Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Эта ситуация эквивалентна заворачиванию исходного спектра влево относительно частоты -~~;/2 и вправо относительно частоты — ~;/2. Части копий спектра теперь взаимодействуют с исходным спектром, в результате чего появляются ошибки наложения. Дискретные отсчеты, связанные со спектром, показанным на рисунке 2А (с), больше не представляют корректно исходный сигнал. Спектральная информация в полосах частот от — В до -В/2 и от В/2 до В Гц искажена.
Мы показываем уровень спектра в областях наложения более бледной линией, поскольку мы точно не знаем, каким он будет. Второй эффект, иллюстрируемый рисунком 2.4 (с), состоит в том, что весь спектр исходного непрерывного сигнала сосредоточен в полосе частот между — ~,/2 и +/«/2. Это ключевое свойство показано на рисунке 2А (6) и будет иметь место всегда, независимо от дискретизируемого сигнала и частоты дискретизации. Этот эффект особенно важен, когда мы оцифровываем непрерывные сигналы. Он предупреждает нас о том, что любая энергия, расположенная выше +В Гц и ниже — В Гц в спектре исходного непрерывного сигнала, показанного на рисунке 2.4 (а), всегда после дискретизации окажется в интересующей нас полосе частот, независимо от частоты дискретизации.
По этой причине на практике необходимы непрерывные (аналоговые) фильтры нижних частот. Проиллюстрируем сказанное, показывая на рисунке 2.5 (а) непрерывный сигнал с шириной спектра В, сопровождаемый шумом. Дискретизация этой непрерывной смеси с частотой, которая превышает 2В, позволяет избежать наложения копий спектра полезного сигнала, но вся энергия шума все равно попадает в диапазон частот между -/з /2 и + /; /2 нашего дискретного спектра, показанного на рисунке 2.5 ()з). Практически эта проблема решается применением аналогового антиэлайзиигового фильтра нижних частот перед АЦП для уменьшения любой нежелательной энергии сигнала на частотах выше +В и ниже — В Гц, как показано на рисунке 2.6.
Пример характеристики фильтра нижних частот показан более бледной линией, наложенной на спектр исходного непрерывного сигнала на рисунке 2.6. Заметьте, что спектр выходного сигнала фильтра нижних частот ограничен, и наложений в спектре выходных данных АЦП удается таким образом избежать. ! В русскоязычной литературе в этом случае ссылаются на теорему Котельникова— (прим.
вере«,). 2.3. Диск етизация полосовых сигналов 49 Интересующий нас сигнал Шум Шум (а) -В 0 В Частота - 1 1 12 1 12 в 3 в Частота Рис. 2.5. Размножение спектра: (а) спектр смеси сигнала с шумом; (Щ спектр ди- скретного сигнала, в котором шум искажает полезный сигнал Шум Шум -во в Частота .1 12 О 112 в а Отфильтрованный Частота ИсхОдный непрерывный сигнал схретные отсчеты -В 0 В Частота Рис. 2.6. Низкочастотная фильтрация перед дискретизацией счастотой1 Гц Этим завершается обсуждение простой низкочастотной дискретизации. Теперь перейдем к более сложной схеме дискретизации, которая оказалась весьма полезной на практике.
2.3. Дискретизация полосовых сигналов Хотя дискретизация низкочастотных сигналов, иллюстрируемая рисунком 2.6, удовлетворяет большинству требований, зто не единственная схема дискретизации, используемая на практике. Для дискретизации непрерывных полосовых сигналов, центральные частоты которых отличны от нуля, мы можем использовать метод, известный как полосовал дискреглиэа((ия.
Когда ширина спектра и центральная частота непрерывного входного сигнала позволяют, полосовая дискретизация не только дает возможность снизить требуемое быстродействие АЦП по сравнению с традиционной низкочастотной дискретизацией, но и уменыпает объем памяти, необходимый для хранения сигнала на заданном интервале. В качестве примера рассмотрим дискретизацию сигнала с ограниченным спектром, показанного на рисунке 2.7 (а), с центральной частотой 7; = 20 МГц и шириной спектра В = 5 МГц.
Мы используем термин полосовая дискретизация для 5О Глава 2. Пе иодическая диск тизация процесса дискретизации непрерывных сигналов, центральные частоты которых отличны от О Гц. То, что мы называем полосовой дискретизацией, в литературе упоминается под различными другими названиями, такими как дискретизация ПЧ, гармоническая дискретизация (2$ суб-найквистовская дискретизация и дискретизация с пониженной частотой 131. В случае полосовой дискретизации нас больше волнует ширина спектра сигнала, чем его наивысшая частота. Заметим, что часть сигнала, соответствующая отрицательным частотам, с центром на частоте — 7;, представляет собой зеркальное отражение части, соответствующей положительным частотам, как и должно быть для действительных сигналов.
Наивысшая частота в спектре нашего полосового сигнала составляет 22.5 МГц. В соответствии с критерием Найквиста (дискретизация с частотой, превышающей в 2 раза наивысшую частоту в спектре сигнала) частота дискретизации должна составлять не менее 45 МГц. Рассмотрим, что произойдет, если частота дискретизации будет равна 17.5 МГц, как показано на рисунке 2.7 (Ь). Заметим, что исходные спектральные компоненты остаются на частотах +),, а копии спектра расположены в области низких частот, смыкаясь на нулевой частоте.
Рисунок 2.7 (Ь) показывает, что для того, чтобы избежать наложений спектра, не нужна дискретизация с частотой 45 МГц — вместо этого мы используем эффект размножения спектра (2-5) для достижения своей цели. Полосовой спектр (а) частота 20 мгц (ь) тота Рис. 2.7. Дискретизация полосового сигнала: (а) спектр исходного непрерывного сигнала; (Ь) размножение спектра дискретизированного сигнала при частоте дискретизации 17.5 МГц.
Полосовая дискретизация выполняет оцифровку и перенос по частоте как один процесс, который часто называют дискретизирующич переносом. В мире цифровой обработки сигналов процессы дискретизации и переноса по частоте тесно связаны друг с другом, а каждая операция дискретизации внутренне приводит к размножению спектра.
Любопытный читатель может спросить: «А можем ли мы дискретизировать с еще более низкой частотой и не иметь нзложений7» Ответ: да, но чтобы установить, как это сделать, мы должны пробиться сквозь вывод одного важного соотношения полосовой дискретизации. Вознаграждение, однако, будет стоить затраченных усилий, потому что именно здесь полосовая дискретизация действительно становится интересной.
2.3. Диск етизация полосовых сигналов Предположим, что мы имеем непрерывный входной сигнал с шириной спектра В. Его несущая частота равна~с Гц, т. е. центральная частота его спектра равна /с Гц, а спектр дискретизированного сигнала показан на рисунке 2.8 (а). Мы можем дискретизировать этот непрерывный сигнал с частотой, скажем,/, Гц, так что копии спектра для положительных и отрицательных частот, Р и (~ стыкуются как раз на частоте 0 Гц. Эта ситуация, показанная на рисунке 2.8 (а), напоминает рисунок 2.7 (Ь).
При произвольном количестве копий, например, тл в диапазоне 2/; — В мы видим, что т/; = 2/с — В или 1; = (2/с — В)/т. (2-6) ~ — — — 26-В в, (а) .2Г -/с О тт 2Гт К Частота 2) -В (ь) Частота 2/,+ В (с) -2Гт, -К,. О Г,. 2К,. Частота Рис. 2.8. Пределы частоты при полосовой дискретизации: (а) частота дискретизации 1 = (21 — В)/б; (Ь) частота дискретизации меньше га; (с) минимальная частота дискретизации 1 - < 1 ° На рисунке 2.8 (а) тл = 6 принято только для иллюстрации. Конечно, т может быть любым положительным числом, если только /, не меньше 2В.
Если частота дискретизации/, повышается, исходный спектр (жирная линия) не смещается, но все его копии смещаются. Вблизи нулевой частоты полоса Р сдвигается вправо, а полоса Я вЂ” влево. Эти копии перекроются, и возникнут искажения наложения. Таким образом, из (2-6) следует, что для произвольного т существует частота, которую частота дискретизации не должна превосходить, или /т ~ (2~; — В)/т или (2/с — В)/т ) ~, .
(2-7) Если мы уменьшим частоту дискретизации ниже значения /,, показанного на рисунке 2.8 (а), промежутки между копиями будут уменьшаться в направлении стрелок на рисунке 2.8 (Ь). В этом случае исходный спектр тоже не будет смещаться при изменении частоты дискретизации. При некоторой новой частоте дискретизации/,-, /;- < /и, копия Р'упрется в исходный спектр в области положительных частот с центром на частоте/„как показано на рисунке 2.8 (с). В этом случае мы знаем, что (2-8) (т + 1)~',-=2/с+ В или /;.--(2/с+ В)/(т+ 1). 52 Глава 2. Пе иодическая диск етизация При дальнейшем уменьшении~',-копия Р'будет сдвигаться вниз по частоте и начнет накладываться на исходный спектр на частоте /,, что приведет к искажениям.
Следовательно, согласно (2-8) для т+1 существует частота, которую частота дискретизации всегда должна превышать, или /,- > (21 ч- В)/(т + 1) . (2-9) Теперь мы можем объединить (2-7) и (2-9) и сказать, что для предотвращения наложений частота~; должна выбираться в диапазоне от 1',- до~',, или (2/; — В)/т > /; > (2/, + В)/(т ч- 1), (2-10) Таблица 2.1. Результат применения (2-10) к примеру полосового сигнала т (21с-В)/т (21 +В)/(т+ 1) Оптимальная частота дискретизации 1 350МГц 2 17.5 МГц 22.5 МГц 15.0 МГц 22.5 МГц 17.5 МГц 3 11.66 МГц 11.25 МГц 11.25 МГц 4 8.75 МГц 9.0 МГц 5 7.0 МГц 7.5 МГц где и — произвольное положительное целое число, которое выбирается так, чтобы выполнялось соотношение/, > 2В.
(Для этого типа периодической дискретизации действительных сигналов, известного как действительная дискретизация первого порядка, по-прежнему должен удовлетворяться критерий Найквиста 1; > 2В.) Чтобы лучше понять важное соотношение (2-10), вернемся к нашему примеру полосового сигнала, для которого (2-10) позволяет построить таблицу 2.1. Эта таблица говорит нам, что частота дискретизации может находиться в диапазоне от 22.5 до 35 МГц, в диапазоне от 15 до 17.5 МГц или в диапазоне от 11.25 до 11.бб МГц. Никакое значение частоты дискретизации ниже 11.25 М Гц неприемлемо, поскольку оно не удовлетворяет ни соотношению (2-10), ни условию /, > 2В. Спектры для нашего полосового сигнала при нескольких частотах дискретизации из таблицы 2.1 показаны на рисунке 2.9. Заметим, что, когда /, равна 7.5 МГц (и = 5), мы имеем наложение, потому что ни нижняя граница в (2-10), ни условие 1; > 2В не соблюдаются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
