Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Мы узнаем это, выведя соотношение между частотой в-плоскости и частотой г-плоскости, которую мы обозначим как еое. Если мы представим г на единичной окружности в полярных координатах как г = те 1тз, как мы делали это для рисунка 6.13, где т = 1, а ели — угол, мы можем подставить г = е1те в (6-88) и получить 266 Глава 6. Фильт ы с имп льсной характе истикой бесконечной длины Используя тождества Эйлера яп(ф) = (е/ф — е сф)/2~' и сох(ф) = (е>Ф + е /ф)/2, мы можем преобразовать правую часть (6-96) в х =о +)со =(2/Г )(е — усосс/г)2)з(п(со1/2)))/(е /ьм/г(2сов(со1/2)]) = = (2/Г )(2е- сосс/г/2е /ьм/г) ' Уз(п(сс(1/2)/соз(ес,1/2)) = (6-97) = (у2/Г, )Сап(со,1/2) .
(6-98) со = (2/г )Сап(сод/2) . Из (6-98) мы получаем полезное соотношение, выражающее частоту г-области со,счерез частоту х-области со„ со,с =2сап С(со г,/2). (6-99) Важное соотношение (6-99), которое несет ответственность за деформацию частот при билинейном преобразовании, показано графически на рисунке 6.30. Рис. 6.30.
Нелинейное соотношение между частотой г-области соо и частотой з-области оса Заметим, что, поскольку при больших со„значение сап С(со„т,/2) приближается к л/2, со,с должна приближаться к вдвое большему значению, или л. Это значит, что, какой бы большой ни была частота со, частота г-плоскости щн никогда не превысит л. Помните, как мы рассматривали рисунок 6.14 и утверждали, что достаточно рассматривать только диапазон частот от — л/, до +л/с радиан/сек на г-плоскости? Наше новое отображение, связанное с билинейным преобразованием, отображает всю х-плоскость на г-плоскость, а не только полосу, показанную на рисунке 6.14. Теперь, если продвижение по оси ссо на х-плоскости в любом направлении приводит нас в бесконечность, то перемещение по половине единичной окружности в направлении против движения часовой стрелки соответствует нашему перемещению от со = О до со = +со радиан/сек.
Итак, билинейное преобразование отображает всю ось частот)со в х-плоскости на единичную окружность в г-плоскости. Мы иллюстрируем эти свойства отображения билинейного преобразования на рисунке 6.31. Если мы теперь приравняем действительные и мнимые части (6-97), мы увидим, что ст = Ои 6.5. Метод проектирования БИХ-филльтров 267 Чтобы показать практические последствия дс формации частот, святкем частоты л-плоскости и г-плоскости с более практичной мерой частоты диск!и тизации /,, Мы лелаем зто, вспомиив, что / = ю/2л. (6-100) Используя (6-100) в (6-1)9) получаем 2л/и = 2(ап '(2л/л т,.
/2) . (6-10! ) Подстарл(яя ///, вместо т,, мы решаем (6-101) ртиосительцо /0 и получас и...,... "".,';.д, . ' '.'м, ."те" о л ~'.". р,';:,."..'~,е .. л за (2//г/)[(1 — г ~)//(1+ г ~)) (6-103) и получить передаточную функцию БИХ-фильтра Н(г). Шаг 4. Умножить числитель и знаменатель Н(г) на (1+г /) в соответствующей степени и выполнить преобразования, чтобы получить передаточную функцию в виде Н(г) = [ Я//(к)г « ')/ [1 — Яа®г «). (6-104) «-/) Шаг 5.
Как и в случае метода инвариантного преобразования импульсной характеристики, мы можем прямо по передаточной функции записать разностное уравнение БИХ-фильтра 0 5/ 0.4/, о.з/, (а) О 2/, о)/, о 0 0.5/~ /з С5/, 2/ 2.5/, 3/, 3/М 4/, 4.5/~ 5« в (ь) )н,(/,)) Рис. 6.32.
Нелинейность соотношения частот 10 и 1: (а) кривая искажения частот, промасштабированная относительно частоты дискретизации БИХ-фильтра 1; (Ь) преобразование частотной характеристики аналогового прототйпа Н,(10) в частотную характеристику дискретного БИХ-фильтра Н,(1,) 268 Глава б. Фильт ы с имп льснойха акте истикой бесконечной длины 6.5. Метода оекти ованияБИХ- ильт ов..'.
269 у(п) = Ь(0)х(п) + Ь(1)х(п — 1) + Ь(2)х(п — 2) + ... + Ь(Ь?)х(п — Н) + + а(1)у(п — 1) + а(2)у(п — 2) +... + а(М) у(п — М) (6-105) Хотя уравнение (6-105) справедливо только для структуры фильтра на рисунке 6.18, для завершения проектирования мы можем использовать коэффициенты а(Ь) и Ь(Ь) в улучшенной структуре БИХ-фильтра, пока- занной на рисунке 6.22. Чтобы показать, насколько прост метод билинейного преобразования, применим его для проектирования фильтра, заданного в примерах использования метода инвариантного преобразования импульсной характеристики. 6.5.1. Пример проектирования с помощью билинейного преобразования И снова наша цель — спроектировать БИХ-фильтр, который аппроксимирует аналоговый прототип Чебышева второго порядка, показанный на рисунке 6.26, неравномерность АЧХ которого в полосе пропускания равна 1 дБ.
Частота дискретизации /; равна 100 Гц (г, = 0.01), а частота среза по уровню 1 дБ равна 20 Гц. Как и раньше, имеем передаточную функцию прототипа вида Нс(х) = 17410.145/(хг+ 137.9453бх+ 17410.145). (6-106) Н,(х) = с/(х2 +Ьх + с), (6-10?) где Ь= 13794536, с=174 10. 145. Подставив (6-103) в (6-107), получаем Н(г) =с/([(2/г,)(1 — г 1)/(1+г 1)]г+Ь(2/г)(1 — г т)/(1+г 1)+с). (6-108) Чтобы упростить немного наши выкладки, обозначим буквой а отношение 2/гт, в результате чего получаем: Н(г) =с/(а2[(1-г 1)/(1+г 1)]г+аЬ[(1 — г т)/(1+г 1)]+с).
(6-109) Выполняя Шаг 4, умножаем числитель и знаменатель (6-109) на (1 + г 1) г и получаем Н(г) =с(1+г 1)г/[аг(1 — г 1)г+аЬ(1+г-г)(1 — г 1)+с(1+г-7)г] (6-110) Перемножая сомножители в знаменателе и объединяя члены с одинаковыми степенями г, приходим к Н(г) = с(1 -ь 2г 1 + г г)/ (6-111) /[(аа + аЬ + с) + (2с — 2аг)г 1 + (аг + с — аЬ)г г]. Мы почти у цели. Чтобы представить (6-111) в форме (6-104), где свободный член знаменателя равен 1, разделим числитель и знаменатель (6-111) на (аг + аЬ + с), что даст нам выражение и г, — 0.01, что позволяет нам перейти к Шагу 3. Для удобства заменим числовые константы в (6-106) переменными: 270 Глаааб.
Фильт ысимп льснойка акте истнкойбесконечнойдлнны Н(г) = (с,'(аг ч- аЬ -«с)1(1 + 2г ~ + г г)/ (6-112) 7(1+1(2с — 2аг)/(аг+ аЬ + с)~ г ~ -«1(аг -«с — аЬ)/(аг+ аЬ «с)) г г) . Теперь (6-112) выглядит похоже на требуемую форму (6-104). Если мы подставим значения переменных а = 2/г, = 200, Ь = 137.94536 и с = 17410.145 в (6-112), мы получим передаточную функцию БИХ-фильтра: Н(г) = 020482712(1+ 2г ~ + г г)/(1 — 0.53153089г ' + ОЗ5083938г г) = = (0.20482712 + 040965424г ~ + 0.20482712г г)/ (6-113) /(1 — 0.53153089г ~ + 035083938г г) Рассмотрев (6-113), мы можем записать разностное уравнение БИХ-фильтра: у(п) = 0.20482712'х(п) + 0.40965424 'х(п — 1) + 0.20482712 'х(п — 2) + (6-114) + 0.53153089 у(п — 1) — 035083938 у(п — 2).
АЧХ спроектированного методом билинейного преобразования фильтра показана черной линией на рисунке 6.33 (а), где для сравнения мы показали серой линией результат использования метода инвариантного преобразования импульсной характеристики. Обратите внимание на то, что АЧХ фильтра, полученного с помощью билинейного преобразования, стремится к нулю по мере приближения частоты к частоте заворота/; /2 = 50 Гц. Так и должно быть — в этом и состоит главная задача метода билинейного преобразования.
Рисунок 6.33 (Ц демонстрирует нелинейную ФЧХ БИХ-фильтра. Нам так и хочется сказать, что билинейное преобразование не только проще реализуется, чем инвариантное преобразование импульсной характеристики, но оно еще и дает фильтры нижних частот со значительно более крутой переходной полосой. Да, деформация частотной оси сжимает, делает более крутой, переходную полосу фильтра, как мы видели на рисунке 6.32, но дополнительной причиной улучшения АЧХ является увеличение сложности реализации БИХ-фильтра.
Мы видим это, изучая структуру фильтра, показанную на рисунке 6.34. Заметьте, что наш новый фильтр требует пять умножений на выходной отсчет, тогда как фильтр, полученный методом инвариантного преобразования импульсной характеристики, на рисунке 6.28 (а) требует всего трех умножений на выходной отсчет. Дополнительные умножения необходимы для дополнительных цепей прямой связи.
Дополнительные коэффициенты Ь(Ь) в Н(г) соответствуют нулям на г-плоскости, созданным билинейным преобразованием, которые отсутствуют при инвариантном преобразовании импульсной характеристики. Поскольку аналоговый прототип, использованный в примерах, имел частоту среза, равную 1; /5, на рисунке 6.33 мы не заметили влияния искажения частот.
(Действительно, Кайзер показал, что, когда 1, достаточно велика, методы инвариантного преобразования импульсной характеристики и билинейного преобразования дают почти идентичные передаточные функции Н(г) [191.) Если бы частота среза нашего фильтра была побольше, искажение частот было бы заметнее, и частота среза результирующей АЧХ ~Н,ф;~ ) ~ была бы ниже требуемой. Чтобы обойти эту трудность, профессионалы прибегают к предыскожению частоты среза прототипа перед вычислением его передаточной функции Н (з) на Шаге 1.
6.5. Метод п оекти ованияБИХ- ильт ов... 271 (а) 50 Гц (1, 12) 50 1 ц Ч0010та (~, 12) 20 Гц 0 20 Гц (ь) Рис. 6.33. Сравнение билинейного преобразования и инвариантного преобразования импульсной характеристики при проектировании БИХ-фильтров: (а) АЧХ; (Ь) ФЧХ БИХ-фильтра, полученного методом билинейного пре- образования Рис.6.34. Реализация фильтра, полученного в примере методом билинейного преобразования Таким способом они компенсируют искажение оси частот до того, как оно возникнет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
