Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Если бы система, описываемая функцией Нп находилась в состоянии покоя и в момент времени с=0 мы подали на ее вход импульс х(г), ее непрерывный выходной сигналу(г) представлял бы собой затухающую экспоненту, показанную на рисунке 6.7 (Ъ). Мы можем видеть, что Н~(з) устойчива, потому что выходной сигнал у(г) с течением времени стремится к О. Кстати, расстояние полюса от оси о = О, ао /аз для нашей передаточной функции Н~(з) определяет скорость затухания импульсной характеристики у(г).
Чтобы показать, почему эту точку называют полюсом, на рисунке 6.8 (Ъ) изображена трехмерная поверхность 2ЗО Глава 6. Фильт ыс имп льснойха акте истикой бесконечнойдлины )Н((з) ~. Посмотрите на этот рисунок внимательно и обратите внимание на то, что мы изменили ориентацию осей з-плоскости. При такой ориентации осей мы можем увидеть, как по этой трехмерной поверхности можно получить АЧХ системы. Если мы рассмотрим поверхность !Нт(з) ~ при а = О, то получим характеристику, показанную на рисунке 6.8 ((э) толстой линией.
Эта толстая линия, представляющая собой сечение поверхности )Н~(з)) вертикальной плоскостью а = О, и есть АЧХ нашей системы )Нт(в) ) — таким образом, мы достигли одной из наших целей. В более привычном виде АЧХ )Н)(ы) ! приведена на рисунке 6.8 (с). Рисунки 6.8 (Ь) и 6.8 (с) выявляют одно важное обстоятельство: преобразование Лапласа представляет собой обобщение преобразования Фурье, потому что при а = О значение х = уо. Поверхность )Н((з) ! при а = О превращается в функцию частоты )Нт(в) (, показанную на рисунке 6.8 (с). Другая известная передаточная функция приводит к колебательной импульсной характеристике. Рассмотри другой частный случай передаточной функции (6-10), когда Ьа =О, а корни полинома знаменателя принимают комплексные значения.
Мы обозначим этот частный случай передаточной функции как Н2Я: НрЯ = Ьт х/(а~э~ + атз + ал) = [(Ь(/а~)х)/[з~ + (а(/а2)з + аа/а21 (6-13) Время (ь) (а) Рис. 6.7. Представления функции Н,(з); (а) полюс, расположенный в точке э =а +))е = -ао/а, +10 на з-плоскости; (Ь) импульсная характеристика системы у(() (Кстати, когда переменная з входит как в числитель, так и в знаменатель передаточной функции, порядок функции определяется наибольшей степенью з в знаменателе. Следовательно, наша Н2Я имеет второй порядок.) Чтобы несколько упростить последующие уравнения, разложим знаменатель передаточной функции на множители и перепишем (6-13) в виде: Н2(х) =А /[("р)( +р")[ (6-14) гдеА = Ь~/а~,р =р„, )+~р; яр" =р„а ) — ~р; „(комплексно-сопряженный р).
Заметим, что если з йринимает значение — р или — р ", один из сомножителей в знаменателе (6-14) обращается в ноль, а модуль Н2(з) становится бесконечным. Два комплексных полюса, показанные на рисунке 6.9 (а), лежат в стороне от отрицательной части действительной оси. Если бы система Н2 находилась в состоянии покоя и в момент времени г=О мы подали на ее вход импульс х(г), то выходной сигнал системы у(г) представлял бы собой затухающую синусоиду, показанную на рисунке 6.9 (Ь).
Мы видим, что Н~Я устойчива, потому что ее осциллирующий выходной сигнал с течением времени затухает подобно задетой гитарной струне. Здесь тоже расстояние полюсов от оси а = О (-р„, )) определяет скорость затухания синусоидальной импульсной характеристики у(г). Аналогично, расстояние 6.2. П еоб аэование Лапласа 231 полюсов от оси)го = О ('+р; ) определяет частоту колебания синусоидальной импульсной характеристикй у(г). Обратите внимание на одну новую деталь на рисунке 6.9 (а).
Когда з = О, числитель (6-14) равен нулю, в результате чего Н2(з) - О. Любое значение з, при котором Н2(з) = О, часто представляет определенный интерес и обычно отмечается на з-плоскости небольшим кружочком, называемым «нулем», показанным на рисунке 6.9 (а). Здесь нас не очень интересует то, как выразить р и р*через коэффициенты знаменателя (6-13).
Но настойчивый читатель может выразить значения р и р" через аа, а) и а2 с помощью известной формулы корней квадратного уравнения: заданный полипом второго порядка Дз) = аз2 + Ь + с можно представить в виде произведения сомножителей (а) (Ь) (с) Рис. 6.8. Подробное представление Н~(з): (а) полюс в точке о=-ао/а, наз-плоскости; (Ь) поверхность ) Н,(з) ); (с) кривая сечения поверхности )Н,(з) ) вертикальной плоскостью а = О. Это обычное изображение АЧХ системы )Н!«4) 232 Глава б.
Фильт ы с имп льснойха акте истикой бесконечной длины г' а гаьаг (а) Рис. 6.9. Представления Нз(з): (а) полюсы в точках з =р„,в/р, з-плоскости; (Ь) импульсная характеристика системы у(() (а) Нг (с) Рис. 6.10. подробное изображение н2 (з): (а) расположение полюсов и нулей на з-плоскости; (Ь) поверхность | Нс (з) ); (с) график АЧХ ) На (аг) ) 6,2.
П еоб азованиеЛапласа 233 Яз) =наг+ба+с = (6-15) — ~ + ыг. +4и:т вам* ° ьь -4Гы — т аы~. На рисунке 6.10 (Ь) показана поверхность )Н~(з)! над з-плоскостью. Толстая линия на этом рисунке показана на рисунке 6.10 (с) в более привычном виде, она представляет собой АЧХ системы, описываемой уравнением (6-13). Хотя трехмерные поверхности на рисунках 6.8 (Ь) и 6,10 (Ь) весьма информативны, они в то же время громоздки и не всегда необходимы. Мы можем оценить устойчивость системы, просто рассмотрев расположение полюсов на двухмерной з-плоскости.
На рисунке 6.11 показаны карты расположения полюсов для нескольких различных передаточных функций и соответствующие им импульсные характеристики. Мы видим, что рисунки 6.11 (а) и 6.11 (Ь), которые мы уже обсуждали, демонстрируют нам характеристики устойчивых систем.
Будучи выведены из состояния покоя входным сигналом, они реагируют на него, а затем постепенно возвращается в состояние покоя. Единственный полюс з = О на рисунке 6.11 (с) соответствует передаточной функции 1/к В электрических системах передаточная функция 1/з может описывать конденсатор, заряженный импульсом тока при отсутствии цепи разряда. Для механической системы 6.11 (с) может описывать некоторую пружину, которая сжата импульсом силы и по какой-то причине остается в этом состоянии. Обратите внимание на то, что, когда Н(з) имеет сопряженные полюсы, лежащие точно на оси уш (сг = О), как на рисунке 6.11 (г1), система превращается в генератор, если она выведена из состояния покоя. Эта ситуация, которую называют условной устойчивостью, описывает передаточные функции электронных генераторов.
Неустойчивые системы показаны на рисунках 6.11 (е) и 6.11 ((). Здесь полюсы лежат справа от оси квк Когда импульсный входной сигнал выводит такую систему из состояния покоя, ее выходной сигнал неограниченно возрастает'. Вы видите, что гг, действительная часть полюса, здесь играет ключевую роль. Когда о ( О, система ведет себя хорошо и устойчива; когда и = О, система условно устойчива; и когда о > О, система неустойчива. Итак, мы можем сказать, что, когда полюсы расположены в правой полуплоскости комплексной плоскости, система неустойчива. Для линейных непрерывных систем это продемонстрировано на рисунке 6.12.
Помните, что реальные системы часто имеют более двух полюсов, и устойчивость системы определяется полюсом с наименьшей устойчивостью. Чтобы система была устойчивой, все ее полюсы должны лежать в левой полуплоскости з-плоскости. Итак, подытожим коротко то, что мы узнали: Н(з) определяется путем записи дифференциального уравнения линейной системы с последующим взятием преобразования Лапласа от этого уравнения, в результате чего получаем выражения, содержащие преобразования Лапласа Х(з), г'(з), з и коэффициенты системы.
ЗаИсследование импульсной характеристики в лаборатории может быть важной частью процесса проектирования. Трудность здесь состоит в генерации действительно импульсного сигнала. Если мы исследуем электрическую систему, в качестве входного импульса х(г) можно использовать очень короткий импульс напряжения или тока, хотя его не всегда просто получить. Если же система механическая, в качестве входного импульса хО) можно использовать удар молотком. Для цифровых систем импульсный входной сигнал генерируется легко, он представляет собой один единичный отсчет, которому предшествуют и за которым следуют нулевые отсчеты. 2З4 Главаб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
