Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 59
Текст из файла (страница 59)
До сих пор мы рассматривали ФОЧВ с комплексными коэффициентами, АЧХ которых несимметрична относительно 0 Гц. Далее мы исследуем ФОЧВ с действительными коэффициентами, имеющими частотную характеристику, которая является сопряженно-симметричной. 7.1.4. Многосекционные ФОЧВ с действительными коэффициентами Мы можем получить структуры ФОЧВ с действительными коэффициентами, задав для наших комплексных )Ч-секционных ФОЧВ при четном Агполюсы, образующие комплексно-сопряженные пары, путем задания для каждого ненулевого коэффициента Н()г) комплексно-сопряженного ему коэффициента НГ1т'-'к), так чтобы Н(Аг — () = Н'Я.
То есть мы можем построить действительный ФОЧВ, если будем использовать комплексно-сопряженные пары полюсов, аргументы которых равны +2л)г,гН радиан. Передаточная функция такого ФОЧВ (вывод ее приведен в разделе 5 приложения С) имеет вид Глава 7. Специальные КИХ- ильг ы нижних частот 300 Нхктеа((з) = = (1 — гата тУ)!Н(0)/(1 гг — () ч. Н(Н/2)/(1 и- т'г-() е (7-20) У/2- ( ч- ~т 2(Н()а)) !сов(фа) — гсоз(фь — 2зт)(/)у)г (]/[1 — 2гсоз(2зп(/М)г ( ч- г2а'2)! т (т- ( где нижний индекс "дх,геаГ обозначает многосекционный действительный ФОЧВ с гарантированной устойчивостью, а фь — требуемый фазовый сдвиг !т-й секции.
Выражение (7-20) определяет структуру действительного ФОЧВ Типа ! в виде, представленном на рисунке 7.16 (а). Эта структура требует пять умножений на выходной отсчет резонатора. Реализация действительного двухполтосного резонатора с использованием действительной арифметики показана на рисунк( 7.16 (Ь). Дейстеитепьныи резонатор Типа 1 2(н(м2п)( (а) (ь) Рис.
7.16. Действительный ФОЧВ Типа ( с гарантированной устойчивостью при четном И: (а) структура; (Ь) резонатор с действительными коэффициентами Конечно, для ФОЧВ нижних частот секция, соответствующая коэффипиенту Н()а/2) на рисунке 7.16, не будет реализована, а для полосовых фильтров не будут реализованы секции, соответствующие коэффициентам Н(0) и Н(Л(/2).
Характеристики односекционного действительного ФОЧВ Типа 1 при М = 32, 7( = 3, Н(3) = 1, и = 0.99999 и фу = 0 приведены на рисунке 7.17. Другая версия ФОЧВ Типа ! с упрощенной структурой резонатора может быть получена путем установки всех фа в ноль и перемещения множителя 2 внутрь резонаторов. Затем мы учитываем чередующиеся знаки при окончательном суммировании, как показано на рисунке 7.18, чтобы получить линейтнукз ФЧХ, точно так же, как мы делали это при построении многосекцнонного комплексного ФОЧВ с линейной ФЧХ на рисунке 7.18 (а), т.
е. мы прибавляем выходные 7. 1. Фипьт ы на основе частотной выбо ки: аченное ис ссгво отсчеты резонаторов с четным 72 и вычитаем выходные отсчеты резонаторов с не- четным л. Символ и+" на рисунке 7.18 (а) предупреждает нас о том, что при четном Л(значение 1т = ())(/2) — 1 может быть как нечетным, так и четным. Импульсная характеристика г чь т ° лчх 2 ° 1' о т ао а -1,' 10 -20 30 -1 -Ов 0 ОЛ Частота 0 дейстаительная часть (а) (ь) (с) Рис. 7.17. Характеристики односекционного ФОЧВ Типа ( при л) = 32, К = 3, Н(3) = 1, г = 0.99999 и фз = О Если ненулевые коэффициенты )Н(Й)! равны единице, этот ФОЧВ Типа П требует только трех умножений на выходной отсчет секции. Если умножение на 2 в резонаторе может быть реализовано аппаратурным сдвигом влево, то требуется всего два умножения на выходной отсчет.
Передаточная функция этого ФОЧВ с лействительными коэффициентами имеет вид Нтуре-п(г) = = (1 — глтг-лт)(~Н(О)(/(1 гг-1) + ~Н(Ж/2))/(1+ „г-1) + (7-21) М/2- 1 + ~~У ( — 1))т(НЯ () (2 — 2г сох(2л)(/717) г )Я(1 — 2гсоз(2ля/1)7) г 1+ т 2г 2)) . я-1 Ни ФОЧВ Типа 1, ни ФОЧВ Типа П не имеют линейной ФЧХ. В то время как нелинейность ФЧХ относительно невелика, в многосекционных структурах групповая задержка в полосе пропускания может иметь флуктуации, размах которых (от пика до пика) может достигать двух периодов дискретизации (2Д; ).
Такая нелинейность ФЧХ неизбежна, поскольку эти ФОЧВ имеют изолированные нули, расположенные в точках г = г сох(2л)т/1т(), когда фй = О, как показано на рисунке 7.17 (с). Поскольку изолированные нули внутри единичного круга не имеют обратных нулей, расположенных за пределами единичного круга в точках г = 1/(г соз(2л)т/)т))], к сожалению, это приводит к нелинейности ФЧХ. Несмотря на то, что ФОЧВ Типа 1 чаще всего описываются в литературе по ФОЧВ, их неспособность обеспечить в точности линейную ФЧХ не подвергалась достаточному анализу. В следующем разделе мы предпринимаем шаги для получения линейной ФЧХ путем смещения изолированного нуля. 1 ° о 0 ° -1 ° ° -2 ан Е ьь 0 10 20 Зо Время *-плоскость ооооо оо оо о Э о о о о о о оо о о о Итолнрооаннин '-о нуль ооо ооо зог Глава 7.
Специальные КИХ- ильт ы нижних частот Действительный реэонатор Типа !! (,) (н(иа-!)! <ь) Рис. 7.18. Действительный ФОЧВ Типа )! с четным И: (а) структура; (Ь) реализация резонатора с действительными коэффициентами 7.1.5. Действительные многосекционные ФОЧВ с линейной ФЧХ Мы можем получить линейную ФЧХ, модифицирован коэффициенты прямой связи резонатора действительного ФОЧВ Типа 1, показанного на рисунке 7.16 (Ь), так, чтобы сдвинуть изолированный ноль в точку, в которой находится ноль гребенчатого фильтра г = т. Мы достигаем этого, присвоив фь = лв/ттт. Числитель передаточной функции одной секции действительного ФОЧВ, согласно (7-20), равен соз(ф~) — т сов(фй — 2л(/)ч) г !. Если мы приравняем это выражение нулю и положим фь = лв/1тт, то мы найдем позицию сдвинутого нуля г„: соз(фь) — т соз(фь — 2лй/М)г ~ = соз(лх/1!)) — т соз(л)т/Н вЂ” 2лв/)т))г ! = 0 или г„= тсоз(лИ/М)/сов(лИ/Л!) = т.
Подстановка лй/А!вместо фй в (7-20) дает передаточную функцию действительного ФОЧВ Типа 1П с линейной ФЧХ в форме Нт, 0)(г) = (1 — тйтг )У)[(Н(0)(/(1 — тг ~) + !у/г-) (7-22) + ),2( — 1)е'(Н(х) (соз(лв/)тГ)(1 — тг ~)/[1 — 2тсоз(2л)т/)ч)г-~+ туг — г)) е- т' Реализация ФОЧВ Типа П1 с линейной ФЧХ показана на рисунке 7.19 и требует четыре умножения на выходной отсчет секции.
7. 1. Фильт ы на основе частотной выбо ки: аченное иск сство 303 Обратите внимание, секция Н(И/2), (7з тт2) на рисунке 7.19 (а) отсутствует. Мы объясняем это следующим образом: секции ФОЧВ Типов 1, П и П1 с четным У имеют импульсные характеристики, содержащие Н ненулевых отсчетов. При этом импульсная характеристика секции в = Утт2, состоящая из четного количества чередующихся положительных и отрицательных элементов, несимметрична. Эта асимметрия исказит линейную ФЧХ, если будет включена секция 7) = Утт2, Следовательно, как и в случае нерекурсивных КИХ-фильтров четной длины, действительные ФОЧВ Типов 1, П и П1 при четном Жнельзя использовать для реализации ФВЧ с линейной ФЧХ. Действительный резонатор Типа Ш 2(Н(Н)2-1))сов(( Н)2-1)п)Н) (а) (Ь] Рис.
7. 19. Действительный ФОЧВ Типа 0) с линейной ФЧХ при четном )ч': (а) структура; ())) реализация резонатора с действительными коэффициентами На рисунке 7.20 показаны частотные характеристики восьмисекционного ФОЧВ Типа П1 при Лт=32, в котором реализованы секции (7 < Й < 7. Рисунок 7.20 (с) позволяет сравнить групповую задержку ФОЧВ Типа П1 и эквивалентного восьмисекционного ФОЧВ Типа П.
Результат сравнения показывает значительное улучшение ФЧХ для ФОЧВ типа П1, который имеет постоянную групповую задержку в полосе пропускания, равную (Ю вЂ” 1)/2 отсчетов. 7.1.6. Откуда мы вышли и куда идем Мы рассмотрели структуру и характеристики комплексного ФОЧВ, каскады комплексного резонатора которого имеют полюсы, совпадающие с нулями гребенчатого фильтра, в результате чего получается рекурсивный КИХ-фильтр. Далее, для гарантированной устойчивости фильтра мы смещали полюсы и нули внутрь единичного круга.
Мы изучили действительный ФОЧВ Типа 1 с гарантированной устойчивостью при четном У, имеюп(ий резонатор с парой комплексно-сопряженных полюсов, приводящий к ФОЧВ с действительными коэффициентами. Далее мы модифицировали структуру действительного ФОЧВ Типа 1, получив более эффективную с вычислительной точки зрения, но имеющую слегка нелинейную 304 ФЧХ структуру действительного ФОЧВ Типа и. Наконец, мы модифицировали коэффициенты действительного ФОЧВ Типа!и добавили после резонаторов умножение на коэффициенты, что позволило получить действительный ФОЧВ Типа 1П с линейной ФЧХ.
В процессе получения этих структур мы пришли к выводу, что действительные ФОЧВ Типов 1, П и П1 с четным )у'нельзя использовать для реализации фильтров верхних частот с линейной ФЧХ. дчх о -1О, (а) ф -20,( ОБ ов 1 -зо 0 02 ФЧХ (ь) О.( 06 ОВ 1 0.2 Групповая задержка Фочв типа в 16.5 Д й 15.5 (с) а'.* с к 14.5 а 0.4 06 Частота 13.5 ' о 02 ов 1 Рис. 7.20. Интерполированная частотная характеристика ФОЧВ Типа ((), содержащего восемь секций, при й) = 32: (а) АЧХ; (з) ФЧХ; (с) групповая задержка в сравнении с групповой задержкой эквивалентного ФОЧВ Типа (! В оставшейся части этого раздела мы предлагаем структуру резонатора, которая обеспечивает лучшие характеристики, чем резонаторы Типов 1, П, 1П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
