Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 56
Текст из файла (страница 56)
286 Глава 7. Специальные КИХ- ильт ы нижних частот 7.1. Фильтры на основе частотной выборки: утраченное искусство В этом разделе обсуждается класс цифровых фильтров, которые называются фильтрами на основе частотной выборки (ФОЧВ) и которые используются для реализации КИХ-фильтров с линейной ФЧХ.
Хотя фильтры на основе частотной выборки были разработаны более 35 лет тому назад, распространение мощного метода проектирования нерекурсивиых КИХ-фильтров Паркса-Маклеллана оттеснило их в тень. В 1970-е годы фильтры на основе частотной выборки настолько утратили популярность, что в современных курсах лекций и учебниках по ЦОС они либо упоминаются вскользь, либо не упоминаются вообще. Однако мы покажем, что фильтры на основе частотной выборки остаются более эффективными с вичислительной точки зрения, чем фильтры Паркса-Маклеллана, в определенных приложениях, где требуемая ширина полосы пропускания составляет меньше примерно одной пятой частоты дискретизации. Для специалиста-практика в области ЦОС этот материал может послужить введением в структуру, характеристики и проектирование фильтров на основе частотной выборки, а также дать подробное сравнение предлагаемой реализации высококачественных фильтров на основе частотной выборки с их нерекурсивными КИХ эквивалентами.
Кроме того, мы дополним информацию о ФОЧВ практическими соображениями относитель-. но линейности ФЧХ, устойчивости фильтров, нормирования коэффициента передачи и вычислительной сложности, рассмотрев примеры их проектирования. В основе ФОЧВ лежит тот факт, что традиционный нерекурсивный КИХ- фильтр с Ь) ответвлениями, показанный на рисунке 7.1 (а), может быть реализован в виде гребенчатого фильтра, соединенного последовательно с банком из Ы комплексных резонаторов, как показано на рисунке 7.1 (Ь). Мы называем фильтр на рисунке 7.1 (Ь) обобщенным фильтром на основе частотной выборки (ФОЧВ), и его эквивалентность нерекурсивному КИХ-фильтру была доказана в 11-3]. Хотя коэффициенты нерекурсивных КИХ-фильтров с Н ответвлениями л(й), О < в < Н вЂ” 1, обычно имеют действительные значения, в общем случае они могут быть комплексными. Это начальное предположение, которое принимается при сравнении двух фильтров на рисунке 7.1.
Коэффициенты усиления НЯ, которые представляют собой отсчеты ДПФ последовательности коэффициентов Ь(я), в общем случае принимают комплексные значения вида ~Н(в)) еФ®. В основе проектирования ФОЧВ лежит определение требуемой АЧХ КИХ- фильтра в виде отсчетов НЯ в частотной области, модули которых показаны на рисунке 7.2 точками. Далее эти комплексные Н® используются как множители, на которые умножаются выходные сигналы резонаторов ФОЧВ (см. блок-схему). Если вы не встречались с этой структурой раньше, не пугайтесь ее внешней сложности.
Мы скоро разберемся со всеми ее частями и с тем, как эти части взаимодействуют. Позже мы выведем математическое выражение для определения интерполированной (истинной) АЧХ ФОЧВ ~Н(едв)~, которая показана сплошной линией на рисунке 7.2. На этом рисунке по оси абсцисс отложена круговая частота в в диапазоне от 0 до 2к радиан, нормированная относительно л радиан, что соответствует диапазону частот 0 до /„где /, — частота дискретизации в Гц.
287 7.1. Фильт ы на основе частотной выбо ки: аченное ис сство (а) Резонаторы х(п) н<и-тун (Ь) Рис. 7Л. КИХ-фильтрьс (а) нерекурсивный с )1) ответвлениями; (Щ эквивалентный фильтр на основе частотной выборки из )ч' секций е тт с 05 < 0 0 1.5 0.5 1 Частота Рис. 7.2. Определение требуемой частотной характеристики с помощью частотной выборки Чтобы избежать путаницы, мы напоминаем читателю, что существует популярный метод проектирования нерекурсивных КИХ-фильтров, известный как метод проектирования по дискретизированной частотной характеристике, описанный в литературе по ЦОС. Проектирование этим методом начинается (подобно проектированию ФОЧВ) с определения отсчетов требуемой АЧХ Н(к), затем выполняется ОДПФ этих отсчетов с целью получить отсчеты импульсной характеристики тт(к), используемые в качестве коэффициентов в структуре нерекурсивных КИХ-фильтров на рисунке 7.1 (а).
В описываемом методе проектирования ФОЧВ Глава 7. Специальные КИХ- ильтры нижних частот 288 отсчеты требуемой АЧ Х НЯ являются коэффициентами структуры ФОЧВ, приведенной на рисунке 7.1 (Ь), которую обычно называют реализацией КИХ-фильтра на основе частотной выборки. Хотя ФОЧВ сложнее, чем нерекурсивные КИХ-фильтры, они заслуживают изучения, т. к, во многих ситуациях, когда необходима узкополосная фильтрация, они могут обеспечить реализацию КИХ-фильтров с линейной ФЧХ, требующую значительно меньше операций, чем нерекурсивные КИХ-фильтры с Юответвлениями. Уменьшение количества операций происходит благодаря тому, что, в то время как в реализации нерекурсивных КИХ-фильтров используются все коэффициенты й()Г), большинство отсчетов Н()з), соответствующие полосе задерживания, принимают нулевое значение и не требуют реализации умножителя.
Чтобы понять принцип работы и преимущества ФОЧВ, мы начнем с рассмотрения поведения гребенчатого фильтра, а затем рассмотрим характеристики отдельного цифрового резонатора. 7.1.1. Гребенчатый фильтр и комплексный цифровой резонатор Одна секция комплексного ФОЧВ представляет собой гребенчатый фильтр, последовательно с которым включен комплексный цифровой резонатор, как показано на рисунке 7.3.
Умножитель на коэффициент 1/ттт, следующий за резонатором на рисунке 7.1 (Ь), для простоты опутцстт. (Влияние э~ого коэффициента мы рассмотрим позже.) Чтобы понять работу отдельной секции ФОЧВ, мы рассмотрим сначала характеристики нерекурсивного гребенчатого фильтра, разностное уравнение которого имеет вид (7-1) о(п) = х(п) - х(п-Н) т. е. выход этого фильтра равен разности входной последовательности и ее же, но задержанной на тУ отсчетов.
Передаточная функция гребенчатого фильтра имеет вид Нс Ь(г) = )т(г)ттХ(г) = 1 — г тт' (7-2) Гребенчатый фильтр Комптексный резонатор л) енг Рис. 7.3. Одна секция комплексного ФОЧВ Частотная характеристика гребенчатого фильтра, вывод которой вы можете найти в разделе 1 приложения С, описывается выражением Н, Ь(еу") = е' Хозн л)те 2зит(отЛГтт2) (7-3) 289 7.
1. Фильт ы на основе частотной выбо ки: аченноа иск сство у(п) = п(п) + е) ту(п — 1), (7-4) где аргумент Отп — л ( От„< и, определяет резонансную частоту резонатора. Мы по- кажем это, рассмотрев передаточную функцию резонатора Нлп(г) = У(г)УЪ'(г) = 1У(1 — едатг ) (7-5) И ЕГО КОМПЛЕКСНУЮ ИМПуЛЬСНуЮ ХараКтЕрИСтИКу дЛя Отт = П/4 На рИСуНКЕ 7.6. Импульсная характеристика 1 ° йчх к-плоскость а1 т Йо -1 о 05 -10 ш -15 -0.5, -20 -1 0 5' 10 15 Время -25 -1 о Дейстаительная часть -0.5 0 0.5 1 Частота (с) (ь) (а) Рис. 7.4.
Характеристики гребенчатого фильтра при л( = 8 при этом АЧХ выглядит как ~)Нос 5(еда)~ = 2)5)п(отА(ут2)~, имея максимальное значение 2. Полезно будет рассмотреть импульсную характеристику гребенчатого фильтра и его АЧХ, приведенные на рисунке 7.4 для Ат = 8.
Вид АЧХ ясно показывает, почему этот фильтр называется гребенчатым. Соотношение (7-2) обьясняет ключевую особенность гребенчатого фильтра: его передаточная функция имеет АГ нулей, распределенных равномерно по еду)- пичной окружности в г-плоскости, как показано на рисунке 7.4 (с). Каждый из этих нулей, расположенный в точке 2(Й) = е12п(тУ)У, гдето = О, 1,2, ..., Ат-1, соответствует пулю АЧХ на рисунке 7.4 (тт), где нормированная частота меняется от — л до +л радиан. Этн значения г(1() представляют собой Ат корней уравнения, которое мы получаем, приравняв (7-2) единице: г(Й)л' = (е12п)Удк)л' = 1.
Мы можем показать АЧХ (в линейном масштабе) над г-плоскостью в виде трехмерного графика, приведенного на рисунке 7.5, где мы видим пересечение поверхности )Нс 5(г)( с цилиндром, в основании которого лежит единичная окружность. Разрезав цилиндр по образующей, проходящей через точку г = — 1, и выпрямив его поверхность, мы получим график, приведенный на рисунке 74 ()у). Наша цель — построить ФОЧВ, соединив последовательно гребенчатый фильтр и цифровой резонатор, полюс передаточной функции которого совпадает с одним из нулей гребенчатого фильтра, в результате чего получается полосовой фильтр с линейной ФЧХ. Имея это ввиду, рассмотрим характеристики цифрового резонатора, показанного на рисунке 7.3. Во временной области комплексный резонатор описывается разностным урав- нением 290 Глава 7. Специальные КИХ- нльт ы ннжник частот 2.5; 21 1.51 [Н,[г)[ 1 ~ 0.5 1 -1 -О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
