Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Реализации фильтра, полученного методом инвариантного преобразо- вания импульсной характеристики Изучая АЧХ фильтра, приведенную на рисунке 6.27 (Ъ), мы можем заметить, что крутизна переходной полосы этого БИХ-фильтра второго порядка не слишком велика.
Это простой фильтр второго порядка, но наклон его АЧХ в полосе подавления такой незначительный, что этот фильтр вряд ли может принести какую-то пользу на практике'. Мы можем также заметить, что уровень пульсаций в полосе пропускания больше требуемого значения в 1 дБ на рисунке 6.26. Мы можем обнаружить, что такие плохие характеристики фильтра объясняются не столько его низким порялком, сколько используемой частотой дискретизации. Характеристики фильтра второго порядка повторно показаны на рисунке 6.29 серой линией. Если мы повысим частоту дискретизации до 200 Гц, мы получим частотную характеристику, показанную на рисунке 6.29 штриховой линией.
Повышение частоты дискретизации до 400 Гц дает существенно улучшенную частотную характеристику, показанную черной сплошной линией на том же рисунке. Изменения частоты дискретизации не влияют на порядок фильтра или структуру его реализации. Помните, что если мы изменяем частоту дискретизации, в наших уравнениях меняется только значение периода дискретизации ~,, в результате чего мы получаем другие наборы коэффициентов для каждой частоты дискретизации. Итак, мы можем заметить, что чем меньше выбранный нами ~, (больше /;), тем лучше результирующий фильтр независимо от применяемого метода расчета, исгюльзующего инвариантное преобразование импульсной характеристики, потому 1 Небольшой совет всякий раз, когда аы встречаете какое-либо частотное прелставленне (будь то АЧХ фильтра нлн спектр какого-либо сигнала), значение которого на частоте ь/; /2 отлично от О, будьте осторожны н внимательны — вы имеет дело с наложением.
6.5. Метода секти ования БИХ- ильт ов... 263 1 09 0.9 07 05 05 04 03 02 01 0 0 20 Гц при Г~= 400 Гц Г г2 Частота 20 Гц при т = 100 Гц Рис. 6.29. ДЧХ БИХ-фильтра в линейном масштабе лри трех значениях частоты дискретизации. Заметьте, что абсолютная частота среза фильтра 20 Гц сдвигается относительно разных частот дискретизации г Второй аналитический метод аппроксимации аналоговых фильтров, метод билинейного преобразования, снимает проблемы наложения, присущие методам инвариантного преобразования импульсной характеристики, за счет деформации частотной оси.
Точнее, при использовании билинейного преобразования соотношение между частотной осью аналогового прототипа и частотной осью аппроксимируюшего БИХ-фильтра является нелинейным. Давайте посмотрим, почему. 6.5. Метод проектирования БИХ-фильтров с помощью билинейного преобразования Существует популярный аналитический метод проектирования БИХ-фильтров, известный как метод билинейного преобразования. Как и метод инвариантного преобразования импульсной характеристики, этот метод проектирования аппроксимирует аналоговый фильтр-прототип, задаваемый передаточной функцией Нс(в), дискретным фильтром с передаточной функцией Н(г). Но метод билинейного преобразования применяется очень широко потому, что: ! А также полосопых ЦФ вЂ” (прим.
перев.). что перекрытие копий частотной характеристики, показанных на рисунке 6.24 (о), уменьшается благодаря увеличению частоты дискретизации ~,. Вывод из всего сказанного следует такой: методы проектирования БИХ-фильтров на основе инвариантного преобразования импульсной характеристики болыпе всего подходят для проектирования узкополосных фильтров, т. е. фильтров нижних чае тот', частоты среза которых намного меньше частоты дискретизации.
264 Глава 6. Фиды ы с имп льснойха акте истикой бесконечнойдлины он позволяет для получения Н(г) просто подставлять некоторую функцию от г вместо з в Н,(з), благодаря чему устраняется необходимость в преобразовании Лапласа и в г-преобразовании, а также необходимость разложения передаточных функций на простейшие дроби; й он отображает всю з-плоскость на г-плоскость, полностью устраняя наложения в частотной области, которые создают проблемы при использовании метода инвариантного преобразования импульсной характеристики; а он вносит нелинейные искажения частотной оси Н(г) относительно частотной оси аналогового фильтра, что делает переходную полосу цифровых ФНЧ более крутой.
Не беспокойтесь, если что-то сейчас не понятно, мы объясним все перечисленные моменты и покажем, что они значат для нас с точки зрения проектирования БИХ-фильтров. Если передаточная функция аналогового прототипа есть Н,(з), то мы можем получить передаточную функцию дискретного БИХ-фильтра Н(г), подставив вместо з в Н (з) следующее выражение (6-88) з = (2/Г,)[(1 — г ~)/(1 + г г)] где Г, — период дискретизации дискретного фильтра ( 1Д; ). Так же, как и при использовании метода инвариантного преобразования импульсной характеристики, при использовании метода билинейного преобразования нас интересует, в какую область г-плоскости отобразятся полюсы прототипа в результате преобразования. Именно это отображение полюсов из з-плоскости в г-плоскость и делает билинейное преобразование таким привлекательным'.
Давайте исследуем основные характеристики отображения з-плоскости на г-плоскость в результате билинейного преобразования. Сначала покажем, что любой полюс в левой полуплоскости з-плоскости будет отображаться во внутреннюю часть единичного круга на г-плоскости. Это легко показать, решая (6-88) относительно г.
Умножив (6-88) на (Г,/2)(1+ г т) и собрав члены, содержащиеся, мы можем получить (6-89) Если мы запишем з как (6-90) з =а+уо где нижний индекс круговой частоты го„значит аналоговая, (6-89) превращается в г = [1+ат,/2 +уго„Г,/2]/[1 — ес,/2 — 1ю Г,/2] = = [(1+ от,/2) +/го„г,/2]/[(1 — и гз/2) — 1ш, г,/2] . (6 91) 1 Билинейное преобразование представляет собой метод, используемый в теории функций комплексной переменной для отображения функции на комплексной плоскости одной переменной на комплексную плоскость другой переменной.
Ов отображает окружности и прямые линии на прямые линии н окружности соответственно. 6.5. Метод п оекти ования БИХ- ильт ов... 266 Из (6-91) следует, что г является комплексной величиной, равной отношению двух комплексных выражений. Следовательно, если мы выразим г в форме модуля и аргументаг = Ц~Ое, то модуль гбудет иметь вид И М'-'тепатегатог/М Кйепоттагог [(1+ от,/2) ~(гааге/2) 1/[(1 — ото/2) + (го,ге/2)~]. (6-92) Итак, если действительная часть а отрицательна (а < О), числитель отношения в правой части (6-92) будет меньше знаменателя, и Ц будет меныпе 1.
С другой стороны, если а положительна (а > О), числитель будет больше знаменателя, и )г/ будет больше 1. Это значит, что при использовании билинейного преобразования (6-88), любой полюс, расположенный в левой части в-плоскости (а < О) будет отображаться на внутреннюю часть единичного круга г-плоскости. Эта особенность обеспечивает преобразование любого устойчивого полюса прототипа в в-плоскости в устойчивый полюс дискретного БИХ-фильтра в г-плоскости.
Аналогично, любой полюс аналогового фильтра, расположенный в правой полуплоскости в-плоскости (а > О), при использовании билинейного преобразования будет отображаться на точку г-плоскости, лежащую вне единичного круга. Это подтверждает еще раз, что для устранения неустойчивости при проектировании БИХ-фильтров мы должны не допускать появления в г-плоскости полюсов, лежащих за пределами единичного круга. А тепеРь покажем, что ось частоты з-плоскости )гоа отобРажаетсЯ на единичнУю окружность г-плоскости.
Мы можем сделать это, положив в (6-91) а = 0 и получив г = (1 +1еоате/2)/(1 — 1гоате,, 2) (6-93) Здесь снова мы видим, что переменная г представляет собой отношение комплексных чисел, следовательно, ее модуль равен Йг = В Ма8питегаеог/Ма8депот1паеог — [(1)г+(т г /2)гИ(1)г+( г /2)г1 (6-94) в = (2/Г ) [(1 — е-. гоа )/(1 + е-.
гоа ) ), (6-95) Если мы представим з в алгебраической форме и вынесем за скобки экспоненту половинного угла, мы получим в = а +1ео = (2/Г )[е-лоь/г(едаа/г — е-.ам/г ))/[е —.гоа/г(ееоз/г+ е — )гое/г )[ (6 96) Модуль г в (6-94) всегда равен 1. Таким образом, как мы утверждали, при использовании билинейного преобразования, ось 1ео в в-плоскости отображается на единичную окружность в г-плоскости. Но это отображение частот нелинейно. Важно знать, почему эта нелинейность, или деформация, возникает и к чему она приводит.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
