Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Филь ысимп льснойха акте истнкойбесконечнойдлнны тем мы группируем члены преобразования Лапласа так, чтобы получить отношение Н(з) в виде (б-10). (Действительно удивительно здесь то, что для анализа линейной системы нам не нужно знать, что на самом деле представляет собой входной сигнал х(Г))) Мы можем получить выражение для непрерывной частотной характеристики системы, просто подставив)в вместо з в уравнение для Н®.
Чтобы оценить устойчивость системы, необходимо разложить полипом знаменателя Н(з) на множители, содержащие его корни. Затем следует найти расположение полюсов системы на з-плоскости. Любой полюс, расположенный справа от оси((о, служит признаком неустойчивости системы. вьч ~ г(0 (а) — н —. а (ь) /ь (с) а (в) у(0 Рис. 6.11. Различные варианты расположения полюсов Н(з) и соответствующие импульсные характеристики: (а) единственный полюс в точке и < О; ((т) сопряженные полюсы при о < О; (с) единственный полюса = О; (о) сопряженные полкюы с а = О; (е) единственный полюс при и > О; (() сопряженные полюсы при о > О 6.3. Е-тт еоб азование Обл,лс гь ус 'стичввстс ' лл Область тетлс т слль овос т лл гзе Глава б. Фильт ы с имп льснойха акте нстикой бесконечнойдлнны комплексной переменной г. Подобно тому, как функция е "является общей формой решения линейных дифференциальных уравнений, г " представляет собой общую форму решения линейных разностных уравнений.
Более того, как преобразование Лапласа Е(з) представляет непрерывную поверхность над з-плоскостью, так и г-преобразование Н(г) представляет непрерывную поверхность над г-плоскостью. Чтобы подогреть ваш интерес, скажем, что, если Н(г) представляет собой передаточную функцию БИХ-фильтра, то расчет поверхности Н(г) даст нам АЧХ фильтра, а расположение полюсов и нулей Н(г) позволит оценить устойчивость фильтра. Мы можем вычислить частотную характеристику БИХ-фильтра, выразив г в полярных координатах как г = теуш, где т — модуль, а ы — аргумент комплексной переменной.
В этой форме г-преобразование приобретает вид Ю ш Н(г) =Н(тегш) = ~>,~и(п)(теуш) — п ='Яй(л)т — ке — упш, (6 17) ~ гшав точке 3 2- В этой т ш=л= ружнссть на которси ф=1) Рис. 6.13. Единичная окружность в комплексной г-плоскостн Уравнение (6-17) можно рассматривать как преобразование Фурье произведения исходной последовательности Ь(п) на экспоненциальную последовательность т-". Если т = 1, (6-17) превращается в преобразование Фурье.
Следовательно, на г-плоскости контур поверхности Н(г) при (г! = 1 есть преобразование Фурье последовательности л(л). Если л(п) представляет собой импульсную характеристику фильтра, вычисление Н(г) при ф~ = 1 дает частотную характеристику фильтра. Где же на комплексной г-плоскости располагается контур ф = 1? Это окружность с радиусом, равным единице, центр которой совпадает с началом координат г = О. Эта окружность, которая так важна, что ей дали собственное имя есЪничная окружность, показана на рисунке 6.13. Вспомним, что частотная осью на з-плоскости преобразования Лапласа прямолинейна и проходит от — о до + ~ радиан/сек. Частотная же ось в на комплексной г-плоскости охватывает только диапазон от — л до ч-л радиан.
Это соотношение между осью7?о на з-плоскости преобразования Лапласа и единичной окружностью на г-плоскости позволяет нам увидеть, что частотная ось г-плоскости эквивалентна наматыванию оси уо в з-плоскости на единичную окружность в г-плоскости, как показано на рисунке 6.14. 6.3. Е-и еоб азовзние 237 такой ситуации, любой БИХ-фильтр должен проектироваться так, чтобы все полюсы его передаточной функции Н(г) лежали внутри единичного круга. Как и цепь, прочность которой определяется самым слабым звеном.
БИХ-фильтр лиц~ь настолько устойчив, насколько кстойчив самый неустойчивый из его полюсов, 4''.- ~ий ья б,З. 2-и еоб азованне 239 6.3.2. Использование г-преобразования для анализа БИХ-фильтров Прежде, чем мы сможем добавить г-преобразование к набору инструментов цифровой обработки сигналов, следует рассмотреть еще один вопрос. Нам необходимо определить, что представляет собой операция задержки на рисунке 6.3 по отношению к г-преобразованию.
Для этого предположим, что у нас есть последовательность х(п), г-преобразование которой есть Х(г), и последовательность у(п) = х(п-1), г-преобразование которой есть У(г), как показано на рисунке 6.16. г-преобразование у(п) по определению имеет вид ОО 02 У(г) ««) у(п)г и ~г~ х(п 1)г (6-18) Теперь, если мы положим к - и — 1, то У(г) принимает форму ОЭ Оэ 1(г) = ~~~~х(я)г — ("+1) = ~ х(я)г — Йг — 1 ь- — ~ ь- — ~ (6-19) которую мы можем переписать как У(г) = г-т '~ЫД~-ь = г-т(Х(г)) ь--а (6-20) «(л -1) «( Рис.
6.16. Выходная последовательность у(п) представляет собой задержанную на один период дискретизации входную последовательность«(л) Следовательно, одна единица задержки во временной области приводит к умножению г-преобразования на г т. Рассматривая единичную задержку по времени как эквивалент оператора г ), мы приходим к соотношениям, показанным на рисунке 6.17, о которых можно сказать, что Х(г)г о = Х(г) — это г-преобразование х(п), Х(г)г т — г-преобразование последовательности х(п), задержанной на один отсчет, Х(г)г г — г-преобразование последовательности х(п), задержанной на два отсчета, а Х(г)г ь — г-преобразование последовательности х(п), задержанной на к отсчетов. Таким образом, передаточная функция вида г ~ эквивалентна задержке на Йг, секунд, где Г, — период времени между последовательными отсчетами, или единица, деленная на частоту дискретизации, г, = 1Д;.
Поскольку задержка на один отсчет эквивалентна множителю г-), символ единичной задержки, использованный на рисунках 6.2 и 6.3, обычно помечают оператором г т. Задержимся на минуту и посмотрим, где мы находимся в данный момент. Наше знакомство с преобразованием Лапласа и его з-плоскостью, понятие устойчивости, основанное на расположении полюсов Н(з), введение г-преобразования с его полюсами в г-плоскости, и концепция оператора г (, обозначающего единичную задержку по времени, привели нас к поставленной цели: мы можем теперь изучить разностное уравиение или структуру БИХ-фильтра и сразу 240 главаб. Фильт ысимп льснойка акте истикойбесконечнойдлины записать передаточную функцию фильтра Н(г).
Вычислив соответствующим образом передаточную функцию БИХ-фильтра Н(г), мы можем получить частотную характеристику фильтра и проверить его устойчивость. Помня об этой амбициозной цели, займемся выводом уравнений в г-области, необходимых для анализа БИХ- фильтров.
Используя соотношения, приведенные на рисунке 6.17, начертим схему, приведенную на рисунке 6.3, как обобщенный БИХ-фильтр М-го порядка, используя оператор г 1, как показано на рисунке 6.18. (В аппаратуре операции задержки г т реализуются как регистры сдвига, хранящие последовательные входные и выходные отсчеты. При программной реализации БИХ-фильтра операция г 1 просто указывает на последовательные ячейки памяти, в которых хранятся входная и выходная последовательности.) Структуру БИХ-фильтра на рисунке 6.18 часто называют Лрлмой формой 1. Разностное уравнение во временной области, описывающее обобщенный БИХ- фильтр М-го порядка, имеющий осенний прямой связи и Мсекций обратной связи, показанный на рисунке 6.18, имеет вид у(п) = Ь(0)х(п) + Ь(1)х(п-1) + + Ь(2)х(п — 2) -»...-» Ь(Ы)х(п †(»7) + -» а(1)у(п — 1) + а(2)у(п — 2) -» ... ч+ а(М)у(п-М) .
Выражение для БИХ-фяльтра М-го порядка во временной области (6-21) ЕГ (и-3» х(п-к) Задержка — ° -О «Задержка( †-аа- Временная обпасть Х(г)г г Х(г)г-з Х(г)г Х(г) Х(г)г " г - обпасть Рис. 6.17. Соответствие операции задержки по времени и операции г-к а г-области В г-области выходной сигнал такого БИХ-фильтра можно записать как У(г) = Ь(0)Х(г) + Ь(1)Х(г)г-~ + Ь(2)Х(г)г г + ...
+ Ь(Ж)Х(г)г "+ (6-22) Выражение для БИХ-фяльтра М-го порядка в г-области т'(г) = Х(г)~» Ь(Ь)г (» + У(г)~, а(Ь)г к, (6-23) а=о »»=1 + а(1)У(г)г-т + а(2)У(г)г г -» ... + а(М) у(г)г м, где г'(г) и Х(г) представляют собой г-преобразования последовательностей у(п) и х(п) соответственно. Рассмотрите уравнения (6-21) и (6-22) внимательно и обратите внимание на то, что единичные задержки по времени преобразуются в отрицательные степени г в г-области.
Более компактная форма выражения для У(г) выглядит так 6.3.г-п еоб азование 241 а(м) Рис. 8.18. Обобщенная структура (Прямая форма!) БИХ-фильтра М-го порядка, имеющего И секций прямой связи и М секций обратной связи, оператор г-' символизирует задержку по времени на один отсчет Итак, мы достигли места, где можно описать передаточную функцию обобщенного БИХ-фильтра. Приведя подобные члены в (6-23), получаем: М У У(г)(1 — г и(«)г «] =Х(г)~~ Ь®г «.
«=1 «-О (6-24) И, наконец, мы получаем передаточную функцию фильтра в г-области Н(г) = У(г)/Х(г); где Н(г) имеет вид Передаточная функция БИХ-фильтра М-го порядка в г-области Н(г) = У(г)/Х(г) = = ( г Ь(л)г «]/~1 — „г, п(я)7 «]. (6-25) (Как и в случае передаточных функций Лапласа, порядок нашей передаточной функции в г-области определяется наибольшим показателем степени при г в знаменателе, в рассматриваемом случае — это М.) Уравнение (6-25) говорит нам все, что необходимо знать о БИХ-фильтре. Мы можем вычислить корни знаменателя, чтобы определить расположение полюсов фильтра на г-плоскости, которое необходимо для проверки устойчивости.
Подобно тому, как передаточная функция Лапласа Н(х) в (6-9) описывала комплекснозначную поверхность над или под з-плоскостью, так и Н(г) описывает комплекснозначную поверхность над или под г-плоскостью. Пересечение поверхности Н(г) с боковой поверхностью цилиндра, построенного на единичной окружности г = еда дает нам комплексную частотную характеристику фильтра. Это значит, 242 Глава 6. Филь ы с имп льсной ка акте истикой бесконечной длины что подстановка елэ вместо г в передаточной функции (6-25) даст нам выражение для частотной характеристики БИХ-фильтра Нууй(ш) вида Частотная Нууй(ш) = Н(г) ),,уи = (6-26) = ~ Ь(к)е 1Ьи/[1 — ~> и(Л)е У~ ~. е-0 Изменим форму (6-26) и получим более полезные выражения для модуля и аргумента Нууй(ш) (АЧХ и ФЧХ фильтра). Поскольку Нууй(ш) является отношением комплексных величин, мы можем представить Нууй(ш) в алгебраической форме: уч М Нууа(в) =~~> Ь(УеЯсоз(Уев) — уяп(йв)]/(1 -~ и(Ь)[соз(йш) — уяп(йв)~ ), (6-27) а-О е=1 или Частотная (6-28) Обычно проще и полезнее рассматривать комплексную частотную характеристику в виде модуля и аргумента.
Давайте получим соответствующие выражения, представив числитель и знаменатель (6-28) в виде двух комплексных функций круговой частоты в. Обозначив числитель (6-28) как Хит(ш), запишем №т(в) = Ниттеау(ш) ч ]Митьаак(ш) (6-29) где 11 Нитт У(ш) = ~1 Ь(Уе)'соз(Уев), е-О уч ЬУиту (ш) = — ~> Ь(Уу) 'яп(кв), А=О (6-30) Аналогично знаменатель (6-28) можно представить в виде е)ел(ш) ууелтеау(ш) ч Репутае(ш) ' (6-31) где М 7)ептеау(ш) = 1 — ~~~~~а(Й)есоз(ага) е=1 характеристика БИХ-фильтра М-го порядка в экспоненциальиой форме характеристика БИХ-фильтра М-го порядка валгебраической форме Нйл(в) = [;5,' Ь(Уг)соз(йв) — 1'5,' Ь(Ь)яп(йв)1т/ УтО УтО м М /[1 —,~> а®соз(Ы) +Д, а(Ь)яп(йв)~ 243 6.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
