Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 12
Текст из файла (страница 12)
е. форма спектра в области положительных частот будет совпадать с формой исходного спектра в области отрицательных частот. Эта инверсия спектра происходит 2.4. Инее сняспект ап иполосоаойдиск етизации Л =(2Л-В),/~„,„, (2-14) где т,,„= 2, 4, б и т. д. Для нашего примера полосового сигнала (2-14) при т = 2 дает оптимальную неинвертирующую частоту дискретизацииу'; = 17.5 МГц, как показано на рисунке 2.9 (с). В этом случае обратите внимание йа то, что спектр, перемещенный на нулевую частоту, имеет ту же ориентацию, что и исходный спектр, расположенный на центральной частоте 20 МГц.
Если же в вашем приложении инверсия спектра не имеет значения, мы можем определить минимальную частоту дискретизации, не выбирая разные значения т в (2-10) и не создавая таблицу, как мы делали в случае таблицы 2.1. Рассматривая рисунок 2.16, вопрос можно поставить так: «Сколько копий положительных и отрицательных частей спектра шириной В можно уместить в полосе частот шириной 2~, + В без наложений? ~ Количество таких копий составляет Я = (ширина полосы частот)/(удвоенная ширина спектра) = = (2Ус + В)сс(2В) = (7с + (В ~2))УВ . (2-15) Чтобы избежать перекрытия копий спектра, мы должны быть уверены в том, что количество копий равно целому числу, не превышающему Я в (2-15). Таким образом, мы можем определить целое количество копий как Яы„где или (2-16) Выс(К«(В~2))сВ - Вы,+1.
2гс+  — э и «вЂ” г, Частота Рис. 2.16. Диапазон частот, занимаемый непрерывным полосовым сигналом всегда, когда т в (2-10) является нечетным целым, как показано на рисунках 2.9 (Ь) и 2.9 (е). Когда компоненты исходного спектра, соответствующие положительным частотам, симметричны относительно~„инверсия спектра не порождает никаких проблем, и может быть выбрано любое значение~; из (2-10), не приводящее к наложениям.
Однако, когда инверсии спектра следует избегать, например, при обработке однополосных сигналов, минимальная допустимая частота дискретизации, при которой отсутствует инверсия спектра, определяется соотношением (2-10) при одном ограничении: т должно быть наибольшим четным числом, при котором выполняется неравенство 7', ) 2В. При использовании нашего определения оптимальной частоты дискретизации выражение, которое дает оптимальные неинвертирующие частоты дискретизации и не позволяет копиям спектра соприкасаться нигде, кроме нулевой частоты, имеет вид во Глава 2. Пе иодическая диск етизация С Я;„, копий спектра в полосе частот 27; + В, следовательно, период повторения спектра, или минимальное значение частоты дискретизации /,, равно ~т~л А = (27с+ В)/В;„ (2-17) В нашем примере полосового сигнала для вычисления первым делом необходимо найти подходящее значение в (2-16) как Я, ~ (22.5)/5 < А,„,+1, так что Ны, = 4.
Затем из (2-17) находим частоту дискретизации 7; = (40+5)/4 = 11.25 МГц, которая равна частоте дискретизации, показанной на рисунках 2.9 (е) и 2.12. Таким образом, мы можем использовать (2-17) и избавиться от необходимости использовать разные значения для т в (2-10) и создавать таблицу наподобие таблицы 2.1. (Однако будьте внимательны. Формула (2-1?) помещает нашу частоту дискретизации на границу между белой и серой полосами рисунка 2.12, и мы должны прибегнуть к использованию защитных полос, которые мы обсуждали выше.) Коротко говоря, в нашем примере полосового сигнала дискретизация с частотой 11.25 МГц, полученной из (2-17), позволяет избежать наложений и инвертирует спектр, а дискретизация с частотой 17.5 МГц, полученной из (2-14), позволяет избежать наложений без инверсии спектра.
Л теперь хорошие новости. Дополнив процедуру дискретизации несложной цифровой обработкой, мы можем дискретизировать с частотой 11.25 МГц, получив инвертированный спектр, а затем легко реинвертировать его, восстановив, таким образом, его исходную ориентацию. Спектр любого цифрового сигнала можно инвертировать, умножив отсчеты сигнала на последовательность чередующихся плюс единиц и минус единиц ( 1, — 1, 1, — 1 и т. д.), которую в литературе обозначают лаконичным выражением (-1)". Эта схема позволяет выполнять полосовую дискретизацию с меньшими частотами, удовлетворяющими (2-17), с последующей коррекцией инверсии спектра, избегая, таким образом, необходимости использования более высоких частот дискретизации, получаемых из (2-14).
Хотя умножение отсчетов на ( — 1)" подробно излагается в разделе 13.1, здесь достаточно помнить простое правило, согласно которому умножение отсчетов действительного сигнала на ( — 1)" эквивалентно умножению на косинус, частота которого равна /; /2. В' частотной области это умножение зеркально отображает положительные частоты в диапазоне от О до + 7; /2 Гц относительно частоты 7; /4 Гц, а также отображает отрицательные частоты от — /; /2 до О Гц зеркально относительно частоты — 7', /4 Гц, как показано на рисунке 2.17. Последовательность ( — 1)" используется не только для инверсии спектра полосовых последовательностей, ее можно также использовать для инвертирования спектра дискретных низкочастотных сигналов. Имейте ввиду, однако, что в случае дискретизации низкочастотного сигнала любой компонент постоянного тока (нулевой частоты) в исходном сигнале после умножения на ( — 1)" будет перенесен как на частоту -«/', /2, так и на частоту — /; /2.
В литературе по ЦОС вы иногда можете увидеть последовательность ( — 1)", представленную эквивалентными выражениями соз(лп) и е' ". Мы завершаем данную тему, собрав в таблице 2.2 все, что нам нужно знать о полосовой дискретизации. Поноса погазнопг Поноса попазнгно сигнапа сигнала (а) -г тг -Г Т4 астота тз т4 Грг (ь) -гтг -тт4 о ги (гг частота Рис. 2.17. Инверсия спектра посредством умножения на (-1)": (а) исходный спектр временной последовательности; (Щ новый спектр произведения исходной последовательности на последовательность (-1) Таблица 2.2. Соотношения полосовой дискретизации Требуемая величина Выражение для частоты Условия дискретизации Допустимые границы 1, т — любое г2г — Втхт > г > для полосовой положительное целое дискретизации: (2-10) ~(21 + В),(т + 1) число, длЯ котоРого Частотадискретизации в середине полосы допустимых частот: (2-12) /; = Ц; — В/2)/т+ сптг + (/, + Вгг2)тг(т + 1) Частота дискретизации, при которой спектр сигнала размещается на одной четвертой частоты дискретизации:(2-13) ~, = 4);Тгт ~,( тепел любое положительное целое число, такое,что 1 а 2В ао Оптимальная частота дискретизации,при которой инверсия отсутствует:(2-14) А.
= (2Х -в)г'т,„,„ Минимальное значение 1, при котором отсутствуют наложения: (2-17) = (2~с+ В)тйтпт где Вгп, (га о (В12)УВ < 2.4. Инее сняспектрап иполосовойдиск етнзацни гп — любое положительное целое число, для которого птп,~п — любое целое положительное нечетное число, такое, что 1 . а 2В аг (инверсия спектра возникает, когда т в =3, 7, 11 ит.д.) 64 Глава 3. Диск етное и еоб азоеание Ф ье можностей для анализа и обработки сигналов в физике и технике.
Несомненно, преобразование Фурье — наиболее значительный и широко распространенный математический механизм для анализа физических систем. (Это мнение лучше сформулировано в знаменитой цитате лорда Кельвина: «Теорема Фурье — не только один из наиболее красивых результатов современного анализа, можно сказать, что она предоставляет нам необходимый инструмент для рассмотрения почти каждого трудного вопроса в современной физике». Кстати, история оригинальной работы Фурье по гармоническому анализу, относящейся к проблеме теплопроводности, поистине захватывающая.
Тем, кто интересуется этим вопросом, неплохо было бы начать с Щ и ~21.) С приходом в нашу жизнь цифровых компьютеров усилия пионеров цифровой обработки привели к разработке ДПФ, которое определяется как дискретная последовательность Х(т) в частотной области, Формула ДПФ (экспоиеициальная— Х(т) = ~.', х(п)е ~~в"'"1н. (3-2) форма): В нашем обсуждении формулы (3-2) х(п) представляет собой дискретную последовательность значений, полученных дискретизацией во временной области непрерывной переменной х(г).
Символ "е" в (3-2), конечно же, обозначает основание натуральных логарифмов, а1' = ~1 ( — 1). 3.1. Смысл формулы ДПФ Уравнение (3-2) имеет замысловатый и не слишком воодушевляющий вид, но не стоит отчаиваться. К концу этой главы формула (3-2) станет для вас одним из самых доступных и мощных инструментов в цифровой обработке сигналов. Начнем с того, что запишем формулу (3-2) другим способом и внимательно рассмотрим ее. Из тождества Эйлера е тф = сов(ф) — 1з1п(ф) следует, что (3-2) эквивалентно следующему выражению: Формула ДПФ (тригонометрическая Х(т) = Хх(пасов(2™0У) 1зш(2лптУЧ1 (3-3) форма): Мы разделили комплексную экспоненту в (3-2) на действительную и мнимую части, где Х(т) — т-й компонент ДПФ, т.
е. Х(0), Х(1), Х(2), Х(3) и т. д., т — индекс ДПФ в частотной области, т =О, 1,2,3,...,)ч' — 1, х(п) — последовательность входных отстчетов х(0), х(1), х(2), х(3) и т. д., п — временной индекс входных отсчетов и = О, 1, 2, 3,..., йà — 1, 1 = ~I(-1) )ч' — количество отсчетов входной последовательности и количество частот- ных отсчетов результата ДПФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
