Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Окна Взвешивание окном уменьшает утечку ДПФ за счет уменьшения уровня боковых лепестков функции 13-25), показанных на рисунке 3.9. Это достигается тем, что отсчеты в начале и конце последовательности постепенно приводятся к одному общему значению. Рисунок 3.15 демонстрирует, как работает описанный механизм.
Если мы рассмотрим сигнал бесконечной длительности во временной области, показанный на рисунке 3.15 (а), ДПФ можно выполнить только над интервалом конечной длительности, подобным показанному на рисунке 3.15 1с). Вы сможете показать, что утечка ДПФ не безобидна, т. к. бины, содержащие сигналы низкого уровня, могут оказаться искаженными боковыми лепестками соседних бинов, содержащих сигналы большой амплитуды. Хотя утечку невозможно устранить полностью, для уменьшения ее вредного влияния можно использовать часто применяемый метод взвешивания окном.
Рассмотрим несколько примеров окон. 3.9. Окна 91 П вЂ” 1 Х (т) =Х т(п) х(п)е /2п"и/И (3-26) тд Чтобы использовать окна, нам необходимы их математические описания, как функции и. Отсчеты окон определяются следующими выражениями: (3-27) (3-28) (л) = 1, и = 1, г, ..., И-1 Прямоугольное окно Треугольное окно (очень м(л) = и/(И/2) при И = 1, 2,..., И/2, похоже на окна Бартлетта [3] и м(л) = 2 — л/(И/2) Парзена [4,5]), при и = И/г+ 1, И/г+г, ..., И-1 (3-29) Окно Хэннинга (его еще называют приподнятым косинусом, а также окном Ханна, или фон Ханна) м(л) = 0.5 — 0.5сов(2лл/И вЂ” 1) прил= 1,2 ...,И-1 Мы можем рассматривать входной сигнал ДПФ на рисунке 3.15 (с) как произведение входного сигнала, существующего на всей оси времени (рисунок 3.15 (а)) и прямоугольного окна, отсчеты которого равны 1 на всем интервале анализа, показанного на рисунке 3.15 (Ь).
Каждый раз, когда мы вычисляем ДПФ от последовательности конечной длительности, мы по умолчанию умножаем эту последовательность на окно, все отсчеты которого равны единице, и, по существу, умножаем все отсчеты последовательности за пределами окна на О. Оказывается, форма функции яп(х)/х в (3-25), показанной на рисунке 3.9, объясняется этим прямоугольным окном, потому что непрерывное преобразование Фурье этого прямоугольного окна (рисунок 3.15 (Ь)) и есть эта самая функция япс.
Как мы скоро увидим, именно резкие переходы прямоугольного окна от 0 к 1 являются причиной появления боковых лепестков функции яп(х)/х. Чтобы минимизировать утечку спектра, обусловленную этими боковыми лепестками, нам необходимо уменьшить их амплитуду, используя отличные от прямоугольного окна. Представим себе, что мы умножаем входную последовательность ДПФ, показанную на рисунке 3.15 (с), на треугольное окно (рисунок 3.15(г])), чтобы получить взвешенный сигнал, показанный на рисунке 3.15(е). Заметьте, что значения отсчетов сигнала, как показывает рисунок 3.15 (е), оказываются одинаковыми в начале и в конце интервала наблюдения.
Уменьшенный разрыв снижает уровень относительно высокочастотных составляющих в отсчетах ДПФ; т. е. уровни боковых лепестков ДПФ при использовании треугольного окна уменыпаются. Существуют и другие окна, которые снижают уровень утечки больше, чем треугольное окно, такие как окно Хэннинга, показанное на рисунке 3.15 ([). Произведение этого окна на входную последовательность дает сигнал, показанный на рисунке 3.15 (я).
Другое часто используемое окно — это окно Хэмминга, показанное на рисунке 3.15 (Ь). Оно очень похоже на окно Хэннинга, но имеет подставку. Прежде, чем мы узнаем точно, насколько хорошо эти окна минимизируют утечку спектра, давайте определим их математически. Предполагая, что Жотсчетов сигнала индексируются переменной и, причем 0 < и < И вЂ” 1, мы обозначим И отсчетов окна как гв(п); таким образом, перед выполнением ДПФ входная последовательность х(п) умножается на соответствующие отсчеты окна м(п). Следовательно, ДПФ взвешенной окном последовательности х(п), Х (т), приобретает форму Глава 3.
иск етное и еоб азоввние Ф ье Окно Хэмминга (3-30) ю(п) = 0.54 — 0.4бсов(2лпуИ-1) прил=1,2, ..., И-1 (е) (е) (ь) Время (е) (р) я м ср (е) Время Время Рис. 3.16. Минимизация разрывов на концах интервала наблюдения: (а) бесконечная синусоида; (Ь) прямоугольное окно для конечного интервала наблюдения; (с) произведение прямоугольного окна и бесконечной синусоиды; (0) треугольное окно; (е) произведение треугольного окна и бесконечной синусоиды; (1) окно Хэннинга; (о) произведение окна Хэннинга и бесконечной синусоиды; (П) окно Хэмминга Если мы теперь построим графики ги(и) по выражениям (3-27) — (З-ЗО), мы получим соответствующие окна, похожие на те, что изображены на рисунках 3.15 ())), 3.15 (()), 3.15 (() и 3.15 (Ь)'. В литературе уравнения для функций окон зависят от диапазона изменения индекса и.
Мы приняли, что п изменяется в диапазоне 0 < и < У вЂ” 1. Некоторые авторы определяют п в диапазоне — И/2 < и < Ю/2, и в этом случае, например, выражение для окна Хэмминга будет иметь вид м(и) = 0.5 + 0.5соз(2ли)И вЂ” 1). 93 3.9. Окна Спектр прямоугольного окна используется как эталон для оценки спектров других окон; т.
е. мы обычно оцениваем спектр некоторого окна, сравнивая его со спектром прямоугольного окна, амплитудный спектр которого выглядит так, как показано на рисунке 3.9 (Ь). Мы повторяем этот спектр, Щт) ), на рисунке 3.16 (а). Кроме того, рисунок 3.16 (а) содержит амплитудные спектры окон Хэмминга, Хэннинга и треугольного окна. (Ось частот на рисунке 3.16 построена так, что кривые изображают характеристику одного бина йГ-точечного ДПФ при использовании разных окон.) Можно видеть, что последние трн окна обладают пониженным уровнем боковых лепестков по сравнению с прямоугольным окном. Поскольку окна Хэмминга, Хэннинга, а также треугольное окно снижают уровень сигнала, который подвергается ДП Ф, пиковое значение их главного лепестка оказывается меньше, чем у прямоугольного окна.
(Из-за близких к 0 значений м(п) на концах анализируемого интервала эти потери сигнала называют коэффициентом обработки или коэффициентом потерь окна.) Как бы то ни было, мы в первую очередь интересуемся боковыми лепестками окна, которые на рисунке 3.16 (а) увидеть трудно из-за линейного его масштаба. Мы преодолеем эту трудность, построив амплитудные спектры в логарифмическом масштабе в дБ и нормализовав каждый график так, чтобы пиковое значение главного лепестка было равно 0 дБ. (В приложении Е обсуждается происхождение логарифмического масштаба и польза от измерения частотных характеристик в логарифмическом масштабе с использованием децибелов.) Обозначив логарифмический спектр как ~%~в(т) ~, мы вычисляем его по формуле П вв(т) ~ =20.
1о61о(!~ыв(т) ! ~ 1~~'в(0) !) (3-31) (Отсчет )%'(О)) в знаменателе (3-31) есть значение В'(и), соответствующее пику главного лепестка, для которого и = О.) Кривые ~'йг„,в(т)) для разных окон показаны на рисунке 3.16 (Ь). Теперь мы действительно видим, как соотносятся боковые лепестки спектров разных окон. Глядя на спектр прямоугольного окна, мы видим, что его главный лепесток самый узкий из всех, и его ширина равна),/М. Но, к сожалению, его первый боковой лепесток имеет уровень всего — 13 дБ по отношению к пику главного лепестка, что не так хорошо.
(Имейте ввиду, что на рисунке 3.16 мы показываем только часть спектра, соответствующую положительным частотам.) Боковые лепестки треугольного окна ниже, но за это мы заплатили тем, что ширина главного лепестка увеличилась в два раза по сравнению с шириной главного лепестка прямоугольного окна. Широкие главные лепестки различных непрямоугольных окон ухудшают разрешающую способность взвешенного ДПФ почти в два раза.
Однако, как мы увидим, выгоды от снижения утечки обычно перевешивают потерю разрешающей способности. Обратите внимание на еще меньший уровень первого бокового лепестка и быстрое уменьшение боковых лепестков окна Хэннинга. Окно Хэмминга имеет еще более низкий первый боковой лепесток, но скорость спада боковых лепестков у него меныпе, чем у окна Хэннинга.
Это значит, что утечка на расстоянии трех или четырех бинов от центрального бина будет ниже для окна Хэмминга, чем для окна Хэннинга, а утечка на расстоянии полудюжины, или около того, бинов от центрального бина будет ниже для окна Хэннинга, чем для окна Хэмминга. 94 Глава 3. Диск етное п еоб азование гд ье ~ Модули спектров окон в линейном масштабе ) И/(т)) 1ь В ... Прямоугольное (пунктирная) 0.8 .,е. ... Хэмминга (штрих-пунктирная) 0.6 (а) 0.4 0.2 0' /,/И 2/,/И 4/;/И - — — — >- Частота ф Модули спектров окон в логарифмическом масштабе ~И/ (гл)~ 0 -10 -20 (Ь) -30 ктирная) -40 -50 -60 — -М/,/И 2/,/И 4/,/И Частота Рис.
3.16. Амплитудные спектры окон: (а) ! И/(гл) ~ в линейном масштабе; (Ь) ~ И/тв(гп) ~ в нормированном логарифмическом масштабе Когда мы применим окно Хэннинга к сигналу, имеющему 3.4 периода на анализируемом интервале, показанному на рисунке 3.8 (а), мы получим на входе ДПФ сигнал, показанный на рисунке 3.17 (а) под огибающей окна Хэннинга. Результат ДПФ взвешенного окном сигнала показан на рисунке 3.1? (Ь) вместе с результатом 3.9. Окна ДПФ невзвешенного сигнала, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
