Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Хотя (3-2) и (3-3) эквивалентны, экспоненциальная форма ДПФ (3-2) имеет огромное преимущество перед формой (3-3).Форма (3-2) не только позволяет сэкономить чернила и бумагу, экспонентами в (3-2) гораздо легче манипулировать, когда мы пытаемся анализировать соотношения, связанные с ДПФ. При использовании (3-2) умножение членов сводится к сложению показателей степени и, при всем нашем уважении к Эйлеру, нам не нужно запоминать все необходимые тригонометрические тождества. Продемонстрируем это, доказав справедливость выражения (3-14) и симметрию ДПФ действительных последовательностей.
Подставляя Х-и вместо и в (3-2), мы получаем выражение для (Ж вЂ” и)-го компонента ДПФ: и-з и- ~ Х(Ь1 т) = ~' «(п)е — ~2лп(н — т)/и = ~Г х(п)е — /2лпн/и е — /2хп(-и)/Х= -о =а (3-15) = Х х(п)е /2 "е)2«"'"'Н. п=е Так как е 12х" = соз(2пп) — 1ейп(2пп) = 1 для всех целых значений, то выражение (3-15) приобретает вид ! С учетом наших обозначений, число, комплексно сопряженное числу х = а +16, определяется как х" = а -1Ь; т. е.
мы просто меняем знак мнимой части х. В эквивалентной форме, если х=- еФ, то х".= е П'. 3.3. Линейность ДПФ 77 и — 1 Х(й1 — т) = ~~~ х(п)ОРлптР (3-15') и=О Мы видим, что Х(О1-т) в (3-15') — это просто Х(т) в (3-2) с инвертированным знаком показателя степени — а это не что иное, как определение комплексной сопряженности. Это иллюстрируется графиком фазовых углов ДПФ на рисунке ЗА (Ь) для нашего примера ДПФ )ЧЬ1. Попробуйте вывести (3-15'), используя косинусы и синусы в (3-3), и вы увидите, почему экспоненциальная форма ДПФ так удобна для аналитических выкладок. Существует еще одно свойство симметрии Д ПФ, которое заслуживает упоминания здесь. На практике нам иногда приходится вычислять ДПФ действительных последовательностей, для которых индекс и принимает как положительные, так и отрицательные значения. Если такая действительная последовательность четна, то последовательность Х(т) всегда действительна и четна; т.
е., если действительная последовательность такова, что х(п) = х( — п), то величина Х „~(т) в общем случае отлична от нуля, аХ,, (т) равна О. И наоборот, если действительная последовательность нечетна, т. е. х(п) = -х( — п), то Х„,„~т) всегда равна О, а Х,, (т) в общем случае отлична от О. Это свойство ДПФ, связанное с симметриеи входных последовательностей, присуще не только ДПФ, но и непрерывному преобразованию Фурье — мы рассмотрим конкретные его примеры позже в разделе 3.13 и главе 5. 3.3. Линейность ДПФ ДПФ обладает очень важным свойством, известным как линейность. Это свойство заключается в том, что Д ПФ суммы двух сигналов равно сумме преобразований отдельных сигналов; т.
е., если входная последовательность х~(п) имеет ДПФ Х1(т), а другая входная последовательность х2(п) имеет ДПФ Х2(т), то ДПФ суммы этих последовательностей х (п) = х~(п) + хз(п) равно (3-1б) Х (т) =Х~(т) +ХО(т). Это достаточно легко доказать. Если мы подставим х (п) в (3-2), чтобы получить Х (т), то и — 1 Х (т) =Х 1х1(п) +хз(п)] е Ри™ь''ч= и=О и-г и-1 ХГ(и)Е Ри"~~Н+ ~ Хз(П) Е Р""'и и =Х~(т) + Х2(т) .
и=О и-О Без этого свойства линейности ДПФ было бы бесполезным как аналитический инструмент, потому что мы могли бы преобразовывать только те сигналы, которые содержат единственную синусоиду. Сигналы реального мира, которые мы хотим анализировать, значительно сложнее, чем отдельные синусоиды. 7В ГлаваЗ.Диск етноеп еоб азованиеФ ье 3.4. Модули.ДПФ Результаты примера ДПФ №1 )Х(1) ~ = 4 и )Х(2) (= 2 могут озадачить читателя, потому что входной сигнал х(п) вида (3-11) содержит гармоники с амплитудами, равными 1.0 и 0.5 соответственно. Имеется важная особенность, о которой всегда следует помнить, рассматривая ДПФ, определяемое соотношением (3-2). Когда действительный входной сигнал содержит синусоидальный компонент с амплитудой А, и целым количеством периодов на Х отсчетах, амплитуда выходного отсчета ДПФ, соответствующего конкретной синусоиде, равна М„где (3-17) М„= А,У/2.
Если на вход ДПФ поступает комплексная синусоида амплитуды А, (т. е. А,е/Зи/Г) с целым количеством периодов на Л1отсчетах, модуль соответствующего отсчета ДПФ равен М„где (3-17') М, = Аи1и'. Н вЂ” 1 х(п) = ( 1фЯ~„Х "(т) е>~пил/Н. (3-18') и — -О Как утверждалось в связи с (3-13'), если входной сигнал имеет постоянную составляющую Р„то модуль отсчета ДПФ Х(0) равен Р,Х. В случае действительного входного сигнала частотой 1000 Гц из (3-11) А, = 1 и 1и' = 8, так что М ы = 1 8/2 = 4, что совпадает с результатом, полученным в примере.
Соотношение (3-17) может быть не столь важным, когда мы выполняем ДПФ программно или аппаратно, используя числа с плавающей точкой, но если мы реализуем ДПФ в целочисленной арифметике, мы должны отдавать себе отчет в том, что результат может принимать значения, которые в )и/2 раз превышают пиковое значение входного сигнала. Это значит, что для действительного сигнала аппаратные регистры должны быть достаточно длинными, чтобы в них помещались большие числа, которые в Ф/2 раз больше максимальной амплитуды входного сигнала.
Несколько позже в этой главе мы обсудим вопрос об амплитуде отсчетов ДПФ подробнее. Выражения (3-17) и (3-17') являются причиной того, что мы часто видим в литературе определение ДПФ в форме: н-1 Х'(т) = (1 'й1)~„'х(п) е 12иим/Р'. (3-18) и-0 Масштабируюший коэффициент 1/Х в (3-18) делает модули Х'(т) равными половине пикового значения синусоиды во временной области ценой дополнительной операции деления на Ю. Программные и аппаратурные реализации ДПФ обычно используют (3-2), а не (3-18). Конечно, как всегда, имеются исключения.
Существуют коммерческие пакеты программ, в которых используется следующая формула прямого и обратного ДПФ: У-1 Х "(т) = (1/~/У)~~~, х(п) е 12иимЛ' и=0 3.5. Частотная ось ДПФ (В разделе 3.7, мы обсудим смысл и значение обратного ДПФ.) Масштабирующие множители в (3-18') кажутся несколько странными, но они позволяют выполнять вычисления так, что при последовательном выполнении прямого и обратного ДПФ масштаб сигнала не изменяется. На практике при анализе спектра сигнала нас больше интересуют относительные значения отсчетов ДПФ, а не их абсолютные значения, поэтому обычно масштабные множители для нас не имеют значения. 3.5. Частотная ось ДПФ Частотная ось т результатов ДПФ на рисунке 3.4 заслуживает того, чтобы мы обратили на нее внимание еще раз.
Предположим, что мы не видели наш пример №1, нам дали восемь отсчетов входного сигнала из (3-11') и попросили выполнить 8-точечное ДПФ. Мы выполнили сложные расчеты согласно (3-2) и получили значения Х(т), показанные на рисунке ЗА. Затем мы спрашиваем: «Какова частота в Герцах компонента Х(т) с наибольшим модулем?» Ответ 1 будет ошибочным. Ответ зависит от частоты дискретизации /я Не зная ее заранее, мы не можем ничего сказать о том, с каким временным интервалом брались отсчеты, следовательно, мы не знаем масштаб частотной оси. Правильный ответ состоит в том, чтобы взять Г, и подставить ее в (3-5) при т = 1. Таким образом, если/, = 8000 отсчетов в секунду, то частота, соответствующая отсчету ДПФ наибольшей величины, равна / „«~„,.
(т) = т1, /Х -/ „, ~„,(1) - (1 8000)/8 - 1000 Гц Если бы нам сказали, что частота дискретизации/«равна 75 отсчетам в секунду, мы бы знали, благодаря (3-5), что частота, соответствующая наибольшему отсчету, равна ~апа!ут( 1) ( 1 75)~ 8 Гц Ну ладно, пока хватит об этом, просто помните, что расстояние по частоте между отсчетами ДПФ (разрешение) равно~,/)Ч. Итак, подведем итог тому, что мы узнали: а каждый выходной отсчет ДПФ есть сумма почленных произведений входной последовательности на последовательности, представляющие сииусоидальный и косинусоидальный сигналы; а для действительных сигналов Ж-точечное ДПФ дает только Ж/2+1 независимых отсчетов; д ДПФ представляет собой линейную операцию; а модули результатов ДПФ прямо пропорциональны 1«'; д разрешающая способность ДПФ по частоте составляет/;/Ж.
Важно также понимать, что согласно (3-5) отсчет Х(Ж/2+ 1), для которого и = 1Ч/2«1, соответствует половине частоты дискретизации, т. е. частоте заворота (частоте Найквиста) /; /2. во Глава 3. иск егное и еоб азование Ф ье 3.6. Теорема о сдвиге ДПФ обладает важным свойством, которое выражают теоремой о сдвиге. Теорема утверждает, что сдвиг периодической последовательности х(п) во времени проявляется в результатах ДПФ как добавка к их фазовым углам.
(Здесь мы не будем доказывать эту теорему, т. к. доказательство имеется практически в любом учебнике по ЦОС.) Если мы берем отсчеты х(п), начиная с некоторого п, равного целому 1', а не с и = О, ДПФ этой сдвинутой последовательности будет Хэы1„,7(т) Х ЬО 7 (т) = е1247тлттть7Х(т), (3-19) 3.6.1. Пример ДПФ йе2 Предположим, что мы начали брать отсчеты сигнала из примера №1 на 17 = 3 отсчета позже. На рисунке 3.5 показан исходный входной сигнал: х,л(Г) = зтп(2л10007) 4- 0.531п(2л20001 Ф Зл74). Легко увидеть, что график на рисунке 3.5 является продолжением графика на рисунке 3.2 (а).
Новая последовательность х(п) содержит отсчеты, показанные на рисунке 3.5 жирными черными точками. В примере 1 ДПФ вычислялссь пс этим вссьми стсчетвм Б к м(1) -1 5 -3 -2 -1 О 1 2 3 4 5 6 7 л -Ф В примере 2 ДПФ вычисляется пс этим восьми стсчетем Рис. 3.5. Сравнение моментов взятия отсчетов в примерах ДПФ 1чв1 и 1чс2 Значения этих отсчетов следующие: Выражение (3-19) показывает, что, если начало взятия отсчетов х(п) смещаетСя ВПраВО На 11 ОтСЧЕтОВ, тО СПЕКтр Х45,~7Ф1 (И) СОСтОИт ИЗ КОМПЛЕКСНЫХ ОтСЧЕтОВ Х(т), умноженных на фазовый множитель, что приводит просто к сдвигу фазы на 2лЬп/градная, или на Збб(т7777Уградусов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
