Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 14
Текст из файла (страница 14)
О + 1.0607 О. 707 + 0.3535 -1.0 — 1.0607 0.707 — 1. 3535 О. 0 — О. 3535 — О. 707 0.3535 — О. 250 + 0.0 + 0.750 — 0.3535 — О. 750 +0.0 — 1(0.3535 0.0) — 1(0. 3535 1. 0) -1(0.6464 0.0) -1(1.0607 -1.0) - 1(0. 3535 О. О) — 1(-1.0607 1.0) -1(-1.3535 0.0) -1(- 0.3535 -1.0) +10.0 -10.3535 -10.0 +11. 0607 — 10. 0 +11. 0607 — 10. 0 -10. 3535 2 к'. 45'. — 1(0.3535 0.0) -1(0.3535 О. 707) -1(0. 6464 -1. 0) -1(1. 0607 О.
707) — 1(0. 3535 О. 0) -1(-1. 0607 — О. 707) -1(-1.3535 1.0) -1(- 0.3535 — О. 707) +10.0 -10.250 + 10.6464 -10.750 — 10.0 -10. 750 +11. 3535 3.1. Смысл о м лы ПФ 71 — )О. 250 0 5. 0'. 5 ю -0 5 6 б 2 П 5- 6 4 г л <ь) -0.5 2 2 6 6 2 6.~- 62 = 5 (о) 0 -0.5 2 6 4 6 6 и ~в- 6 ! О -О 5 Рис. 3.3. Пример ДПФ )4)01: (а) входной сигнал и синусоиды для т = 4; (Ь) входной сигнал и синусоиды для т = 5; (с) входной сигнал и синусоиды для т = б; (с)) входной сигнал и синусоиды для гл = 7 ДПФ показывает, что х(п) не содержит компонентов с частотой 3 кГц. Продолжим вычисление ДПФ для т = 4 с использованием синусоид, показанных на рисунке 3.3 (а). Итак, (3-3) приобретает вид: 3 3 + 0.250 0.0 -/0.0 ГлаваЗ.Диск етноеп еоб азованиеФ ье 0.0-10.0 0~.0.
Для частотного отсчета и = 5 с использованием синусоид, приведенных на рисунке 3.3 (Ь) ДПФ дает: Х(5) = 0.3535 У. 0 + 0.3535 -О. 707 + 0.6464 0.0 + 1.0607 0.707 + 0.3535 . -1.0 — 1.0607 О. 707 — 1.3535 0.0 — 0.3535 -О. 707 0.3535 — 0.250 + 0.0 + 0.750 — 0.3535 — О. 750 + 0.0 + 0.250 0.0-10.0 = Для частотного отсчета т = б с использованием синусоид с рисунка 3.3 (с), (3-3) дает Х(4) = 0.3535 1. О + 0.3535 -1. О + 0.6464 1.0 + 1.0607 -1.0 + 0.3535 1,0 — 1. 0607 -1.
0 — 1.3535 1.0 — 0.3535 — 1.0 0.3535 — 0.3535 + 0.6464 — 1. 0607 + 0.3535 + 1.0607 — 1.3535 + 0.3535 -1(0.3535 0.0) -1(0.3535 . 0.0) - 1(0. 6464 О. 0) -Д1.0607 О.О) — 1(0.3535 0.0) -1(-1.0607 0.0) — /(- У. 3535 О. 0) -1(-0.3535 0.0) -10.0 - 10. О -10. О -10.0 -10.0 -10.0 -10.0 -10.0 — 1(0.3535 О. 0) -1(0.3535 -0.707) -1(0. 6464 1.
0) -1(1.0607 -0.707) -1(0.3535 0.0) -1(-1. 0607 О. 707) - 1(-1.3535 -1. 0) -1(-0.3535 О. 707) -10.0 + 10. 250 -10. 6464 +10. 750 -10.0 +10. 750 -11.3535 + 10. 250 0 ~ 0'. 3.1. Смысл о м лыДУУФ 73 О. 0) -О. 707) -1.
0) -О. 707) О. О) О. 707) 1. 0) ° О. 707) Если мы построим график модулей Х(т), как функции частоты, мы получим амплитудный спектр входной последовательности х(п), приведенный на рисунке 3.4 (а). Фазовые углы отсчетов Х(т) изображены на рисунке 3.4 (Ь). Х(б) = 0.3535 1.0 + 0.3535 0.0 + 0.6464 -1.0 + 1.0607 Р.О + 0.3535 1. Π— 1. 0607 О. 0 — 1.3535 — 1. 0 — 0.3535 0.0 0.3535 + 0.0 — О. 6464 + 0.0 + 0.3535 + 0.0 + 1.3535 + 0.0 1.414 - У'1.414 Для т = 7 и синусоид с рисунка 3.3 (о) Х(7) = 0.3535 1.0 + 0.3535. 0.707 + 0.6464 0.0 + 1.0607.
-0.707 + 0.3535 -1.0 — 1. 0607 -О. 707 — 1.3535 0.0 — 0.3535 О. 707 0.3535 + 0.250 + 0.0 — О. 750 — 0.3535 + О. 750 + 0.0 — О. 250 0.0 + 14.0 -У(0.3535 О. 0) - У(0. 3535 — 1. 0) - У(0. 6464 О. 0) -У(1. 0607 1. 0) — У(0.3535 О. 0) -У(-1.0607 -1.0) -У(-1.3535 0.0) - У(-0.3535 1, 0) -УО. 0 +/0.3535 -УО. О - У'1. 0607 -10.0 - У'1. 0607 - УО. О + УО. 3535 2 ~ -45' (3-3) дает: — У(0.3535 -У(0.3535 . — У(0.6464 ° -У(1.0607.
— У(0.3535 . -У(-1.0607 - У(-1. 3535 — У(-0. 3535 + 10. 0 + 10. 250 + 10.6464 +/О. 750 - У'О. О +/О. 750 +У'1,3535 +10.250 4 ~90'. т4 Глава 3. иск етное п еоб азование Ф ье Пример1: Модуль Х(е) » 3 г » » 1 и Пример 1: Дейстеитеиьиаи часть ХР») (С) О»» — + — и» вЂ” 4--»-Ем 4 5 б 7 О 1 2 3 4 5 6 7 (Кгц) О 1 2 3 Пример 1: Миимаи часть Х(Ф) » пример 1; Фаза х(аг) е градусах, хб(от) » (О) а» (ь) О» .45 ~ -90 1 6 1 ° + 4» б (КГц) 2 3 4 5 и 7 (КГц) 2 3 Рис.
3.4. Результат Дпф из примера )ч91: (а) модульх((п); (ь) фазах(тп; (с) действительная часть Х(пу); (()) мнимая часть Х(п)) Сделаем последнее усилие, мы уже почти закончили с этим примером. Мы оставили вычисление отсчета с т = 0 напоследок, т. к. он имеет особое значение. Когда т - О, мы находим корреляцию х(п) с соз(0) — уяп(0), так что (З-З) превращается в )У вЂ” 1 Х(0) = ~~~, х(п)[соб(0) — )яй(0)]. (3-13) Поскольку соз(0) = 1, а яп(0) = О, тч — 1 Х(0) = >,х(п).
»=0 (3-13') Мы можем видеть, что (3-13') представляет собой сумму отсчетов х(п). Эта сумма, конечно же, пропорциональна среднему значению х(п). (Точнее, отсчет Х(0) равен среднему значению х(п), умноженному на Ж.) Это не случайно, т. к. отсчет Х(О) в частотной области представляет собой не изменяющийся во времени (постоянный) компонент х(п). Если бы Х(0) был отличен от нуля, это подсказало бы нам, что последовательность х(п) имеет некоторое постоянное смещение, и ее среднее значение не равно нулю. Для нашего конкретного примера (3-10) сумма равна О.
Входная последовательность не имеет постоянной составляющей, так что мы знаем, что Х(0) будет равным нулю. Но не поленимся, и для успокоения совести все-таки вычислим Х(0). Вычисляя значение (3-3) или (3-13') при т = О, мы видим, что Х(0) = 0.3535 1.0 + 0.3535 1. О + 0.6464 1.0 + 1.0607 1.0 + 0.3535 ° 1.0 — 1.0607 ° 1.0 -1(о, 3535 о. о) — 1(0.3535 0.0) - 1(0.
6464 О. 0) - 1(1. 0607 О. 0) — 1(0.3535 О. 0) -1(-1.обо7 о.о) 3.2. Симмег ия 1)Ф Таким образом, х(п) не имеет постоянной составляющей, и, следовательно, его среднее значение равно нулю. Заметим, что рисунок ЗА показывает, что хы(1) из (3-10) имеет компоненты с частотами 1 кГц (т = 1) и 2 кГц (т = 2). Более того, амплитуда тона с частотой 1 кГц в два раза выше амплитуды тона с частотой 2 кГц.
Результат ДПФ, показанный на рисунке 3.4, показывает нам точный спектральный состав сигнала, определяемого уравнениями (3-10) и (3-11). Наблюдательный читатель должен был бы задать здесь два вопроса. Во-первых, что означают ненулевые значения амплитуды при т = б и т = 7 на рисунке ЗА (а)2 А во-вторых, почему амплитуды оказались в четыре раза болыпе, чем мы ожидалиу Это хорошие вопросы, и мы вскоре на них ответим. Приведенный пример 8-точечного ДПФ, хотя и довольно простой, иллюстрирует две очень важные особенности ДПФ, которые мы не должны забывать никогда. Во-первых, любое отдельное значение Х(т) — не более чем сумма почленных произведений входной последовательности отсчетов на косинусоиду и синусоиду (или корреляция), частота которых такова, что на интервале наблюдения из Жотсчетов укладывается и их полных периодов.
Это справедливо независимо от того, какова частота дискретизации /;, и независимо от величины М в л1-точечном ДПФ. Второй важной особенностью ДПФ действительного сигнала является симметрия выходных отсчетов ДПФ. 3.2. Симметрия ДПФ Взглянув на рисунок 3.4 (а), можно увидеть явную симметрию результатов ДПФ. Хотя стандартное ДПФ предназначено для обработки комплексных входных последовательностей, большинство реальных входных сигналов (таких как оцифрованные отсчеты некоторого непрерывного сигнала) относятся к действительным сигналам: действительные входные сигналы имеют отличные от нуля действительные части, а их мнимые части полагаются равными О. Когда входная последовательность х(п) действительна, как это будет во всех наших примерах, комплексные отсчеты ДПФ для т от 1 до (Ж/2) — 1 тесно связаны с частотными — 1.3535 1. 0 — 0.3535 1.
0 Х(0) = 0.3535 + 0.3535 + 0.6464 + 1.0607 + 0.3535 — 1. 0607 — 1.3535 — 0.3535 О. 0-/О. 0 -1(-1.3535 0.0) -1(-0.3535 0.0) — 10. 0 -10.0 -10.0 -10.0 -10.0 -10. О -10.0 -10. О 0 ~ 0'. Глава 3. Диск етное и еоб азование Ф ье отсчетами с т > (л1/2). т-й отсчет ДПФ имеет тот же модуль, что и (А1 — т)-й отсчет ДПФ. Фазовый угол т-го отсчета ДПФ равен фазовому углу (Ж вЂ” т)-го отсчета, взятому с противоположным знаком. Таким образом, т-й и (Ж вЂ” т)-й отсчеты связаны следующими соотношениями: Х(т) = ~ Х(т) ~ с углом Х (т) градусов Ф (3 14) = ~ Х(У вЂ” т) ~ с углом — Х (М вЂ” т) градусов.
Р Мы можем утверждать, что, когда входная последовательность ДПФ действительна, Х(т) и Х(Аà — и) образуют комплексно-сопряженную пару, или Х(т) = Х"(Ж-т), (3-14')' где верхний индекс * обозначает комплексную сопряженность. Обратите внимание на то, что в нашем примере, рассмотренном выше на рисунках 3.4 (1э) и ЗА (д) отсчеты Х(5), Х(6) и Х(7) комплексно сопряжены отсчетам Х(3), Х(2) и Х(1) соответственно. Аналогично симметрии модуля ДПФ действительная часто Х(т) обладает тем, что называется четной симметрией, как показано на рисунке 3.4 (с), а мнимая часть ДПФ обладает нечетной симметрией, как показано на рисунке ЗА (Й). Именно это соотношение имеют ввиду, когда в литературе называют ДПФ сопряженно-симметричным.
Это значит, что, если мы выполняем Х-точечное ДПФ действительной последовательности, мы получим АГ отдельных комплексных отсчетов, но только Ж/2+1 отсчетов будут независимыми. Следовательно, чтобы получить ДПФ последовательности х(п), нам необходимо вычислить только первые У/2+1 отсчетов Х(т) при 0 ( и < (№2); отсчеты от Х(М/2+1) до Х(М вЂ” 1) не дают дополнительной информации о спектре действительной последовательности х(п).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
