Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. Второе издание. Пер. с англ. (2006) (1095937), страница 19
Текст из файла (страница 19)
е. сигнала, взвешенного прямоугольным окном. Как мы и ожидали, спектр в случае использования окна Хэннинга оказывается жире и имеет более низкий максимум, но утечка по боковым лепесткам сущест- венно ниже, чем в случае прямоугольного окна. Входной сигнаг( взвешенный окном ооа хан В«а В В В о.в и В В о.в 0.4 02 (а) о ° Вари -0.2 В В и В Врака В В В В п В (вса аи" В В В В ° а ° В тг ° В В В В Модули ДПФ В 20 и 'ь (в (Ь) 4' Результат с прямоугольным окном Результат с окном хэннинга (о В -В, В .  —  — В-В-В..В-В и н н — )-.) В-В-ь-ь А-а,-а-ь-ьгкгь-.ь-ф-Ась=а=Воз-ч(~ З 4 В Е т В 0(ОИ тг(ЗМШ(Е(т(В гтгегв зов( и) (Часто а) о' 0(г Рис. 3.17. Окно Хэнниннга: (а) 64 отсчета произведения окна Хэннинга на синусоидальный сигнал, имеющий 3.4 периода на интервале анализа; ()з) резу- льтат ДПФ с окном Хан нийга в сравнении с ДПФ с прямоугольным окном Мы можем продемонстрировать, как использование окна помогает обнаружить слабый сигнал в присутствии близкого по частоте мощного сигнала.
Прибавим к сигналу, изображенному на рисунке 3.8 (а), 84 отсчета синусоидального сигнала, имеющего на анализируемом интервале 7 периодов, с амплитудой 0.1. Применяя окно Хэннинга к сумме сигналов, получим входной сигнал, показанный -0.4 -О.Е -о.в -1 н( )=(05 ° 05соа(2 В642 (ап(зпааим)) Вьо с ну:оспа с чассопи 34 парома а тарпан Глава 3. иск етное преоб азование Ф ье на рисунке 3.18 (а). Если бы мы не применяли взвешивание, результат ДПФ был бы таким, какой показан на рисунке 3.18 (Ъ) квадратиками, и в этом случае утечка спектра сделала бы компонент сигнала с т = 7 едва различимым.
Но результат ДПФ взвешенных данных, показанный треугольниками на рисунке 3.18 ())), позволяет нам проще обнаружить присутствие компонента и = 7. На практике специалисты, которые используют ДПФ для обнаружения реальных сигналов, выяснили, что общая разрешающая способность и чувствительность к сигналам зависят больше от размера и формы используемого окна, чем просто от размера ДПФ. Входной оигнал втвешенный окном И 0 С КС М20 2 ( )=(00.0002 (20нмв ( (2 Зсисс)+02 (2 ткык В В В ов ов 0.4 о.г авкьа В ° ВВ ° В В ВВ Ввикыкк (ы л ° ° В (Всс ° ВВ' (а) а ° -о.г .ОВ -ав В В „В -ов -1 2 Модули ДПФ 25 20 Результат 0 прямоугольным окном В Результат 0 окном Хэннинга 15 вв 10 К 00 Вы =т / В В-В-В -В 0 1 2 3 4 5 6 7 6 9 10 11 1213141516171619 262930 31 (чи ) Рис. 3.18.
Повышение чувствительности обнаружения сигнала при использовании окна: (а) 84 отсчета произведения окна Хэннинга и суммы синусоидальных сигналов, имеющих 3.4 и 7 периодов на интервале анализа; (Ь) резу- льтат ДПФ с пониженной благодаря окну Хэннинга утечкой в сравнении с результатом ДПФ с прямоугольным окном 97 3. 10. Г бешкоеые искажения ПФ Когда мы станем более опытными в использовании окон, мы увидим, что разные окна имеют свои индивидуальные преимущества и недостатки.
Кроме того, независимо от используемого окна, мы понижаем уровень утечки спектра по сравнению с утечкой прямоугольного окна. Имеется множество разных окон, описанных в литературе по ЦОС. Их так много, что для обозначения этих окон использованы имена всех, кто имел отношение к ЦОС. Не совсем ясно, сильно ли отличаются многие из этих окон. Единственное, что мы твердо знаем, это то, что выбор окна — всегда компромисс между шириной главного лепестка, уровнем первого бокового лепестка и скоростью убывания боковых лепестков с ростом частоты.
Использование того или иного конкретного окна зависит от приложения [5], а приложений имеется великое множество. Окна используются для улучшения точности спектрального анализа с помощью ДПФ [6], при проектировании цифровых фильтров [7,8], для моделирования диаграмм направленности антенн и даже для улучшения качества некоторых преобразователей механических сил в напряжение [9].
Таким образом, для читателей, жаждущих дальнейшего изучения данной области, информация об окнах имеется в избытке. (Праматерью всех технических публикаций об окнах является работа Харриса [101 А полезная работа Нутталла внесла коррективы и дополнения к некоторым разделам статьи Харриса[11].) Наилучший способ изучить влияние окон — сесть за компьютер, запустить программу, реализующую ДПФ (БПФ), и начать анализировать взвешенные окнами сигналы. (Кстати, имеются еще две обычно используемые функции окна, которые можно использовать для уменьшения утечки ДПФ, хотя их обсуждение мы отложили до раздела 5.3.
Это окна Чебышева и Кайзера, которые имеют параметры, позволяющие находить компромисс между расширением главного лепестка и снижением боковых лепестков.) 3.10. Гребешковые искажения ДПФ Гребешковые искажения — это флуктуации общего амплитудного спектра при АГ-точечном ДПФ. Мы подробно разберем их в разделе 3.16, а сейчас отметим только, что, когда окна не используются, все бины ДПФ дают составляющие, имеющие форму вида з1п(х)/х. На рисунке 3.19 (а) показан общий спектр, полученный в результате наложения составляющих вида з1п(х)/х от нескольких бинов'.(Поскольку боковые лепестки функции гйпс в данном случае не играют роли, на рисунке 3.19 (а) они не показаны.) На рисунке 3.19 (Ь) общая реакция ДПФ в частотной области показана толстой линией, огибающей главные лепестки бинов.
Эта пульсирующая кривая, причину которой также называют эффектом частокола, отображает потери, возникающие для частот, лежащих между центрами бинов. По рисунку 3.19 (Ь) мы можем определить, что модуль ДПФ изменяется от 1 в центре бина до 0.637 на равном удалении от двух соседних бинов. С точки зрения энергетического спектра эти пульсации приведут к гребешковым искажениям почти в — 4 дБ на равном удалении от соседних бинов. На рисунке 3.19 показан ! Возможно, картина на рисунке 3.19 (а) послужила причиной того, что отдельные отсчеты ДПФ называют бинами. Вся энергия сигнала под кривой з1п(х)(х попадает в «хранилище» данного отсчета ДПФ, («В1п» по-апглийски значит «ларь», «бункер»вЂ” прим перев ) 88 Глава 3.
Диск етное л еоб азование Ф ье случай, когда окна не используются (т. е. мы имеем дело с прямоугольным окном). Поскольку непрямоугольные окна расширяют главный лепесток, их использование приводит к менее серьезным гребешковым искажениям (10,12~. Их более широкие главные лепестки перекрываются в большей степени и заполняют провалы, имеющиеся на рисунке 3.19 (Ь). Например, гребешковые искажения для окна Ханнинга составляют примерно 0.82, или — 1.45 дБ посредине между центрами соседних бинов. На практике, однако, гребешковые искажения не являются серьезной проблемой. Реальные сигналы обычно имеют спектр, занимающий несколько бинов, так что пульсации спектра могут оказаться практически незаметными.
Рассмотрим схему, которую называют дополнением нулями и которая используется как для уменьшения гребешковых искажений, так и для улучшения разрешающей способности по частоте. (а) Частота (и+))г 0т+з)г (онз)г Ко а637 (ь) Частота то( (анз)г (и+ау и и и Рис. 3.19. Амплитудно-частотная характеристика бинов ДПФ: (а) отдельные кривые вида в(п(х)/х для каждого бина ДПФ; (Ь) общая амплитудно-частотная характеристика 3.11. Разрешающая способность ДПФ, дополнение нулями и дискретизация в частотной области Один популярный метод, используемый для улучтпения оценки спектра с помощью ДПФ известен как дополнение нулями.
Суть его заключается в добавлении нулевых отсчетов к исходной анализируемой последовательности для увеличения общего количества отсчетов входных данных. Исследование метода дополнения 3.11. Раз ешающаяспособностьДПФ нулями иллюстрирует важное свойство ДП Ф вЂ” дискретизацию по частоте, о которой мы упоминали при обсуждении утечки спектра. Когда мы дискретизируем непрерывный сигнал во временной области, имеющий непрерывный спектр, и затем берем ДПФ от полученных отсчетов, ДПФ дает в частотной области дискретизированную аппроксимацию непрерывного спектра. Чем больше точек в ДПФ, тем точнее ДПФ аппроксимирует непрерывное преобразование Фурье. Чтобы проиллюстрировать эту мысль, предположим, что мы хотим аппроксимировать непрерывное преобразование Фурье непрерывной функции /"(1), показанной на рисунке 3.20 (а).
Колебанием(1) простирается до бесконечности в обоих направлениях по времени, но отлично от нуля только на интервале в Т секунд. Если ненулевая часть функции представляет собой синусоиду, имеющую три периода на интервале в Т секунд, ее непрерывный амплитудный спектр выглядит так, как показано на рисунке 3.20 (Ь). (Поскольку непрерывное преобразование Фурье вычисляется на бесконечном интервале времени, шаг изменения частоты бесконечно мал, так что спектр является непрерывным.) Этот спектр мы будем аппроксимировать с помощью ДПФ. (а) ывное мя тlТ 2IТ 31Т 41Т 5!Т НепРеРывнаЯ частота Рис. 3.20. Непрерывное преобразование Фурье; (а) непрерывная функция времени 1(1), состоящая из усеченной синусоиды частотой 317; (Ь) модуль непрерывного преобразования Фурье функции 1(1) Предположим, что мы хотим использовать 16-точечное ДПФ для аппроксимации непрерывного преобразования функцииТ(1), показанной на рисунке 3.20 (а).
16 отсчетов у(1), охватывающих три периода синусоиды ву(с), показаны в левой части рисунка 3.21 (а). Подавая эти отсчеты на вход 16-точечного ДПФ, получаем дискретные отсчеты в частотной области. Часть отсчетов, соответствующая положительным частотам, показана точками в правой части рисунка 3.21 (а). Мы можем видеть, что выходные отсчеты ДПФ являются отсчетами непрерывного преобразования Фурье, показанного на рисунке 3.20 (Ъ).
Если мы добавим в конец исходной входной последовательности 16 нулей (дополним ее нулями) и вычислим 32-точечное ДПФ, мы получим результат, приведенный в правой части рисунка 3.21 (Ъ), из которого видно, что мы уменьшили интервал дискретизации в частотной области в 2 раза. Теперь ДПФ чаще дискретизует непрерывное преобразование Фурье. Добавив е(це 32 нуля и беря 64-точечное ДПФ, мы получаем результат, показанный в правой части рисунка 3.21 (с). Результат 64-точечного ДПФ теперь начинает проявлять истинную форму непрерывного спектра сигнала.
Добавив еще 64 нуля и вычислив 128-точечное ДПФ, мы получаем результат, показанный в правой части рисунка 3.21 (()). Способность ДПФ дискретизировать спектр в частотной области теперь очевидна, но заметьте, что индексы бина, соответствующего центру главного лепестка для всех случаев, показанных на рцсунке 3.21, разные. Модуль ДПФ В»одно» сигнал » » » » 05 (а) 0» О Г 2 3 4 5 6 7 В В Ю и 72 ГЗ Н 75 »» +» » «.~Ю- н 0» 0 Г 2 3 Модуль ДПФ Входной сигнал »» 05 »» » (О) о И+Н+Н»+НН-Н»»» ь» ь»» .Вь- 3 а з 5 О гг 75 гв н г4 и зо Вр » » ,и » +» 6» Г + +» + + и аа о» О Г 2 3 4 5 В 7 5 О ГО и 42 ВХОДНОЙ СИЛГВЛ 'и» Модуль ДПФ В » » н- 35 40 45 50 55 60 Ври » » 2»„г »» » а »»» 0» ФФ»+Н»+++0+++ 4+0+»+++ о г 4 в в го гг н Ф гв го 22 г4 Входной сигнал ° » г Мнгу ДПФ »азг » » » » (с) о»- ггг вр » 2 ь»» 73»» 3 » ь» аь О»аан»ннгн»енннанн»ень ин» вЂ” 66 О 4 В 42 Гз 20 24 2В 32 36 40 44 46 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
