Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Для разных значений в мы будем находить корреляциюу(г) с разными комплексными синусоидами, как показано на рисунке 6А. (Как мы увидим, эта корреляция очень похожа на корреляцию у(Г) и различных синусоидальных и косинусоидальных колебаний при вычислении дискретного преобразования Фурье.) Здесь опять действительная часть Г(х) при заданном значении з представляет собой корреляцию Яг) и косинусоиды с частотой вв и коэффициентом затухания а, а мнимая часть Е(в) представляет собой корреляцию у(г) и синусоиды с частотой св и коэффициентом затухания о, Теперь, если мы поставим в соответствие каждому значению переменной в точку на комплексной плоскости, которую по праву называют в-плоскостью, мы радиус-векторы н комплексной плоскости — (лри я перев ) гге Глава 6. Фильт ы с имп льснойха акте истикой бесконечнойдлины сможем построить графики действительной и мнимой части г(з) как поверхности над или под этой з-плоскостью.
Мы не можем построить на бумаге график полной комплексной функции г(з), поскольку для этого потребовалось бы четыре измерения. Это объясняется тем, что, поскольку переменная з комплексная, для ее изображение необходимы два измерения, а для изображения самой комплексной функции г(з) требуется еще два измерения. Но мы можем построить график модуля )Г(з)) в функции з, поскольку этот график требует только трех измерений. Давайте так и будем делать всякий раз, когда нам потребуется наглядно изобразить результат преобразования Лапласа. (а) мя (Ь) (с) Время мя Рис. 6.4.
действительная (косинусная) часть различных функций е вг, где э =о+)и, участвующих в вычислении корреляции с г(г) Допустим, имеется линейная система, показанная на рисунке 6.5. Предположим также, что мы можем связать вход к(Г) и выходу(Г) линейной инвариантной во времени системы, показанной на рисунке 6.5, посредством следующего одно-. родного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 6.2. П еоб азованиеЛапласа 227 Рис. 6.6. Система, описываемая уравнением (6-6). Входной и выходной сигналы системы х(1) и уЯ являются непрерывными функциями времени аз)/тйу(С))/Й~ + аДйу(г) )/Й+ апу(г) = ЬДйх(г)1/Й + Ьех(г) . (6-6) Мы используем преобразование Лапласа для достижения поставленной цели— понять, как будет вести себя система при подаче на ее вход различных сигналов, т.
е. каким будет выходной сигнал у(г) для любого заданного сигнала х(г). Давайте немного притормозим и посмотрим, о чем нам говорят рисунок 6.5 и уравнение (6-6). Во-первых, поскольку система инвариантна во времени, коэффициенты уравнения (б-б) а„и Ь„постоянны. Они могут быть положительными или отрицательными, равными нулю, действительными или комплексными, но они не меняются со временем. Если это электрическая система, то коэффициенты могут быть связаны с емкостью, индуктивностью и сопротивлением. Если система механическая, состоящая из масс и пружин, коэффициенты могут быть связаны с массой, коэффициентом демпфирования и коэффициентом упругости.
Если же система термическая, состоящая из масс и теплоизоляторов, коэффициенты могут быть связаны с теплоемкостью и теплопроводностью. Чтобы не ограничивать общность наших рассуждений, мы не будем здесь уточнять, какие физические величины представляют наши коэффициенты. Уравнение (б-б) показывает также, что, если не обращать внимания на коэффициенты, то сумма выходного сигнала у(Г) и его производных равна сумме входного сигнала х(г) и его производных. Наша задача состоит в том, чтобы точно определить, какие функции удовлетворяют соотношению (6-6). (Упрямцы могут использовать здесь классические методы решения дифференциальных уравнений, но для нас преобразование Лапласа сделает задачу намного проще.) Благодаря Лапласу, мы будем использовать комплексную экспоненту еа.
Она обладает одним замечательным свойством: ее можно дифференцировать неограниченное количество раз, и при этом ее форма остается неизменной: е((екг)/Й = тем г72(ем)~/<Я = з2еа г73(ем)/гт~З = этем д"(ея)/Й" = з"ея, (6-7) Благодаря этому свойству в результате преобразования Лапласа уравнение (6-6) преобразуется в а2з2у(е ) + а~~(ем) + аау(е ) = Ь~хх(ем) + Ьах(ем) или (а2з~+ а~з+ аа) у(е ) = (Ьтз+Ьа)х(е ).
(6-8) Хотя это уравнение проще, чем (6-6), мы можем еще больше упростить уравнение в последней строке (6-8), рассматривая отношение у(е и) и х(е и) как лапласовскую передаточную функцию системы, показанной на рисунке 6.5. Если мы назовем это отношение полиномов передаточной функцией Н(з), то 226 Глава 6. Фильт ы с имп льснойха акте истикой бесконечнойдлины НЯ = у(е 'г)/х(ем) = (Ь! х + Ьа )/(а2 зЗ + а(з + аа) . (6-9) Мы можем использовать стандартные обозначения и представить передаточную функцию в виде Н(з) = у(з)/Х(з) =(Ь!э+ Ьо)/(пах~+ а)з+ ао) (6-10) где выходная функция т'(э) определяется выражением У(х) = ХЯ(Ь1з+ Ьа)/(азха + атз+ аа) = Х(з)Н(з) . (6-11) Уравнение (6-11) приводит нас к необходимости перерисовать исходную блоксхему системы в форме, которая подчеркивает определение передаточной функции Н(х), как показано на рисунке 6.6.
Осторожный читатель может спросить нас: «Насколько правомерно использование анализа с помощью преобразования Лапласа, который основан на представлении реального входного сигнала системы х(Г) в виде некоторой функции от е 'г, или х(е ")?» Ответ на этот вопрос состоит в следующем. Метод анализа с помощью преобразования Лапласа, основанный на комплексных экспонентах, обоснован, поскольку все входные функции х(Г), встречающиеся на практике, могут быть представлены комплексными экспонентами. Например, с! константа с = сеаг; !з синусоида з(п(гэг) = (е/иг — е хыг)/2~'или соз(гаг) = (е/«я+ е хыг)/2; ш монотонная экспонента е «г; а экспоненциально затухающая синусоида е гсоз(шт).
Рис. 6.6. Линейная система, описываемая уравнениями (6-10) и (6-1!). На вход системы поступает преобразование Лапласа входного сигнала, Х(з), на выходе получаем преобразование Лапласа выходного сигнала У(э), передаточная функция системы Н(з) Из сказанного следует, что, если мы знаем передаточную функцию системы Н(з), то мы можем взять преобразование Лапласа от входного сигнала х(г) и определить Х(з), умножить Х(з) на Н(з) и получить т"(з), а затем взять обратное преобразование Лапласа от г'(з), получив в результате выражение для выходного сигнала у(г).
В практических ситуациях, однако, мы обычно не выполняем все эти шаги, потому что наибольший интерес для нас представляет сама передаточная функция НЯ. Если мы можем выразить Н(з) аналитически или построить график поверхности )Н(х) ~ как функции переменной з, то это позволяет нам определить два наиважнейших свойства анализируемой системы и ответить на вопрос: устойчива ли система и, если да, то какова ее частотная характеристика? «Но постойте» вЂ” говорите вы.
— «Уравнения (6-10) и (6-11) показывают, что для получения Н(з) нужно знать )'(з) !» На самом деле это не так. Нам необходимо знать только дифференциальное уравнение, подобное (6-6). Затем мы берем 6.2. П еобразоаание Лапласа 229 преобразование Лапласа этого дифференциального уравнения и комбинируем его члены так, чтобы получить Н(з) в форме (6-10). Имеющие практический опыт разработчики систем могут просто посмотреть на блок-схему (механическую, электрическую и любую другую) системы и сразу написать выражение для Н(з). Используем же теперь понятие передаточной функции Н(з), чтобы определить устойчивость и частотную характеристику простой непрерывной системы. 6.2.1. Полюсы и нули на а-плоскости и условие устойчивости Одной из важнейших характеристик системы является ее устойчивость.
Мы можем считать систему устойчивой, если при ограниченном сигнале на входе она всегда выдает ограниченных выходной сигнал. Кажется, что легко достичь выполнения этого условия, потому что большинство окружающих нас в повседневной жизни систем являются устойчивыми.
Тем не менее, мы все имеем опыт наблюдения неустойчивости системы, содержащей обратные связи. Вспомните вой, который раздается, когда микрофон громкоговорящей системы подносится слишком близко к громкоговорителю. Сенсационный пример нестабильной системы наблюдался в западном Вашингтоне, когда первый мост Такома Нэрроуз (Тасос Ыаггоъ"з Вг168е) начал колебаться в полдень 7 ноября 1940 г. Эти колебания были вызваны ветром со скоростью 42 мили в час, их амплитуда нарастала до тех пор, пока мост не разрушился.
Для БИХ-фильтров с их внутренней обратной связью неустойчивость может привести к тому, что состояние выхода фильтра перестанет отражать состояние его входа; т. е. выходные отсчеты при этом не являются фильтрованными версиями входных отсчетов; они представляю собой какие-то непонятные колебания или псевдослучайные значения.
Таких ситуаций следует по возможности избегать, не так ли? Посмотрим, как этого добиться. Мы можем разобрать понятие устойчивости непрерывной системы, изучив несколько разных примеров передаточных функций Н(з), описывающих линейные инвариантные во времени системы. Предположим, что у нас есть система, передаточная функция которой имеет форму (6-10), при этом коэффициенты ее действительны, а коэффициенты Ьг и а~ равны нулю.
Обозначим эту передаточную функцию как Н~(з); Н~(з) = Ьо /(а1з + ао) = (Ьо /а~)Яз + ао /а~) . (6-12) Заметьте, что при з = — ао /аг знаменатель в (6-12) обращается в ноль, а модуль Н~(з) устремляется в бесконечность. Эту точку з = — ао /аг называют полюсом, и на рисунке 6.7 (а) он отмечен значком 'х". Обратите внимание на то, что полюс расположен в левой полуцлоскости, соответствующей отрицательной части действительной оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
