем много операций сложения, переполнение всегда возможно. Без специальных мер предосторожности, учитывающих возможность переполнений, в выходных отсчетах могут возникнуть ошибки значительной величины, часто в форме колебаний переполнения. Наиболее распространенный способ борьбы с ошибками переполнения — это округление данных, когда значение отсчета данных представляется Ь-битовым двоичным числом, которое ближе всего к неокругленному значению.
Обычно рассматривают ошибки округления как случайный процесс, но в БИХ-фильтрах возникают такие условия, при которых ошибки округления могут вызвать бесконечные колебания выходного сигнала, даже если входной сигнал равен нулю. Такие ситуации, вызванные шумом округления, который тесно коррелирован с сигналом (это явление часто называют предельными циклами или эффектами мертвой зовы) подробно проанализированы в литературе [26, 271. 6.7.
Подводные камни еализации БИХ- ильтров 276 Мы можем продемонстрировать предельные циклы, рассматривая на рисунке 6.36 (а) БИХ-фильтр второго порядка, который описывается разностным уравнением вида у(п) = х(п) ч- 13у(п — 1) — 0.7бу(п — 2). (6-((5) Допустим, этот фильтр округляет сумму до ближайшего целого числа. Если в какой-то момент времени возникнет ситуация, когда у( — 2) = О, у( — 1) = 8 и х(0), а также все последующие входные отсчеты х(п) равны нулю, выходной сигнал фильтра превращается в колебание бесконечной длительности, как показано на рисунке 6.36 (Ц.
Если бы этот фильтр использовался для воспроизведения звука, при уменьшении входного сигнала до нуля слушатель обнаружил бы, что вместо тигпины он слышит какой-то тон. Штриховая линия на рисунке 6.36 ()э) показывает реакцию фильтра в данной ситуации, если округление не выполняется. При наличии округления этот БИХ-фильтр полностью оправдывает свое название. (а) -О 76 а у(п) юв Характеристика ез ошибок округления ° ° ° ° 12 ..-.--... 20 в-++4 — ° —,+':+ — ( — в — + — '+=+-В-.+++-в — е. (Ь) 2 О 1б ° ° 2а Время Рис.6.36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
