Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Увы, не существует простого метода вычисления коэффициентов БИХ-фильтра а(й) и Ь(й) по импульсной характеристике! К несчастью, методы проектирования КИХ-фильтров, которые мы изучали до сих пор, оказываются непригодными для проектирования БИХ-фильтров. К счастью для нас, мы можем преодолеть этот недостаток, используя один из нескольких методов проектирования БИХ-фильтров. Стандартные методы проектирования БИХ-фильтров делятся на три базовых класса: метод инвариантного преобразования импульсной характеристики, метод билинейного преобразования и оптимизационные методы.
Эти методы используют математический метод преобразования дискретных последовательностей, известный как г-преобразование, истоки которого восходят к преобразованию Лапласа, используемому для анализа непрерывных систем. Имея все это ввиду, начнем обсуждение анализа и проектирования БИХ-фильтров с краткого напоминания основ преобразования Лапласа. 6.2. Преобразование Лапласа Преобразование Лапласа представляет собой математический метод решения линейных дифференциальных уравнений, который оказался очень полезным в технике и физике. Этот метод преобразования, в том виде, в каком его используют сегодня, берет начало в работах блестящего английского физика Оливера Хэви- сайда'.
Применение преобразования Лапласа можно представить в виде следующей последовательности шагов: Шаг 1. Записывается дифференциальное уравнение во временной области, описывающее соотношение вход/выход физической системы (нам необходимо найти выходную функцию, которая соответствует этому уравнению и заданной входной функции). Шаг 2. Дифференциальное уравнение подвергается преобразованию Лапласа, которое превращает его в алгебраическое уравнение. Шаг 3. Для определения преобразования Лапласа от выходной функции используются стандартные алгебраические методы.
Шаг 4. Полученное преобразование Лапласа от выходной функции подвергается обратному преобразованию Лапласа, в результате чего получается уравнение выходной функции во временной области. ! Хэвисайд (1850-1925), который интересовался электрическими явлениями, разработал эффективный аналитический метод решения дифференциальных уравнений. Ему пришлось вынести множество нападок со стороны современников, которые считали, что предложенный подход недостаточно обоснован с математической точки зрения. Однако открытие тесной связи методов Хэвисайда со строго математическим изложением операционного исчисления французского математика маркиза Пьера Симона ле Лапласа (1749-1827) подтвердило обоснованность методов Хэвисайла. 224 Глава 6.
Фильг ы с имп льснойха акте истикой бесконечнойдлины Это процедура на первый взгляд кажется несколько обременительной, поскольку заставляет нас идти в обход вместо того, чтобы решать дифференциальное уравнение прямо. Оправданием использованию преобразования Лапласа служит то, что, хотя решение дифференциальных уравнений классическими методами представляет собой очень мощный метод анализа любых систем, кроме самых простых, оно может быть очень трудоемким и порождать ошибки. Уменьшение сложности выкладок при использовании алгебраических методов оправдывает дополнительные усилия, затраченные на прямое и обратное преобразование Лапласа.
Это в особенности справедливо сегодня, когда существуют таблицы прямых и обратных преобразований Лапласа для всех обычно встречающихся на практике функций. Хорошо изученные свойства преобразования Лапласа также позволяют раскладывать сложные функции на комбинации более простых функций и затем использовать таблицы. (Таблицы преобразований Лапласа позволяют нам быстро переходить от функций времени к их преобразованиям Лапласа и обратно — аналогично тому, как мы пользуемся англо-русским и русско-английским словарем при изучении английского языка'".) Рассмотрим коротко наиболее важные свойства преобразования Лапласа, которые будут полезны при нашем переходе к дискретному г-преобразованию, используемому для анализа и проектирования цифровых БИХ-фильтров. Преобразование Лапласа непрерывной функции времениДГ), которая определена только для положительного времени (г > 0), математически выражается как СО г(5) = ~у(г)в яй.
(6-3) в Функцию Е(в) называют «преобразованием Лапласа от г(г)», а переменная в представляет собой комплексное число вида в= о-»гш (6-4) Более общее выражение для преобразования Лапласа, которое называют двухсторонним преобразованием, в качестве нижнего предела интегрирования использует отрицательную бесконечность (-«»). Но в системах, которые мы будем рассматривать, анализ при отрицательном времени (г < 0) не нужен, и используется одностороннее преобразование (6-3). Такие системы, которые часто называют каузальными, могут иметь начальные условия при г = О, которые необходимо учитывать (скорость тела, заряд конденсатора, температура тела и т. д.), но нам нет необходимости знать, что система делала до момента времени г = О.
В уравнении (6-4) о — действительное число, а ш — частота в радианах в секунду. Поскольку е-'г не имеет размерности, сомножитель в должен иметь размерность 1/время, или размерность частоты. Поэтому переменную Лапласа в часто называют комплексной частотой. ! Хотя таблица часто используемых функций можно найти почти в каждом учебнике по системному анализу, очень подробные таблицы приведены в работах 11-31 Отечественному читателю можно посоветовать многократно издававшийся в СССР и России «Справочник цо математике (для научных работников и инженеров)», Г. Кори, Т.
Коря, который доступен и в Интернете в различных электронных форматах — (прим. ред перев.) 226 6.2. П еоб азованиеЛапласа Выразив формулу (6-3) словами, можно сказать, что она требует умножать точку за точкой функцию у(Г) на комплексную функцию е "при различных значениях х. (Скоро мы увидим, что использование функции е вс здесь не случайно; е "используется потому, что она представляет собой общую форму решения линейных дифференциальных уравнений.) После поточечного умножения мы находим площадь под графиком функциияг)е 'с путем суммирования всех произведений. Это площадь, которая является комплексным числом, дает значение преобразования Лапласа для текущего значения з = и +уэ, использованного при первоначальном умножении.
Если мы проделаем эту процедуру для всех значений в, мы будем иметь полное описание Е(в) для всех х Мне нравится рассматривать преобразование Лапласа как непрерывную функцию, комплексное значение которой при некотором в представляет собой корреляцию функциият) и затухающей комплексной синусоиды е 'с, частота которой равна сн, а коэффициент затухания равен о. Как выглядят комплексные синусоиды? Они представляют собой вращающиеся фазоры', описываемые выражением е-м = е — (в в рв)( = е — ес е — рвс = е — смсу'е вс (6-5) Из того, что мы знаем о комплексных числах, следует, что е 1 ' представляет собой фазор единичной длины, вращающийся в направлении по часовой стрелке вокруг начала координат комплексной плоскости с частотой св радиан в секунду.
Знаменатель (6-5) представляет собой действительное число, равное единице при Г = О. С ростом Г знаменатель е ес увеличивается (при положительном о), и модуль комплексного фазора е-" уменьшается одновременно с его вращением на комплексной плоскости. Конец этого фазора описывает спираль по направлению к началу координат комплексной плоскости. Один из способов наглядного представления комплексной синусоиды состоит в рассмотрении ее действительной и мнимой частей по отдельности. Мы делаем это, выражая комплексную синусоиду е "в (6-5) в алгебраической форме как е-м = е-г стелс = соэ(свт)унес уз;п(снг)уе с (6-5') На рисунке 6А показаны действительные части нескольких комплексных синусоид с разными частотами и разными коэффициентами затухания. На рисунке 6.4 (а) выбраны произвольные частота св' и коэффициент затухания о' комплексной синусоиды. Следовательно, действительная часть функции Г(в) при в = о' + усе' равна корреляции Яг) и колебания, изображенного на рисунке 6.4 (а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
