Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Хотя (3-3) выглядит более сложно, чем (3-2), его легче понять. (Если вы чувст- вуете себя не слишком уверенно по отношению к 1 — ~/( — 1), не стоит отчаиваться. З.у. Смысл о м лыдПФ Это просто удобная абстракция,'которая помогает нам сравнивать фазовые соотношения между различными синусоидальными компонентами сигнала.
В главе 8 оператор у обсуждается несколько подробнее.)' В стандартной записи ДПФ индексы входных значений (и) и выходных отсчетов ДПФ (т) всегда принимают значения от 0 до йУ вЂ” 1. Это значит, что при наличии УзУ входных отсчетов во временной области ДПФ определяет спектральный состав входного сигнала в Жравномерно распределенных точках частотной оси. Значение лУ является важным параметром, т. к.
оно определяет необходимое количество входных отсчетов, разрешающую способность результата по частоте, а также время, необходимое для вычисления йУ-точечного ДПФ. Полезно рассмотреть структуру выражения (З-З), записав слагаемые суммы по отдельности. Например, при У - 4 и и, и т принимают значения от 0 до 3, а (3-3) превращается в 3 Х(т) = ~~„', х(п)(соз(2лпт/4) — у яп(2лпт/4)) .
(3-4а) п=п Запишем все слагаемые первого отсчета ДПФ, которому соответствует т = О, Х(0) =х(0)соз(2л 0 О/4) — ух(0)яп(2л 0 О/4) + х(1)соз(2зг ° 1 ° О/4) — ух(1)яп(2л 1 О/4) (3-4Ы ьх(2)соз(2л 2 О/4) — ух(2)яп(2л 2 О/4) + х(3)соз(2л 3 О/4) — ух(3)яп(2л .3 О/4) Для второго выходного отсчета ДПФ, соответствующего т = 1, (3-4а) принимает вид Х(1) =х(0)сов(2л 0 ° 1/4) — ух(0)яп(2л.О ° 1/4) ч- х(1)соз(2л ° 1 ° 1/4) — ух(1)яп(2л ° 1 ° 1/4) + х(2)соз(2л.2 ° 1/4) -ух(2)яп(2л ~2 ° 1/4) (3 4с) + х(3)соз(2л 3 ° 1/4) — ух(3)яп(2л .3 ° 1/4) Для третьего выходного отсчета, соответствующего т = 2, (3-4а) превращается в Х(2) = х(0)соз(2л 0~2/4) — ух(0)зш(2л 0 2/4) + х(1)соз(2л 1 ° 2/4) — ух(1)яп(2л ° 1 2/4) +х(2)соз(2л 2 ° 2/4) -ух(2)яп(2л 2 2/4) (3 4о) -ьх(3)соз(2л 3 ° 2/4) — ух(3)яп(2л 3 2/4) Наконец, для четвертого, и последнего, выходного отсчета, которому соответствует индекс т = 3, (3-4а) превращается в Имейте ввиду, что для представления оператора 1У ( — 1) математики часто используют букву у вместо у.
66 Глава 3. иск етноеп еоб зоаание Ф ье Х(2) =х(0)сох(2л 0 3/4) -1х(0)яп(2л 0 .3/4) +х(1)соз(2л 1 3/4) — ух(1)яп(2л 1'3/4) + х(2)соз(2л '2 '3/4) — 1х(2)яп(2л 2 3/4) +х(3)соз(2л 3 3/4) — ух(3)яп(2л 3 3/4) (3-4е) Символ умножения "*" в (3-4) используется просто для разделения сомножителей в синусных и косинусных слагаемых. Структура выражений (3-4Ь) — (3-4е) теперь понятна, и мы ясно видим, почему в (3-3) удобнее использовать символ суммирования. Каждый выходной отсчет ДПФ Х(т) представляет собой сумму почленных произведений входной последовательности отсчетов сигнала на последовательность отсчетов комплексной синусоиды (гармоники) вида соз(ф) — 1зш(ф). Точные значения частоты разных синусоид зависят как от частоты дискретизации ~;, с которой был дискретизирован исходный сигнал, так и от количества отсчетов Ж.
Например, если мы дискретизуем непрерывный сигнал с частотой 500 отсчетов в секунду, а затем выполняем 16-точечное ДПФ дискретизированных данных, основная частота синусоид будет равна/; /14 = 500/16 или 31.25 Гц. Другие частоты, соответствующие Х(т), кратны основной частоте, т. е. Х(0) = 1-й частотный отсчет, частота анализа которого = 0 31.25 = 0 Гц, Х(1) = 2-й частотный отсчет с частотой анализа = 1 ° 31.25 = 3125Гц, Х(2) = 3-й частотный отсчет с частотой анализа = 2 ° 31.25 = 625 Гц, Х(3) = 4-й частотный отсчет с частотой анализа = 3 ° 31.25 = 93.75 Нг, Х(15) = 16-й частотный отсчет с частотой анализа = 15 ° 31.25 = 468.75 Гц. заразных частот анализа ДПФ определяются выражением Х(т) =Х„,Ят) +1Х;„(т) =Х „асугломХ~(т), (3-6) то амплитуда Х(т) вычисляется как Х , (т) = ~Х(т) ~ = Х 1(т) + Х, (т) (3-7) 1,„,1„, (т) = (т),)/Ы.
(3-5) Таким образом, в этом примере отсчет ДПФ Х(0) сообщает нам амплитуду компонента входного сигнала, имеющего частоту 0 Гц (постоянной составляющей), отсчет Х(1) задает амплитуду компонента с частотой 31.25 Гц, Х(2) — амплитуду компонента с частотой 62.5 Гц и т. д. Более того, как мы увидим дальше на примере, отсчеты ДПФ определяют также фазовые соотношения между частотными составляющими входного сигнала. Довольно часто нас интересует как амплитуда, так и мощность (амплитуда в квадрате) каждого отсчета Х(т), и для их вычисления, как показано на рисунке 3.1, применимы стандартные соотношения в прямоугольном треугольнике. Бели мы представим произвольный отсчет ДПФ Х(т) как сумму действительной и мнимой частей: 3.1. Смысл о м лыДПФ 4 Мнимая ось О) Хаааа очка представляет ясное число Х~аа~(ло а!Хмав (т).
~(т) действительная ось Рис. 3.1. Тригонометрические соотношения для отдельного комплексного значения Х(т) По определению, фазовый угол Х(т), Х (т), вычисляется как Хр(т) = гал (Х; (т)/Х аа(т)~ . (3-8) Мощность отсчетов Х(т), которая называется спектром мощности, представляют собой амплитуду, возведенную в квадрат: Хр~(т) = Х (т) - Х )(т) е Х (т) (3-9) 3.1.1. Пример ДПФ Но1 Смысл выражений (3-2) и (3-3) станет более ясным на примере, так что давайте подробно, по шагам, рассмотрим простую ситуацию.
Допустим, мы хотим дискретизировать непрерывный сигнал, содержащий компоненты с частотами 1 кГц и 2 кГц следующего вида: х,а(г) = яп(2л ° 1000 г) + 0.5яп(2л 2000 г еЗл/4), (3-10) а затем выполнить 8-точечное ДПФ этого сигнала. Чтобы сделать входной сигнал несколько более интересным, мы сдвинули компонент с частотой 2 кГц по фазе на 135' (Зл/4 радиан) по отношению к компоненту с частотой 1 кГц. При частоте дискретизации ~, мы берем отсчеты входного сигнала каждые 1//, - г, секунд.
Поскольку )к) = 8, нам нужно взять 8 входных отсчетов, над которыми необходимо выполнить ДПФ. Таким образом, 8-элементная последовательность х(л) равна хы(г), отсчеты которого берутся в моменты времени лг;. х(л) =хы(пГ,) = яп(2л' 1000.пг,) + 05яп(2л.2000 лг, +Зл/4). (3-11) Если мы выберем частоту дискретизации/; = 8000 отсчетов в секунду, то, согласно (3-5), результат ДПФ будет показывать амплитуды составляющих, содержащихся в х(п), с частотами анализа т/,/М, или 0 кГц, 1 кГц, 2 кГц,..., 7 кГц. При /; = 8000 отсчетов/с наши восемь отсчетов х(п) равны: (3-1Г) х(0) = 0.3535, х(2) = 0.6464, х(4) = 0.3535, х(б) = -1.3535, х( Ц = 0.3535, х(3) = 1.О607, х(5) = -1.0607, х(7) = -0.3535.
Глава 3. Диск етное и еоб азование Ф ье -/(0.3535 0.0) -/(0.3535 ° 0.707) < — это слагаемое с л=1 -/(О. 6464 1. 0) <- это слагаемое с л=г -/(1.0607 О. 707) — /(0.3535 0.0) -/(-1.0607 — О. 707) — /(-1.3535 —,1.
О) -1(-0.3535 — О. 707) <- это слагаемое с л=7 0.3535 +/О. О + 0.250 -/0.250 + 0.0 -/О. 6464 — О. 750 -/О. 750 — 0.3535 -/О.о + О. 750 — /О. 750 + О.О -/1.3535 — о.гбо -/о.гбо 0.0 -/4.0 = 4 ~ -90'. <- это слагаемое с л=о Х(1) = 0.3535 1.0 + 0.3535 О. 707 + 0.6464 О. О + 1.0607 -0.707 + 0.3535 ° — 1.0 — 1. 0607 — О.
707 — 1.3535 0.0 — 0.3535 О. 707 Итак, мы теперь видим, что входной сигнал х(п) содержит компонент с частотой(кГц. Используя(37),(38)и(39)дляХ(1) получаем Х „(1) =4 ХР5(1) = 16 и фазовый угол Х(1) по отношению к косинусоиде с частотои ) кГц составляет ха(1) = — 90'. Эти значения отсчетов х(п) показаны точками на сплошной непрерывной кривой, изображающей хы(1) на рисунке 3.2 (а). (Обратите внимание на то, что сумма синусоидальных составляющих в (3-10), изображенных штриховыми линиями на рисунке 3.2 (а), равна хгп(1).) Теперь мы готовы использовать (3-3) для вычисления ДПФ нашего входного сигналах(п). Мы начнем с т = 1, потому что случай т = 0 дает особый результат, который мы вкратце обсудим позже.
Итак, для т = 1, или для отсчета ДПФ с частотой 1 кГц (т/; //ч'= 1 ° 8000/8), (3-3) в этом примере преобразуется в 7 Х(1) = ~~~~ (х(п)соз(2пп/8) — /х(п)з1п(2пп/8)). (3-12) к-О Затем мы умножим х(п) на последовательные отсчеты косинуса и синуса первой частоты анализа, которые на восьми отсчетах проходят полный период. В нашем примере для т = 1 мы просуммируем произведения отсчетов последовательности х(п) на отсчеты косинусоиды частоты ( кГц и на отсчеты синусоиды частоты 1 кГц, вычисленные для значений аргумента 2лп/8.
Эти гармоники анализа показаны на рисунке 3.2 (Ц штриховыми линиями. Обратите внимание на то, что на нашем интервале анализа косинусоида и синусоида имеют т = 1 полный период. Подставляя значения отсчетов х(п) в (3-(2) и записывая косинусоидальные члены в левом столбце, а синусоидальные — в правом, получаем: 3.1. Смысл о м лыДПФ 3 Яб(241000() ббп) -О 5 3 б б 2 Л~ 2 б 4 (ь) 0 -0 5 3 б б (б) О -О 5 -1 5 (О) О -0 5 1 54 б б п~ б 4 Рис. 3.2.
Пример ДПФ )Ч01: (а) входной сигнал; (Ь) входной сигнал и гармоники для т = 1; (с) входной сигнал и гармоники для т = 2; (()) входной сигнал и гармоники для т = 3 Для частотной составляющей с т = 2 мы находим корреляцию х(л) с косинусоидой и синусоидой с частотой 2 крц, Эти сигналы изображаются штриховыми линиями на рисунке 3.2 (с). Заметьте, что косинусоидальный и синусоидальный сигналы на нашем интервале анализа на рисунке 3.2 (с) имеют ровно т = 2 полных периода.
Подставляя значения отсчетов х(л) в (3-3) для т = 2, получаем ГлаваЗ.Диск етноев еоб азованиеФ ье 70 В этом случае входной сигнал х(п) содержит составляющую с частотой 2 кГц, относительная амплитуда которой равна 2, а фазовый угол по отношению к косинусоиде с частотой 2 кГц составляет 45'. Для т = 3 мы находим корреляцию х(и) с косинусоидой и синусоидой с частотой 3 кГц. Эти составляющие на рисунке 3,2 (г() показаны штриховыми линиями.
На интервале наблюдения на рисунке 3.2 (д) и косинусоида, и синусоида имеют т = 3 полных периода. Подставляя значения отсчетов х(п) в (3-3) для т = 3 получаем: Х(2) = 0.3535 1. 0 + 0.3535 0.0 + 0.6464 -1.0 + 1.0607 0.0 + 0.3535 1.0 — 1. 0607 0.0 — 1.3535 - 1.0 — О. 3535 О. 0 0.3535 + 0.0 — О. 6464 — 0.0 + 0.3535 +0.0 + 1.3535 — 0.0 1.414+11. И4 Х(3) = 0.3535. 1.0 + 0.3535 — 0.707 + 0.6464 О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
