Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Значение тп = 4 также неприемлемо, т. к. условие 1, > 2В не удовлетворяется. Последний столбец таблицы 2.1 содержит оптимальные значения частоты дискретизации для каждого подходящего значения т. Оптимальная частота дискретизации определяется здесь как частота, при которой копии спектра не соприкасаются друг с другом, за исключением окрестности нулевой частоты. Например, в диапазоне допустимых частот для т = 1 гораздо легче выполнять последующую цифровую фильтрацию или другую обработку отсчетов сигнала, спектр которого показан на рисунке 2.9 (Ь), чем в случае спектра, показанного на рисунке 2.9 (а). 2.3. иск втизация паласовых сигналов Читатель может поинтересоваться: «Всегда ли оптимальная частота дискретизации равна минимальному допустимому согласно (2-10) значениюу',?» Ответ зависит от конкретного приложения — возможно, имеются некоторые системные ограничения, которые следует учесть. Например, в цифровой телефонии для упрощения дальнейшей обработки частоты дискретизации выбираются кратными 8 кГц 141.
Другим фактором, зависящим от приложения и влияющим на выбор оптимальной~,, является форма характеристики аналогового антиэлайзингового фильтра [51 На практике часто компоненты высококачественных АЦП настраиваются в процессе производства так, чтобы обеспечить максимальную линейность на высоких частотах ( >5 М Гц). Их использование на более низких частотах не рекомендуется. Для иллюстрации природы (2-10) было бы интересно построить график минимальной частоты дискретизации, (2/,+В)Дт«1), при разных значениях т, как функцию переменной Я, определяемой как Я = (наивысшая час)пота)/(и2ирина спектра) = (), + В/2)/В .
(2-11) (а) -25 0 -20. О -15 0 -10. 0 -5. 0 0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 (ы .25,0 .20 0 .15 0 .10 0 5 О 0 50 100 150 200 250 МГЦ (О) -25.0 -20. 0 -15. 0 -10. 0 -5 0 О 5 0 10.0 15.0 20.0 25 0 мгч (а/2 (О) -25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 О 50 100 150 20.0 250 (е) -250 -20.0 -15 0 -1О 0 -5.0 0 50 100 150 200 250 (в -250 -20 0 -15.0 -10.0 -5.0 0 5.0 10.0 150 20.0 250 Рис. 2.9. Различные варианты размножения спектра из таблицы 2.1: (а) г' =35 МГц; (Ь) 1=225МГц;(С) Г =)75МГц;(())1=15МГц;(Е)1=1П25МГц;(1) г =75МГц 54 Глава 2. Пе нодическая диск тизеция Если мы пронормируем минимальную частоту дискретизации из (2-10), разделив ее на ширину спектра В, мы получим график в нормированных координатах, показанный жирной линией на рисунке 2.10.
Этот рисунок показывает минимальную нормированную частоту дискретизации как функцию наивысшей нормированной частоты в спектре полосового сигнала. Заметим, что, независимо от значения Я, минимальная частота дискретизации никогда не должна превосходить 4В и приближается к 2В при увеличении несущей частоты.
Как это ни удивительно, минимальная допустимая частота дискретизации в действительности понижается прн увеличении несущей частоты полосового сигнала. Мы можем интерпретировать рисунок 2.10, рассмотрев снова наш пример полосового сигнала на рисунке 2.7, где В = 22.5/5 = 4.5. Это значение Я отмечено на рисунке 2.10 серой линией, показывая, что т = 3 и ~;/В = 2.25.
При В = 5 МГц получаем минимальное значение /3 = 11.25 МГц, что согласуется с таблицей 2.1. Крайняя левая линия на рисунке 2.10 соответствует случаю низкочастотной дискретизации, когда частота дискретизации /3 должна равняться удвоенной наивысшей частоте в спектре. Таким образом, нормированная частота дискретизации /4 /В равна удвоенной наивысшей частоте, деленной на В, другими словами, равна 2А. 4.0 3.5 3.О 2.5 2.25 2.0 1.5 1 2 3 4 ' 5 6 т 6 9 10 тт Отноше1ие наивысшей частоты компонента к ширине спектра Рис. 2.10.
Минимальная частота полосовой дискретизации согласно (2-10) Рисунок 2.10 хорошо известен по литературе, но его обычное представление позволяет читателю прийти к ложному заключению о том, что допустимой частотой дискретизации будет любая частота выше минимума, показанного на данном рисунке 16-12]. Существует разумный способ избежать недоразумений [131. Если мы построим график приемлемых диапазонов частоты полосовой дискретизации согласно (2-10) как функцию Я, мы получим картину, приведенную на рисунке 2.11.
Как мы видели из (2-10), таблицы 2.1 н рисунка 2.9 допустимые частоты полосовой дискретизации образуют ряд частотных диапазонов, разделенных неприемлемыми диапазонами частот дискретизации, т. е. допустимая частота поло- совой дискретизации должна быть выше минимума, показанного на рисунке 2.10, но не может быть просто любой частотой, превышающей минимум. Серые области на рисунке 2.11 показывают те нормированные частоты полосовой дискретизации, которые приводят к наложению спектров. Частоты дискретизации в белых 2.3.
Диск втизвция паласовых сигналов областях рисунка 2.11 допустимы. Таким образом, для полосовой дискретизации мы хотим выбрать частоту дискретизации в одной из белых расходящихся полос, соответствующей некоторому значению пт из (2.10). Попробуем понять значение рисунка 2.11с помощью рассмотренного раньше примера полосового сигнала, показанного на рисунке 2.7. 14 12 1О о 1 2 3 4 8 8 7 8 9 10 Отношение наивысшей частоты компонента к ширине спектра Рис. 2.11. Области допустимых значений частот полосовой дискретизации соглас- но (2-10), нормализованных относительно ширины спектра сигнала г' /В На рисунке 2.12 значение Я (наивысшая частота/ширина спектра) для нашего примера, равное 4.5, показано жирной серой вертикальной линией.
Поскольку эта линия пересекает всего три белые клинообразные области, можно сделать вывод, что существуют всего три диапазона допустимых частот дискретизации, и это согласуется с результатами, приведенными в таблице 2.1. Пересечение линии Я = 4.5 с границами белых клинообразных областей дает значения частот дискретизации, приведенные в таблице 2.1.
Таким образом, рисунок 2.11 дает значительно более наглядное изображение границ допустимых значений частот полосовой дискретизации, чем рисунок 2.10. Хотя рисунки 2.11 и 2.12 показывают, что мы можем использовать частоту дискретизации, лежащую на границе между серой и белой областями, этих значений частоты дискретизации на практике следует избегать. Неидеэльность аналоговых полосовых фильтров, нестабильность генераторов тактовых сигналов частоты дискретизации, несовершенство имеющихся АЦП делают невозможной точную реализацию этого идеального случая. Для уверенности было бы разумно выбирать Глава 2.
Пе иодическая диск егизвция значение/;, несколько удаленное от границ области. Рассмотрим сценарий поло- совой дискретизации, показанный на рисунке 2.13. При использовании типового (неидеального) аналогового полосового фильтра, частотная характеристика которого показана серой линией, разумно было бы использовать в наших уравнениях в качестве ширины полосы пропускания не В, а В ы То есть мы создаем по обе стороны полосы пропускания фильтра защитные полосы, так что становится возможным некоторое наложение спектров, которое не искажает полезный сигнал, как показано в нижней части рисунка 2.13. =т,т от =З5МГц в / — =45,т ел=г25МГц в =3 т ет =15МГц = 2 25, т е Л = 11 25 Мгц в о 1 г з 4 45 5 Отношение наивысшей частоты компонента к ширине спектра Рис. 2.12.
Допустимыечастотыдискретизациидля примера полосовогосигнала(В = 5МН2) при Я=4.5 Мы можем связать эту идею использования защитных полос с рисунком 2.11, посмотрев более внимательно на один из белых клиньев. Как показано на рисунке 2.14, мы хотели бы выбрать частоту дискретизации как можно ближе к вершине белой области — чем ниже мы смещаемся по клину, тем ниже частота дискретизации. Однако, чем ближе мы находимся к границе затененной области, тем уже должны быть защитные полосы, для чего требуется аналоговый полосовой фильтр с более крутыми скатами частотной характеристики, а также более узкие допуски на точность и стабильность частоты задающего генератора нашего АЦП.
(Помните, что работа на границе между белой и затененной областями приводит к тому, что копии спектра соприкасаются друг с другом.) Поэтому для безопасности мы работаем в некоторой промежуточной точке, на некотором расстоянии от границ затененных зон, как показано на рисунке 2.14. Дальнейший анализ соотношения ширины защитных полос и параметров синхросигналов АЦП приводится в [13~.
В нашем обсуждении мы только констатируем, что хорошим является выбор такой частоты дискретизации, которая лежит не слишком близко к границам между белыми и затененными областями на рисунке 2.11. Глава 2. Пе иодическая диск етизация Другой способ не попасть на границу на рисунке 2.14 состоит в использовании следующего выражения для определения промежуточной рабочей точки ~;: '1 /; = 4~',/т„~,(, (2-13) где т„,ы — нечетное целое 114]. Использование (2-13) дает то преимущество, что спектр интересующего нас дискретизированного сигнала будет центрирован относительно частоты, равной четверти частоты дискретизации (~;.
/4). Эта ситуация и привлекательна, т. к, при этом существенно упрощается последующее комплексное понижающее преобразование (перенос по частоте), используемое во многих приложениях цифровой связи. Конечно, значение т„~~ должно выбираться так, чтобы выполнялось ограничение Найквиста /;. > 2В. Результаты применения уравнений (2-12) и (2-13) к нашему полосовому сйгналу приведены на рисунке 2.15.
= га тв МГц „„= 15.гв МГц , =. П.45 МГц о 1 з 4 5 4.5 Отношение наивысшей частоты компонента к ширине спектра Рис. 2.15. Промежуточные рабочие значения тз„. и тз „согласно (2-12) и (2-13), позволяющие избежать работы на границах серых зон, для примера полосового сигнала с В = 5 МГц и Я = 4.5 2.4. Инверсия спектра при полосовой дискретизации Некоторые допустимые значениями удовлетворяющие (2-10), хотя и позволяют избежать проблем с наложением, дают основной спектр (сосредоточенный в районе 0 Гц), который инвертирован по отношению к исходному спектру, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
